لماذا الصياغة المتغايرة؟
قبل تطوير النسبية الخاصة، تمت صياغة قوانين الفيزياء بشكل منفصل في أنظمة إحداثيات مختلفة. ومع ذلك، كشفت النسبية الخاصة أن المكان والزمان ليسا مستقلين، بل هما جزء من كيان واحد يسمى الزمكان. لذلك، يجب صياغة قوانين الفيزياء بطريقة لا تعتمد على نظام الإحداثيات المحدد المستخدم، أي يجب أن تكون “متغيرة” تحت تحويلات لورنتز التي تربط أنظمة الإحداثيات المختلفة المتحركة بالنسبة لبعضها البعض.
تسهل الصياغة المتغايرة التعامل مع الكميات الفيزيائية بطريقة أكثر إيجازًا وأناقة. على سبيل المثال، يمكن دمج المجالين الكهربائي والمغناطيسي في موتر واحد يسمى “موتر المجال الكهرومغناطيسي”، مما يبسط معادلات ماكسويل.
أربعة متجهات
أحد المفاهيم الأساسية في الصياغة المتغايرة هو استخدام “أربعة متجهات”. المتجه الرباعي هو كائن رياضي له أربعة مكونات، تتحول بطريقة محددة تحت تحويلات لورنتز. بعض الأمثلة على المتجهات الرباعية تشمل:
- الموضع الرباعي: \(x^\mu = (ct, x, y, z)\)، حيث \(t\) هو الوقت، و \((x, y, z)\) هي الإحداثيات المكانية، و \(c\) هي سرعة الضوء.
- الزخم الرباعي: \(p^\mu = (E/c, p_x, p_y, p_z)\)، حيث \(E\) هي الطاقة، و \((p_x, p_y, p_z)\) هي مكونات الزخم.
- التيار الرباعي: \(J^\mu = (c\rho, J_x, J_y, J_z)\)، حيث \(\rho\) هي كثافة الشحنة، و \((J_x, J_y, J_z)\) هي مكونات كثافة التيار.
- الجهد الرباعي: \(A^\mu = (\phi/c, A_x, A_y, A_z)\)، حيث \(\phi\) هو الجهد الكهربائي القياسي، و \((A_x, A_y, A_z)\) هي مكونات الجهد المغناطيسي المتجه.
موتر المجال الكهرومغناطيسي
المجالان الكهربائي \(\mathbf{E}\) والمغناطيسي \(\mathbf{B}\) ليسا كميتين مستقلتين تمامًا، ولكنهما وجهان مختلفان لنفس الكيان الفيزيائي، وهو المجال الكهرومغناطيسي. في الصياغة المتغايرة، يتم دمجهما في موتر واحد مضاد للتناظر يسمى موتر المجال الكهرومغناطيسي، والذي يُرمز إليه بـ \(F^{\mu\nu}\). يتم تعريفه على النحو التالي:
\[
F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix}
\]
حيث \(E_x\)، \(E_y\)، \(E_z\) هي مكونات المجال الكهربائي، و \(B_x\)، \(B_y\)، \(B_z\) هي مكونات المجال المغناطيسي.
وبالمثل، يمكن تعريف الموتر المزدوج لـ \(F^{\mu\nu}\) على النحو التالي:
\[
{}^*F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
0 & -B_x & -B_y & -B_z \\
B_x & 0 & E_z/c & -E_y/c \\
B_y & -E_z/c & 0 & E_x/c \\
B_z & E_y/c & -E_x/c & 0
\end{pmatrix}
\]
معادلات ماكسويل في الصيغة المتغايرة
يمكن كتابة معادلات ماكسويل الأربع في صيغة متغايرة باستخدام موتر المجال الكهرومغناطيسي والتيار الرباعي:
- معادلة جاوس للكهرباء وقانون أمبير مع تعديل ماكسويل:
\[
\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu
\]
حيث \(\partial_\mu\) هو المؤثر التفاضلي الرباعي، و \(\mu_0\) هي نفاذية الفراغ المغناطيسي، و \(J^\nu\) هو التيار الرباعي. - معادلة جاوس للمغناطيسية وقانون فاراداي:
\[
\partial_\mu {}^*F^{\mu\nu} = 0
\]
هذه المعادلة تعبر عن عدم وجود أحادي القطب المغناطيسي.
هاتان المعادلتان تلخصان جميع معادلات ماكسويل الأربع في معادلتين موجزتين وأنيقتين.
قوة لورنتز في الصيغة المتغايرة
القوة التي تؤثر على جسيم مشحون يتحرك في مجال كهرومغناطيسي تُعرف بقوة لورنتز. في الصيغة المتغايرة، يمكن كتابة قوة لورنتز على النحو التالي:
\[
f^\mu = q U_\nu F^{\mu\nu}
\]
حيث \(f^\mu\) هي القوة الرباعية، و \(q\) هي شحنة الجسيم، و \(U_\nu\) هي السرعة الرباعية للجسيم.
فوائد الصياغة المتغايرة
للصياغة المتغايرة للكهرومغناطيسية الكلاسيكية العديد من الفوائد:
- التوافق مع النسبية الخاصة: تضمن الصياغة المتغايرة أن قوانين الكهرومغناطيسية متوافقة مع مبادئ النسبية الخاصة، حيث أن القوانين تأخذ نفس الشكل في جميع الأطر المرجعية بالقصور الذاتي.
- الإيجاز والأناقة: تبسط الصياغة المتغايرة معادلات ماكسويل في معادلتين موجزتين، مما يجعلها أسهل في التعامل معها.
- فهم أعمق: توفر الصياغة المتغايرة فهمًا أعمق للعلاقة بين المجالين الكهربائي والمغناطيسي، حيث يتم التعامل معهما كوجهين مختلفين لنفس الكيان الفيزيائي.
- تسهيل الحسابات: تسهل الصياغة المتغايرة إجراء الحسابات في الكهرومغناطيسية، خاصة في المسائل التي تتضمن حركة نسبية.
تطبيقات الصياغة المتغايرة
تستخدم الصياغة المتغايرة للكهرومغناطيسية الكلاسيكية على نطاق واسع في العديد من المجالات الفيزيائية، بما في ذلك:
- الفيزياء النظرية: تستخدم في تطوير النظريات الفيزيائية الأساسية، مثل نظرية الحقل الكمومي والكهروديناميكا الكمية.
- فيزياء البلازما: تستخدم في دراسة سلوك البلازما، وهي حالة المادة التي تتكون من جسيمات مشحونة حرة.
- الفيزياء الفلكية: تستخدم في دراسة الظواهر الكهرومغناطيسية في الفضاء، مثل المجالات المغناطيسية للنجوم والمجرات.
- تكنولوجيا المسرعات: تستخدم في تصميم وتشغيل المسرعات الجسيمية، التي تستخدم المجالات الكهرومغناطيسية لتسريع الجسيمات المشحونة إلى سرعات عالية.
مثال توضيحي: تحويل المجالات الكهرومغناطيسية
لنفترض أن لدينا إطارين مرجعيين بالقصور الذاتي، \(S\) و \(S’\)، حيث يتحرك \(S’\) بسرعة ثابتة \(v\) بالنسبة إلى \(S\) في اتجاه المحور \(x\). يمكننا استخدام تحويلات لورنتز لتحويل المجالات الكهرومغناطيسية من إطار \(S\) إلى إطار \(S’\).
إذا كانت المجالات في إطار \(S\) هي \(\mathbf{E} = (E_x, E_y, E_z)\) و \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\)، فإن المجالات في إطار \(S’\) تعطى بالعلاقات التالية:
\[
\begin{aligned}
E’_x &= E_x \\
E’_y &= \gamma(E_y – vB_z) \\
E’_z &= \gamma(E_z + vB_y) \\
B’_x &= B_x \\
B’_y &= \gamma(B_y + \frac{v}{c^2} E_z) \\
B’_z &= \gamma(B_z – \frac{v}{c^2} E_y)
\end{aligned}
\]
حيث \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}\) هو عامل لورنتز.
يوضح هذا المثال كيف تتحول المجالات الكهربائية والمغناطيسية تحت تحويلات لورنتز، وكيف يمكن استخدام الصياغة المتغايرة لحساب هذه التحويلات بسهولة.
محددات الصياغة المتغايرة
على الرغم من أن الصياغة المتغايرة للكهرومغناطيسية الكلاسيكية قوية وأنيقة، إلا أنها تعتمد على افتراض أن قوانين الفيزياء يجب أن تكون هي نفسها في جميع الأطر المرجعية بالقصور الذاتي. هذا الافتراض صحيح في ظل ظروف معينة، ولكن قد لا يكون صحيحًا في حالات أخرى. على سبيل المثال، في وجود الجاذبية، يجب استخدام النسبية العامة لصياغة قوانين الفيزياء بطريقة متغيرة.
بالإضافة إلى ذلك، فإن الصياغة المتغايرة للكهرومغناطيسية الكلاسيكية هي نظرية كلاسيكية ولا تأخذ في الاعتبار تأثيرات ميكانيكا الكم. في الأنظمة التي تكون فيها تأثيرات ميكانيكا الكم مهمة، يجب استخدام الكهروديناميكا الكمية لوصف سلوك المجال الكهرومغناطيسي.
خاتمة
الصياغة المتغايرة للكهرومغناطيسية الكلاسيكية هي طريقة قوية وأنيقة لكتابة قوانين الكهرومغناطيسية بطريقة متوافقة مع النسبية الخاصة. تستخدم هذه الصياغة المتجهات الرباعية وموتر المجال الكهرومغناطيسي لتبسيط معادلات ماكسويل ووصف القوة التي تؤثر على الجسيمات المشحونة في المجالات الكهرومغناطيسية. هذه الصياغة لها تطبيقات واسعة في الفيزياء النظرية وفيزياء البلازما والفيزياء الفلكية وتكنولوجيا المسرعات. على الرغم من وجود بعض القيود، إلا أن الصياغة المتغايرة تظل أداة أساسية لفهم الكهرومغناطيسية في سياق النسبية الخاصة.