مقدمة
في الإحصاء، غالبًا ما نهتم بفهم العلاقة بين متغيرين أو أكثر. الانحدار هو أداة قوية لتحقيق ذلك، حيث يهدف إلى نمذجة هذه العلاقة. ومع ذلك، تفترض طرق الانحدار التقليدية (المعلمية) شكلًا وظيفيًا محددًا مسبقًا للعلاقة، مثل العلاقة الخطية أو متعددة الحدود. قد يكون هذا التقييد مشكلة عندما يكون الشكل الحقيقي للعلاقة غير معروف أو معقدًا للغاية بحيث لا يمكن تمثيله بدقة بواسطة نموذج معلمي بسيط. هنا يأتي دور الانحدار اللامعلمي.
يوفر الانحدار اللامعلمي بديلاً مرنًا للانحدار المعلمي، حيث لا يفرض أي افتراضات مسبقة حول شكل العلاقة. بدلاً من ذلك، يستمد شكل العلاقة مباشرة من البيانات نفسها. هذا يجعله مفيدًا بشكل خاص في الحالات التي لا يوجد فيها أساس نظري قوي لاختيار نموذج معلمي معين، أو عندما يكون من المشتبه فيه أن العلاقة معقدة وغير خطية.
الأساليب الرئيسية في الانحدار اللامعلمي
توجد العديد من التقنيات المختلفة للانحدار اللامعلمي، ولكل منها نقاط قوتها وضعفها. بعض الأساليب الأكثر شيوعًا تشمل:
- تقدير الكثافة النواة (Kernel Density Estimation): تستخدم هذه الطريقة دالة النواة لتقدير كثافة الاحتمال للمتغيرات. ثم يتم استخدام هذه الكثافة المقدرة لنمذجة العلاقة بين المتغيرات.
- الانحدار باستخدام النواة (Kernel Regression): يعمم هذا الأسلوب الانحدار الخطي عن طريق إدخال نواة لتحديد مدى تأثير كل نقطة بيانات على التنبؤ. تشمل الأمثلة الشائعة نواة جاوسية (Gaussian kernel) ونواة تربيعية (Quadratic kernel).
- التسوية الموضعية (Local Smoothing): تقوم هذه الطريقة بتقدير قيمة المتغير التابع في نقطة معينة عن طريق حساب متوسط قيم المتغير التابع في المنطقة المحيطة بتلك النقطة. تشمل الأمثلة الشائعة المتوسط المتحرك (Moving Average) وانحدار لوَس (LOESS Regression).
- الانحدار باستخدام الدوال القاعدية (Spline Regression): تستخدم هذه الطريقة دوالًا قاعدية لتمثيل العلاقة بين المتغيرات. الدوال القاعدية هي دوال متعددة الحدود مقسمة إلى أجزاء، مما يسمح لها بالتقاط العلاقات المعقدة بشكل مرن.
- الأشجار الانحدارية (Regression Trees): تقوم هذه الطريقة بتقسيم مساحة المتغيرات المستقلة إلى مناطق، ثم تقوم بتقدير قيمة المتغير التابع في كل منطقة باستخدام متوسط قيم المتغير التابع في تلك المنطقة.
- الغابات العشوائية (Random Forests): هي عبارة عن مجموعة من الأشجار الانحدارية. يتم تدريب كل شجرة على مجموعة فرعية مختلفة من البيانات، ثم يتم تجميع التنبؤات من جميع الأشجار للحصول على تنبؤ نهائي.
مزايا وعيوب الانحدار اللامعلمي
مثل أي طريقة إحصائية، للانحدار اللامعلمي مزايا وعيوب:
المزايا
- المرونة: لا يفترض الانحدار اللامعلمي أي شكل وظيفي محدد مسبقًا للعلاقة بين المتغيرات، مما يجعله أكثر مرونة من تقنيات الانحدار المعلمي.
- القدرة على التعامل مع العلاقات المعقدة: يمكن للانحدار اللامعلمي التقاط العلاقات المعقدة وغير الخطية التي قد يكون من الصعب نمذجتها باستخدام طرق الانحدار المعلمي.
- عدم الحاجة إلى افتراضات قوية: يتطلب الانحدار اللامعلمي افتراضات أقل حول البيانات مقارنة بالانحدار المعلمي.
العيوب
- الحاجة إلى حجم عينة كبير: غالبًا ما يتطلب الانحدار اللامعلمي حجم عينة كبير للحصول على تقديرات دقيقة.
- القابلية للتأثر بالقيم المتطرفة: يمكن أن يكون الانحدار اللامعلمي حساسًا للقيم المتطرفة في البيانات.
- صعوبة التفسير: قد يكون من الصعب تفسير نتائج الانحدار اللامعلمي مقارنة بنتائج الانحدار المعلمي.
- الحساب المكثف: يمكن أن يكون الانحدار اللامعلمي مكلفًا من الناحية الحسابية، خاصة بالنسبة لمجموعات البيانات الكبيرة.
تطبيقات الانحدار اللامعلمي
يستخدم الانحدار اللامعلمي في مجموعة واسعة من المجالات، بما في ذلك:
- التمويل: نمذجة أسعار الأسهم، والتنبؤ بعوائد الأصول.
- الاقتصاد: تحليل العلاقة بين البطالة والتضخم، والتنبؤ بالنمو الاقتصادي.
- الطب: نمذجة العلاقة بين الجرعة والاستجابة، والتنبؤ بنتائج المرضى.
- الهندسة: نمذجة أداء الأنظمة، والتنبؤ بالموثوقية.
- علوم البيئة: نمذجة التلوث، والتنبؤ بتغير المناخ.
اختيار طريقة الانحدار اللامعلمي المناسبة
يعتمد اختيار طريقة الانحدار اللامعلمي المناسبة على طبيعة البيانات والمشكلة المطروحة. بعض العوامل التي يجب مراعاتها تشمل:
- حجم العينة: إذا كان حجم العينة صغيرًا، فقد تكون طرق التسوية الموضعية أكثر ملاءمة. إذا كان حجم العينة كبيرًا، فقد تكون طرق النواة أو الدوال القاعدية أكثر ملاءمة.
- أبعاد البيانات: إذا كانت البيانات عالية الأبعاد، فقد تكون الأشجار الانحدارية أو الغابات العشوائية أكثر ملاءمة.
- الشكل المتوقع للعلاقة: إذا كان من المتوقع أن تكون العلاقة معقدة وغير خطية، فقد تكون الدوال القاعدية أو الغابات العشوائية أكثر ملاءمة.
- الأهداف: إذا كان الهدف هو الحصول على تنبؤات دقيقة، فقد تكون الغابات العشوائية هي الخيار الأفضل. إذا كان الهدف هو فهم العلاقة بين المتغيرات، فقد تكون طرق التسوية الموضعية أو النواة أكثر ملاءمة.
مثال توضيحي باستخدام بايثون
فيما يلي مثال بسيط يوضح كيفية استخدام الانحدار باستخدام النواة في بايثون باستخدام مكتبة scikit-learn:
“`python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.kernel_ridge import KernelRidge
# إنشاء بيانات وهمية
X = np.linspace(0, 10, 100)
y = np.sin(X) + np.random.normal(0, 0.2, 100)
# إنشاء نموذج الانحدار باستخدام النواة
kr = KernelRidge(alpha=1.0, kernel=’rbf’) # ‘rbf’ is the Gaussian kernel
# تدريب النموذج
kr.fit(X.reshape(-1, 1), y)
# التنبؤ بالقيم
X_plot = np.linspace(0, 10, 500)
y_pred = kr.predict(X_plot.reshape(-1, 1))
# عرض النتائج
plt.scatter(X, y, label=’Data’)
plt.plot(X_plot, y_pred, color=’red’, label=’Kernel Regression’)
plt.legend()
plt.show()
“`
يوضح هذا المثال كيفية إنشاء نموذج انحدار باستخدام النواة، وتدريبه على البيانات، ثم التنبؤ بقيم جديدة. يمكنك تجربة أنواع مختلفة من النواة (مثل ‘linear’ أو ‘poly’) وتعديل المعامل `alpha` (قوة التنظيم) لتحسين أداء النموذج.
خاتمة
الانحدار اللامعلمي هو أداة قوية ومرنة لنمذجة العلاقات بين المتغيرات عندما لا يكون من المناسب أو الممكن استخدام طرق الانحدار المعلمي. يوفر بديلاً قيمًا عندما يكون الشكل الحقيقي للعلاقة غير معروف أو معقدًا. على الرغم من أن له بعض العيوب، مثل الحاجة إلى حجم عينة كبير وصعوبة التفسير، إلا أنه أداة أساسية في صندوق أدوات الإحصائيين وعلماء البيانات.