التعريف الرسمي
بشكل رسمي، الجبر الترابطي A على حلقة تبديلية K هو عبارة عن فضاء متجهي A على K مزود بعملية ضرب ثنائية الخطية:
⋅ : A × A → A
بحيث تحقق عملية الضرب هذه قانون التجميع:
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
لكل a، b، c في A. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن يكون هناك تشاكل حلقي:
f : K → A
بحيث تكون صور عناصر K في مركز A، أي:
f(k) ⋅ a = a ⋅ f(k)
لكل k في K و a في A. عادةً ما يتم تبسيط هذه الشروط بالقول إن K يقع في مركز A، أو أن A هو K-جبر.
أمثلة
- الحلقات: أي حلقة يمكن اعتبارها جبرًا ترابطيًا على الأعداد الصحيحة (Z).
- الحقول: أي حقل هو جبر ترابطي على نفسه.
- جبر المصفوفات: مجموعة المصفوفات n × n ذات الإدخالات في حقل K، مع عملية الضرب المعتادة للمصفوفات، هي جبر ترابطي على K.
- جبر الدوال: مجموعة الدوال المستمرة من فضاء طوبولوجي إلى حقل K، مع عملية الضرب النقطي (pointwise multiplication)، هي جبر ترابطي على K.
- جبر متعددات الحدود: مجموعة متعددات الحدود ذات المعاملات في حقل K، مع عملية الضرب المعتادة لمتعددات الحدود، هي جبر ترابطي على K.
- جبر المجموعة: بالنظر إلى مجموعة G وحقل K، يمكننا بناء جبر المجموعة KG، وهو فضاء متجهي على K أساسه هو عناصر G، وعملية الضرب معرفة خطيًا من خلال ضرب عناصر G.
- جبر المؤثرات الخطية: مجموعة المؤثرات الخطية على فضاء متجهي V على حقل K، مع عملية التركيب، هي جبر ترابطي على K.
- جبر كليفورد: وهو نوع مهم من الجبر الترابطي المستخدم في الفيزياء والهندسة، يتم إنشاؤه من فضاء متجهي مزود بصورة تربيعية.
- جبر المغلف الشامل (Universal Enveloping Algebra): يرتبط بجبر لي، وهو بناء مهم في نظرية التمثيل.
الخصائص
يمتلك الجبر الترابطي عددًا من الخصائص المهمة، بما في ذلك:
- الوحدة: قد يحتوي الجبر الترابطي على عنصر وحدة (identity element)، وهو عنصر 1 بحيث:
1 ⋅ a = a ⋅ 1 = a
لكل a في A. لا يلزم أن يحتوي كل جبر ترابطي على وحدة، ولكن العديد من الجبرات المهمة تفعل ذلك.
- التبديلية: الجبر الترابطي A يسمى تبديليًا إذا كان:
a ⋅ b = b ⋅ a
لكل a، b في A. ليست كل الجبرات الترابطية تبديلية، ومثال على ذلك جبر المصفوفات عندما n > 1.
- المثالية (Ideals): المثالية في الجبر الترابطي A هي مجموعة فرعية I من A بحيث:
- I هي فضاء متجهي فرعي من A.
- إذا كان a في A و x في I، فإن a ⋅ x و x ⋅ a كلاهما في I.
تستخدم المثالية لبناء جبر القسمة (Quotient Algebra).
- التشاكلات (Homomorphisms): التشاكل بين جبرين ترابطيين A و B على نفس الحقل K هو دالة f : A → B بحيث:
- f هي دالة خطية.
- f(a ⋅ b) = f(a) ⋅ f(b) لكل a، b في A.
تحافظ التشاكلات على البنية الجبرية.
- التمثيلات (Representations): تمثيل الجبر الترابطي A على فضاء متجهي V هو تشاكل من A إلى جبر المؤثرات الخطية على V. توفر التمثيلات طريقة لدراسة الجبر الترابطي من خلال العمليات الخطية.
أهمية الجبر الترابطي
الجبر الترابطي مهم لعدة أسباب:
- توحيد المفاهيم: يوفر إطارًا موحدًا لدراسة هياكل جبرية مختلفة، مثل الحلقات والحقول وجبر المصفوفات.
- التمثيلات: نظرية تمثيل الجبر الترابطي هي أداة قوية لدراسة الجبر نفسه، بالإضافة إلى دراسة الكائنات الرياضية الأخرى التي تعمل عليها هذه الجبرات.
- التطبيقات: يجد الجبر الترابطي تطبيقات في مجموعة واسعة من المجالات، بما في ذلك الفيزياء (مثل ميكانيكا الكم ونظرية الحقول الكمومية)، وعلوم الكمبيوتر (مثل نظرية الترميز والتشفير)، والاقتصاد (مثل نظرية الألعاب).
أنواع الجبر الترابطي
هناك العديد من الأنواع المختلفة من الجبر الترابطي، بما في ذلك:
- الجبر التبديلي: كما ذكرنا سابقًا، هو جبر حيث يكون الضرب تبديليًا.
- الجبر البسيط (Simple Algebra): هو جبر لا يحتوي على مثالية غير تافهة (أي مثالية غير صفرية ولا تساوي الجبر بأكمله).
- الجبر شبه البسيط (Semi-simple Algebra): هو جبر هو مجموع مباشر للجبر البسيط.
- جبر فون نيومان (Von Neumann Algebra): هو جبر مؤثرات محددة على فضاء هيلبرت، مهمة في التحليل الدالي وميكانيكا الكم.
- جبر باناخ (Banach Algebra): هو جبر ترابطي كامل بالنسبة لمعيار يحقق ||a ⋅ b|| ≤ ||a|| ||b||.
- جبر C* (C*-algebra): هو جبر باناخ مع عملية تجوير تحقق شروطًا معينة، وتلعب دورًا حاسمًا في التحليل الدالي وفيزياء الجسيمات الأولية.
الجبر الترابطي واللامبدلية (Non-associative Algebras)
من المهم التمييز بين الجبر الترابطي والجبر اللامبدلي. في الجبر اللامبدلي، لا يلزم أن يكون الضرب ترابطيًا. تشمل أمثلة الجبر اللامبدلي جبر لي وجبر جوردان. على الرغم من أن الجبر الترابطي يمتلك خصائص محددة تجعله سهل الاستخدام نسبيًا، إلا أن الجبر اللامبدلي يظهر في مواقف رياضية وفيزيائية مهمة، وغالبًا ما يرتبط بالجبر الترابطي من خلال بنايات مثل جبر المغلف الشامل.
بناء الجبر الترابطي
هناك عدة طرق لبناء الجبر الترابطي الجديد من الجبرات الموجودة:
- الجبر الجزئي (Subalgebra): إذا كان A جبرًا ترابطيًا، فإن الجبر الجزئي هو مجموعة فرعية من A مغلقة تحت الضرب والجمع والضرب القياسي.
- جبر القسمة (Quotient Algebra): إذا كان I مثالية في الجبر الترابطي A، فإن جبر القسمة A/I هو جبر ترابطي مع عملية الضرب المعرفة بـ (a + I)(b + I) = ab + I.
- الجداء المباشر (Direct Product): إذا كان A و B جبرين ترابطيين، فإن الجداء المباشر A × B هو جبر ترابطي مع عمليات الضرب والجمع المعرفة بشكل نقطي.
- الجداء الموتري (Tensor Product): إذا كان A و B جبرين ترابطيين على حقل K، فإن الجداء الموتري A ⊗K B هو جبر ترابطي مع عملية الضرب المعرفة باستخدام خاصية الجداء الموتري.
نظرية مورا-دارتيه (Morita Equivalence)
تعتبر نظرية موريتا من المفاهيم المهمة في نظرية الحلقات والجبر الترابطي. تحدد النظرية متى يكون لجبرين ترابطيين فئات وحدات متطابقة، مما يعني أنهما متشابهان إلى حد كبير من وجهة نظر نظرية التمثيل. تحدد النظرية شروطًا يكون فيها الجبران “مكافئان موريتا”، مما يتيح نقل النتائج بينهما.
التطبيقات في الفيزياء
يجد الجبر الترابطي تطبيقات واسعة النطاق في الفيزياء النظرية، خاصة في ميكانيكا الكم ونظرية الحقول الكمومية. تلعب الجبرات مثل جبر كليفورد وجبر فون نيومان دورًا أساسيًا في وصف العمليات الفيزيائية. على سبيل المثال:
- جبر كليفورد: يستخدم لوصف الدوران والجسيمات ذات الدوران (spin) في ميكانيكا الكم.
- جبر فون نيومان: يستخدم في دراسة الأنظمة ذات العدد اللانهائي من درجات الحرية، كما هو الحال في نظرية الحقول الكمومية.
- جبر المؤثرات: مجموعة المؤثرات على فضاء هيلبرت تشكل جبرًا ترابطيًا، وعناصر هذا الجبر تمثل الكميات الفيزيائية القابلة للملاحظة.
خاتمة
الجبر الترابطي هو مفهوم أساسي في الرياضيات، يوفر إطارًا موحدًا لدراسة مجموعة واسعة من الهياكل الجبرية. من خلال خصائصه وتطبيقاته المتنوعة، يلعب الجبر الترابطي دورًا حاسمًا في مجالات مثل نظرية الحلقات، والتحليل الدالي، والفيزياء النظرية، مما يجعله أداة لا غنى عنها للرياضيين والفيزيائيين على حد سواء.