<![CDATA[
تعريف الحقل شبه المنتهي
بشكل رسمي، يُعرَّف الحقل شبه المنتهي على أنه حقل مثالي (perfect field) يكون له امتداد جبري فريد من الدرجة n لكل عدد صحيح موجب n. بعبارة أخرى، لكل عدد صحيح موجب n، يوجد امتداد جبري للحقل k، وليكن K، بحيث أن درجة K على k هي n، أي [K:k] = n، وهذا الامتداد هو الوحيد حتى التشابه.
الحقل المثالي هو حقل لا يحتوي على أي امتدادات غير قابلة للفصل. كل حقل ذي خاصية صفرية هو حقل مثالي. أيضًا، كل حقل منتهي هو حقل مثالي.
أمثلة على الحقول شبه المنتهية
تشمل الأمثلة الهامة للحقول شبه المنتهية ما يلي:
- الحقول المنتهية: كل حقل منتهي، وليكن Fq (حيث q قوة عدد أولي)، هو حقل شبه منتهي. هذا هو المثال الأساسي للحقول شبه المنتهية.
- الإغلاق الجبري لحقل منتهي: إذا كان Fq حقلًا منتهيًا، فإن إغلاقه الجبري، ويرمز له بـ Fq، هو أيضًا حقل شبه منتهي. هذا يعني أن Fq يحتوي على جميع جذور كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال ذات المعاملات في Fq.
- حقول الدوال على منحنيات جبرية فوق حقول منتهية: إذا كانت C منحنى جبري غير شاذ فوق حقل منتهي Fq، فإن حقل الدوال Fq(C) هو حقل شبه منتهي.
خصائص الحقول شبه المنتهية
تتميز الحقول شبه المنتهية بعدة خصائص هامة، منها:
- بنية زمرة غالوا: زمرة غالوا المطلقة للحقل شبه المنتهي، أي زمرة غالوا للإغلاق القابل للفصل على الحقل، هي متماثلة مع حاصل ضرب برو-فاينايت لزمرة الأعداد الصحيحة، ويرمز لها بـ ☕ = limn Z/nZ.
- نظرية الحقول المحلية: تلعب الحقول شبه المنتهية دورًا حاسمًا في نظرية الحقول المحلية. نظرية الحقول المحلية القياسية غالبًا ما تتعامل مع إكمال الحقول شبه المنتهية.
- التطبيقات في نظرية الأعداد: تستخدم الحقول شبه المنتهية في دراسة الدوال التقديرية والتحليل p-أديكي، وهما أداتان أساسيتان في نظرية الأعداد.
نظرية الحقول المحلية
نظرية الحقول المحلية هي فرع من نظرية الأعداد يدرس الامتدادات الجبرية للحقول المحلية. الحقل المحلي هو إما حقل منتهي أو إكمال لحقل أعداد بالنسبة إلى تقييم كسري منفصل. الحقول شبه المنتهية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية الحقول المحلية من خلال عملية الإكمال.
إذا كان لدينا حقل أعداد K، وليكن p عددًا أوليًا، يمكننا إكمال K عند p للحصول على حقل محلي Kp. إذا كان K حقلًا منتهيًا، فإن Kp سيكون حقلًا شبه منتهي. نظرية الحقول المحلية تصف العلاقة بين K و Kp، وخاصة العلاقة بين زمر غالوا الخاصة بهما.
زمرة غالوا المطلقة
زمرة غالوا المطلقة للحقل k، ويرمز لها بـ Gal(ksep/k)، هي زمرة غالوا للإغلاق القابل للفصل ksep على k. زمرة غالوا المطلقة هي كائن أساسي في نظرية الحقول، وهي تصف جميع الامتدادات الجبرية القابلة للفصل للحقل k.
بالنسبة للحقل شبه المنتهي، تكون زمرة غالوا المطلقة بسيطة نسبيًا. في الواقع، كما ذكرنا سابقًا، تكون زمرة غالوا المطلقة للحقل شبه المنتهي متماثلة مع ☕ = limn Z/nZ، وهي زمرة برو-فاينايت لزمرة الأعداد الصحيحة.
تطبيقات في الهندسة الجبرية
تظهر الحقول شبه المنتهية أيضًا في الهندسة الجبرية، وخاصة في دراسة الأصناف الجبرية فوق الحقول المنتهية. الصنف الجبري هو مجموعة حلول نظام من المعادلات متعددة الحدود. دراسة الأصناف الجبرية فوق الحقول المنتهية لها تطبيقات في التشفير ونظرية الترميز.
تستخدم الحقول شبه المنتهية في تعريف دالة زيتا للصنف الجبري فوق حقل منتهي. دالة زيتا هي دالة مولدة تعد عدد النقاط على الصنف الجبري فوق جميع الامتدادات المنتهية للحقل الأساسي. دالة زيتا هي أداة قوية لدراسة الأصناف الجبرية، ولها علاقات عميقة بنظرية الأعداد.
الحقول شبه المنتهية والحقول Ci
يرتبط مفهوم الحقل شبه المنتهي ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الحقل Ci. الحقل k هو حقل Ci إذا كان لكل كثير حدود متجانس f في n متغيرات ذات معاملات في k، حيث n أكبر من درجة f مرفوعة للقوة i، حل غير بديهي في k. بعبارة أخرى، إذا كان لدينا كثير حدود f(x1, …, xn) من الدرجة d، حيث n > di، فإن المعادلة f(x1, …, xn) = 0 لها حل (a1, …, an) في kn، حيث ليس كل ai يساوي صفرًا.
تعد الحقول المنتهية أمثلة على الحقول C1، وهذا ما يسمى بنظرية شوفالي-وارنغ. الحقول شبه المنتهية هي تعميم للحقول المنتهية، وبالتالي يمكن اعتبارها نوعًا من الحقول Ci. ومع ذلك، فإن العلاقة الدقيقة بين الحقول شبه المنتهية والحقول Ci معقدة وتعتمد على الخصائص المحددة للحقل.
الحقول المحلية غير الأرخميدية
الحقول المحلية غير الأرخميدية هي نوع مهم من الحقول التي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالحقول شبه المنتهية. الحقل المحلي غير الأرخميدي هو حقل كامل بالنسبة لتقييم منفصل لديه حقل متبقي منتهي. يمكن اعتبار هذه الحقول “تشويهات” أو “إكمال” للحقول شبه المنتهية. نظرية الحقول المحلية تدرس العلاقة بين هذه الحقول المختلفة.
خاتمة
الحقول شبه المنتهية هي تعميم للحقول المنتهية ذات خصائص رياضية هامة. تلعب دورًا حاسمًا في نظرية الحقول المحلية، ونظرية الأعداد، والهندسة الجبرية. فهم خصائص الحقول شبه المنتهية ضروري لدراسة العديد من الموضوعات المتقدمة في الرياضيات.