مقدمة إلى الحقول والامتدادات
الحقل هو مجموعة مزودة بعمليتين ثنائيتين (عادة ما تسميان الجمع والضرب) تفيان بشروط معينة، مما يضمن أن تكون العمليات قابلة للعكس (باستثناء القسمة على الصفر) وأن تكون المجموعة مغلقة تحت هذه العمليات. أمثلة على الحقول تتضمن الأعداد النسبية (Q)، والأعداد الحقيقية (R)، والأعداد المركبة (C).
امتداد الحقل هو ببساطة احتواء حقل صغير (نسميه F) داخل حقل أكبر (نسميه K). رياضيًا، نكتب K/F للدلالة على أن K هو امتداد للحقل F. على سبيل المثال، الأعداد المركبة C هي امتداد للأعداد الحقيقية R، لأن كل عدد حقيقي هو أيضًا عدد مركب (يمكن تمثيله كعدد مركب بجزء تخيلي يساوي صفرًا).
العناصر الجبرية والعناصر المتسامية
لتحديد الامتداد الجبري، نحتاج إلى التمييز بين العناصر الجبرية والعناصر المتسامية. ليكن K/F امتدادًا حقليًا، وعنصر α ينتمي إلى K. نقول أن α جبري على F إذا كان α جذرًا لكثير حدود غير صفري p(x) بمعاملات من F. بمعنى آخر، يوجد كثير حدود p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_1 x + a_0، حيث a_i ∈ F لجميع i، بحيث p(α) = 0.
إذا كان α ليس جبريًا على F، فإنه يُسمى متساميًا على F. بعبارة أخرى، لا يوجد كثير حدود غير صفري بمعاملات من F يجعل α جذرًا له. أشهر مثال على الأعداد المتسامية هو العدد π (باي)، الذي هو متسام على حقل الأعداد النسبية Q.
أمثلة توضيحية:
- العدد √2 هو جبري على Q، لأنه جذر لكثير الحدود x² – 2 = 0، والذي له معاملات في Q.
- العدد i (الوحدة التخيلية، حيث i² = -1) هو جبري على R، لأنه جذر لكثير الحدود x² + 1 = 0، والذي له معاملات في R.
- العدد π (باي) هو متسام على Q، أي لا يوجد كثير حدود بمعاملات نسبية يجعل π جذرًا له.
تعريف الامتداد الجبري
الآن، بعد أن فهمنا العناصر الجبرية، يمكننا تعريف الامتداد الجبري بدقة:
ليكن K/F امتدادًا حقليًا. نقول أن K/F هو امتداد جبري إذا كان كل عنصر من K جبريًا على F. بمعنى آخر، لكل α ∈ K، يوجد كثير حدود غير صفري p(x) بمعاملات من F بحيث p(α) = 0.
بعبارة أخرى، كل عنصر في الحقل الأكبر (K) هو حل لمعادلة كثيرة الحدود بمعاملات من الحقل الأصغر (F).
أمثلة على الامتدادات الجبرية
- الامتداد Q(√2)/Q: هذا الامتداد يتكون من الأعداد التي يمكن كتابتها على الصورة a + b√2، حيث a و b أعداد نسبية. كل عنصر في Q(√2) هو جبري على Q، وبالتالي فإن Q(√2)/Q هو امتداد جبري.
- الامتداد C/R: الأعداد المركبة C هي امتداد جبري للأعداد الحقيقية R. أي عدد مركب a + bi هو جذر لكثير الحدود x² – 2ax + (a² + b²) = 0، والذي له معاملات حقيقية.
- الامتدادات المنتهية: أي امتداد حقلي منتهي (أي أن بُعد K كفضاء متجهي على F منتهٍ) هو امتداد جبري. هذا نتيجة مهمة في نظرية الحقول.
خصائص الامتدادات الجبرية
الامتدادات الجبرية لها العديد من الخصائص الهامة التي تجعلها محورية في نظرية الحقول:
- قابلية التعدي: إذا كان K/F امتدادًا جبريًا و L/K امتدادًا جبريًا، فإن L/F هو امتداد جبري. بمعنى آخر، إذا كان كل عنصر في K جبريًا على F، وكل عنصر في L جبريًا على K، فإن كل عنصر في L جبريًا على F. هذه الخاصية تسهل بناء امتدادات جبرية معقدة من امتدادات أبسط.
- الإغلاق الجبري: الإغلاق الجبري لحقل F هو امتداد جبري لـ F، بحيث يكون الإغلاق الجبري مغلقًا جبريًا (أي أن كل كثير حدود بمعاملات في الإغلاق الجبري له جذر في الإغلاق الجبري). كل حقل له إغلاق جبري، وهو فريد من نوعه حتى التشابه (isomorphism).
- الامتدادات المنتهية هي جبرية: كما ذكرنا سابقًا، أي امتداد حقلي منتهي هو امتداد جبري. ومع ذلك، فإن العكس ليس صحيحًا بالضرورة؛ قد يكون هناك امتداد جبري غير منتهٍ.
أهمية الامتدادات الجبرية
تلعب الامتدادات الجبرية دورًا حاسمًا في العديد من مجالات الرياضيات، بما في ذلك:
- نظرية غالوا: نظرية غالوا تربط بين امتدادات الحقول الزمر (groups)، وتستخدم لدراسة قابلية حل المعادلات الجبرية بواسطة الجذور. الامتدادات الجبرية هي أساس نظرية غالوا.
- نظرية الأعداد الجبرية: تستخدم الامتدادات الجبرية لدراسة الأعداد الجبرية، وهي جذور لكثيرات الحدود ذات معاملات صحيحة. نظرية الأعداد الجبرية هي فرع مهم من نظرية الأعداد.
- الهندسة الجبرية: تستخدم الامتدادات الجبرية لتعريف وتصنيف الأصناف الجبرية (algebraic varieties)، وهي مجموعات الحلول لأنظمة المعادلات متعددة الحدود.
بناء الامتدادات الجبرية
هناك عدة طرق لبناء امتدادات جبرية. إحدى الطرق الشائعة هي إضافة جذر لكثير حدود غير قابل للاختزال إلى الحقل الأصلي. على سبيل المثال، يمكننا بناء الامتداد Q(√2) عن طريق إضافة جذر لكثير الحدود x² – 2 إلى حقل الأعداد النسبية Q.
طريقة أخرى هي أخذ حاصل قسمة حلقة كثيرات الحدود F[x] على مثال أعظمي (maximal ideal). هذه الطريقة تضمن أن الحقل الناتج هو امتداد جبري لـ F.
الامتدادات الجبرية غير المنتهية
على الرغم من أن أي امتداد منتهي هو جبري، إلا أن هناك امتدادات جبرية غير منتهية. مثال على ذلك هو الإغلاق الجبري لحقل الأعداد النسبية Q. الإغلاق الجبري لـ Q هو امتداد جبري لـ Q يحتوي على جميع الجذور الجبرية للأعداد النسبية. هذا الامتداد غير منتهٍ، ولكنه لا يزال جبريًا.
تطبيقات في التشفير
على الرغم من أن هذا الموضوع يبدو مجردًا، إلا أن له تطبيقات عملية مهمة، خاصة في مجال التشفير. على سبيل المثال، المنحنيات الإهليلجية المعرفة على حقول منتهية، وهي امتدادات جبرية للحقول الأولية، تستخدم على نطاق واسع في التشفير الحديث.
خاتمة
الامتداد الجبري هو مفهوم أساسي في نظرية الحقول والجبر المجرد، حيث يمثل توسيعًا لحقل أصلي بحقل أكبر، مع اشتراط أن تكون جميع عناصر الحقل الأكبر جبرية على الحقل الأصلي. فهم الامتدادات الجبرية ضروري لدراسة نظرية غالوا، ونظرية الأعداد الجبرية، والهندسة الجبرية، وله تطبيقات عملية في مجالات مثل التشفير. خصائصها، مثل قابلية التعدي والإغلاق الجبري، تجعلها أداة قوية في الرياضيات.