تبديل عشوائي زائف (Pseudorandom Permutation)

تعريف التبديل العشوائي الزائف

بشكل رسمي، يمكن تعريف التبديل العشوائي الزائف على النحو التالي:

لتكن F دالة تأخذ مفتاحًا k وطول إدخال n بت وتعطي خرجًا بطول n بت. نقول أن F هو تبديل عشوائي زائف إذا تحقق ما يلي:

إمكانية الحساب الفعالة: يجب أن تكون هناك خوارزمية فعالة لحساب F(k, x) لأي مفتاح k وإدخال x.
القلب الفعال: يجب أن تكون هناك خوارزمية فعالة لحساب F^-1(k, y) لأي مفتاح k وإخراج y.
صعوبة التمييز: لا توجد خوارزمية فعالة A (تسمى “المميز”) يمكنها التمييز بشكل كبير بين F(k, .) والتبديل العشوائي الحقيقي P(.). بشكل أكثر تحديدًا، يجب أن يكون لدينا:

|Pr[A^F(k,.)(1ⁿ) = 1] – Pr[A^P(.)(1ⁿ) = 1]| ≤ ε(n)

حيث:

k يتم اختياره عشوائيًا.
P تبديل عشوائي حقيقي على سلاسل n بت.
ε(n) دالة مهملة في n (أي أنها تقترب من الصفر بسرعة أكبر من أي دالة كثيرة الحدود مقلوبة).
A^O(1ⁿ) تعني أن الخوارزمية A لديها الوصول إلى أوراكل O ويمكنها الاستعلام عنها.

هذا التعريف يعني بشكل أساسي أنه لا يمكن للمميز A أن يميز بين التبديل العشوائي الزائف والدالة العشوائية الحقيقية باحتمالية أعلى من فرصة ضئيلة. “الفرصة الضئيلة” هذه تحددها الدالة المهملة ε(n).

الفرق بين الدالة العشوائية الزائفة والتبديل العشوائي الزائف

من المهم التمييز بين التبديل العشوائي الزائف (PRP) والدالة العشوائية الزائفة (PRF). كلاهما مفهومان مهمان في علم التعمية، لكنهما يقدمان ضمانات مختلفة.

الدالة العشوائية الزائفة (PRF): هي دالة تبدو عشوائية للمراقب الذي ليس لديه المفتاح. بمعنى آخر، إذا قمت بإعطاء PRF مدخلًا، فستنتج مخرجات تبدو عشوائية. ومع ذلك، على عكس PRP، لا يلزم أن تكون PRF قابلة للعكس.
التبديل العشوائي الزائف (PRP): هو دالة تبدو عشوائية وقابلة للعكس. بمعنى آخر، ليست فقط مخرجات PRP تبدو عشوائية، ولكن يمكنك أيضًا عكس العملية لإيجاد المدخل الأصلي من المخرج.

يمكن اعتبار PRP بمثابة PRF قابلة للعكس. هذا يعني أن كل PRP هي PRF، ولكن ليست كل PRF هي PRP. تعد خاصية الانعكاس هذه مهمة للعديد من التطبيقات، مثل طرق التعمية التي تحتاج إلى فك تشفير البيانات المشفرة.

أهمية التبديل العشوائي الزائف في التعمية

تلعب التبديلات العشوائية الزائفة دورًا حاسمًا في بناء أنظمة تعمية آمنة. تستخدم في العديد من خوارزميات التشفير المتماثل، مثل:

معيار التشفير المتقدم (AES): يستخدم AES سلسلة من التبديلات والاستبدالات المعقدة لخلط البيانات. تعتمد هذه التبديلات على مبادئ التبديل العشوائي الزائف لضمان أمان التشفير.
DES (Data Encryption Standard): على الرغم من أنه لم يعد يُعتبر آمنًا للتطبيقات الحديثة، إلا أن DES كان أحد أوائل خوارزميات التشفير المتماثل المستخدمة على نطاق واسع. يعتمد أيضًا على التبديلات لخلط البيانات.
تشفير الكتلة (Block Ciphers): العديد من طرق تشفير الكتلة الأخرى تعتمد على PRPs لبناء عمليات الخلط التي تجعل من الصعب على المهاجم فك تشفير الرسائل دون معرفة المفتاح.

بالإضافة إلى طرق التشفير المتماثلة، تُستخدم PRPs أيضًا في تطبيقات أخرى مثل:

رموز مصادقة الرسائل (MACs): تُستخدم MACs لضمان سلامة وأصالة الرسالة. يمكن بناء بعض MACs باستخدام PRPs.
مولدات الأرقام العشوائية الزائفة (PRNGs): يمكن استخدام PRPs لبناء PRNGs آمنة.

بناء التبديلات العشوائية الزائفة

يعد بناء تبديل عشوائي زائف مهمة صعبة. إحدى الطرق الشائعة هي استخدام شبكة فيستل (Feistel network). شبكة فيستل هي بنية عامة يمكن استخدامها لبناء تبديل قابل للعكس من دالة عشوائية زائفة. في شبكة فيستل، يتم تقسيم الإدخال إلى نصفين، ويتم تطبيق الدالة العشوائية الزائفة على أحد النصفين، ثم يتم دمج الناتج مع النصف الآخر. يتم تكرار هذه العملية عدة مرات لإنتاج تبديل معقد.

طريقة أخرى لبناء PRP هي استخدام بنية SPN (Substitution-Permutation Network). تتكون شبكة SPN من سلسلة من طبقات الاستبدال والتبديل. تستخدم طبقات الاستبدال صناديق S-box (S-boxes) لاستبدال أجزاء صغيرة من الإدخال بأجزاء أخرى. تستخدم طبقات التبديل تبديلًا خطيًا لخلط البتات. تعتبر شبكات SPN بشكل عام أكثر كفاءة من شبكات فيستل، لكنها قد تكون أكثر صعوبة في تحليلها.

التحديات في تصميم التبديلات العشوائية الزائفة الآمنة

يتمثل أحد التحديات الرئيسية في تصميم PRPs الآمنة في ضمان مقاومتها للهجمات المختلفة. تتضمن بعض الهجمات الشائعة على PRPs ما يلي:

التحليل التفاضلي (Differential cryptanalysis): تتضمن هذه الهجمات تحليل كيفية انتشار الاختلافات في الإدخال عبر التبديل.
التحليل الخطي (Linear cryptanalysis): تتضمن هذه الهجمات العثور على علاقات خطية بين الإدخال والمخرج للتبديل.
الهجمات الجانبية (Side-channel attacks): تتضمن هذه الهجمات قياس المعلومات التي يتم تسريبها بواسطة تنفيذ التبديل، مثل استهلاك الطاقة أو وقت التنفيذ.

لمقاومة هذه الهجمات، يجب تصميم PRPs بعناية لضمان أن لديها خصائص خلط وانتشار جيدة. هذا يعني أن التغيير الصغير في الإدخال يجب أن يؤدي إلى تغيير كبير في الإخراج، وأنه يجب توزيع تأثير أي بت إدخال على نطاق واسع عبر الإخراج.

أمثلة على التبديلات العشوائية الزائفة

هناك العديد من الأمثلة على التبديلات العشوائية الزائفة المستخدمة في التعمية. بعض الأمثلة الأكثر شيوعًا تشمل:

معيار التشفير المتقدم (AES): كما ذكرنا سابقًا، يستخدم AES سلسلة من التبديلات والاستبدالات المعقدة لخلط البيانات.
DES (Data Encryption Standard): DES هو خوارزمية تشفير أقدم تعتمد أيضًا على التبديلات.
Blowfish: Blowfish هو خوارزمية تشفير كتلة أخرى تستخدم شبكة فيستل.
Twofish: Twofish هو خوارزمية تشفير كتلة أخرى تعتمد على شبكة SPN.

تعتبر هذه التبديلات العشوائية الزائفة آمنة ضد مجموعة متنوعة من الهجمات، وهي تستخدم على نطاق واسع في العديد من التطبيقات.

خاتمة

التبديلات العشوائية الزائفة (PRPs) هي لبنة أساسية في علم التعمية. إنها توفر طريقة لخلط البيانات بطريقة تبدو عشوائية وقابلة للعكس. تستخدم PRPs في العديد من خوارزميات التشفير المتماثل، بالإضافة إلى تطبيقات أخرى مثل رموز مصادقة الرسائل ومولدات الأرقام العشوائية الزائفة. يتطلب تصميم PRPs الآمنة دراسة متأنية لمقاومة الهجمات المختلفة، ولكن هناك العديد من الأمثلة على PRPs الناجحة المستخدمة على نطاق واسع اليوم.