صيغة دالامبير (D’Alembert’s Formula)

مقدمة إلى المعادلة الموجية

قبل الخوض في تفاصيل صيغة دالامبير، من الضروري فهم المعادلة الموجية التي تحاول حلها. المعادلة الموجية أحادية البعد هي معادلة تفاضلية جزئية خطية من الدرجة الثانية تصف انتشار الاضطرابات (أو الموجات) في وسيط ما. رياضياً، تُعطى المعادلة الموجية بالصيغة التالية:

∂²u / ∂t² = c² (∂²u / ∂x²)

حيث:

u(x, t) تمثل الإزاحة الرأسية للوسيط عند النقطة x في الزمن t.
x هو موضع على طول البعد الواحد.
t هو الزمن.
c هي سرعة انتشار الموجة في الوسيط.

تمثل هذه المعادلة حركة العديد من الظواهر الفيزيائية، بما في ذلك اهتزازات الأوتار المشدودة، والموجات الصوتية في الهواء، والموجات الكهرومغناطيسية في الفضاء الحر. تعتمد طبيعة الحل على الشروط الأولية، أي الإزاحة الأولية وسرعة الإزاحة الأولية للوسيط.

اشتقاق صيغة دالامبير

يعتمد اشتقاق صيغة دالامبير على تحويل المعادلة الموجية إلى شكل أبسط باستخدام تغيير في المتغيرات. لنفترض أننا نُعرّف متغيرين جديدين:

ξ = x + ct
η = x – ct

باستخدام قاعدة السلسلة، يمكننا التعبير عن المشتقات الجزئية لـ u بالنسبة لـ x و t بدلالة المشتقات الجزئية لـ u بالنسبة لـ ξ و η:

∂u / ∂x = ∂u / ∂ξ + ∂u / ∂η
∂u / ∂t = c(∂u / ∂ξ – ∂u / ∂η)

ثم نحسب المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية:

∂²u / ∂x² = ∂²u / ∂ξ² + 2(∂²u / ∂ξ∂η) + ∂²u / ∂η²
∂²u / ∂t² = c²(∂²u / ∂ξ² – 2(∂²u / ∂ξ∂η) + ∂²u / ∂η²)

بالتعويض بهذه التعبيرات في المعادلة الموجية الأصلية، نحصل على:

∂²u / ∂ξ∂η = 0

هذه المعادلة أبسط بكثير من المعادلة الموجية الأصلية. يمكننا الآن دمجها بسهولة مرتين، أولاً بالنسبة إلى η ثم بالنسبة إلى ξ. ينتج عن هذا التكامل الحل العام:

u(ξ, η) = F(ξ) + G(η)

حيث F و G هما دالتان اختياريتان. بالعودة إلى المتغيرات الأصلية x و t، نحصل على صيغة دالامبير:

u(x, t) = F(x + ct) + G(x – ct)

تفسير صيغة دالامبير

تقدم صيغة دالامبير تفسيرًا بديهيًا للغاية لحركة الموجة. يتكون الحل من مجموع دالتين، F(x + ct) و G(x – ct). تمثل الدالة F(x + ct) موجة تتحرك نحو اليسار (الاتجاه السالب لـ x) بسرعة c، بينما تمثل الدالة G(x – ct) موجة تتحرك نحو اليمين (الاتجاه الموجب لـ x) بنفس السرعة c.

بعبارة أخرى، يمكن اعتبار أي حل للمعادلة الموجية على أنه تراكب لموجتين تتحركان في اتجاهين متعاكسين. يحدد شكل هاتين الموجتين من خلال الشروط الأولية، أي الإزاحة الأولية وسرعة الإزاحة الأولية للوسيط.

تطبيق الشروط الأولية

لتحديد الدوال F و G في صيغة دالامبير، يجب علينا تطبيق الشروط الأولية. لنفترض أننا نعلم الإزاحة الأولية u(x, 0) = φ(x) وسرعة الإزاحة الأولية ∂u/∂t(x, 0) = ψ(x). باستخدام صيغة دالامبير:

u(x, 0) = F(x) + G(x) = φ(x)
∂u/∂t(x, 0) = cF'(x) – cG'(x) = ψ(x)

بإجراء التكامل للمعادلة الثانية، نحصل على:

F(x) – G(x) = (1/c) ∫₀^x ψ(s) ds + C

حيث C هو ثابت التكامل. بحل نظام المعادلات المكون من المعادلتين F(x) + G(x) = φ(x) و F(x) – G(x) = (1/c) ∫₀^x ψ(s) ds + C، نجد:

F(x) = (1/2) φ(x) + (1/2c) ∫₀^x ψ(s) ds + C/2
G(x) = (1/2) φ(x) – (1/2c) ∫₀^x ψ(s) ds – C/2

بالتعويض بهذه التعبيرات في صيغة دالامبير، نحصل على الحل النهائي:

u(x, t) = (1/2) [φ(x + ct) + φ(x – ct)] + (1/2c) ∫_x-ct^x+ct ψ(s) ds

يوضح هذا الحل كيف تعتمد الإزاحة عند نقطة معينة في الفضاء والزمن على الإزاحة الأولية وسرعة الإزاحة الأولية في منطقة محددة حول تلك النقطة.

أمثلة وتطبيقات

تستخدم صيغة دالامبير على نطاق واسع في العديد من المجالات، بما في ذلك:

الفيزياء: تحليل حركة الأوتار المشدودة، والموجات الصوتية، والموجات الكهرومغناطيسية.
الهندسة: تصميم الهياكل التي يمكنها تحمل الأحمال الديناميكية، مثل الجسور والمباني.
علم الزلازل: دراسة انتشار الموجات الزلزالية في باطن الأرض.
معالجة الإشارات: تصميم المرشحات ومعالجة الإشارات الصوتية والمرئية.

مثال: اهتزاز وتر مشدود:

لنفترض أن لدينا وترًا مشدودًا مثبتًا عند الطرفين x = 0 و x = L. الإزاحة الأولية للوتر هي φ(x) = A sin(πx/L)، وسرعة الإزاحة الأولية هي ψ(x) = 0. باستخدام صيغة دالامبير، يمكننا إيجاد الإزاحة عند أي نقطة على الوتر في أي وقت:

u(x, t) = (A/2) [sin(π(x + ct)/L) + sin(π(x – ct)/L)]

باستخدام المتطابقة المثلثية sin(a) + sin(b) = 2 sin((a+b)/2) cos((a-b)/2)، يمكننا تبسيط هذا التعبير إلى:

u(x, t) = A sin(πx/L) cos(πct/L)

يوضح هذا الحل أن الوتر يهتز بنمط جيبي بسيط، مع تردد يعتمد على سرعة الموجة c وطول الوتر L.

حدود صيغة دالامبير

صيغة دالامبير هي حل قوي وأنيق للمعادلة الموجية أحادية البعد، ولكن لها بعض القيود:

بعد واحد: تنطبق صيغة دالامبير فقط على المعادلات الموجية أحادية البعد. بالنسبة للمعادلات الموجية ثنائية وثلاثية الأبعاد، يجب استخدام طرق أخرى.
شروط أولية: تتطلب صيغة دالامبير معرفة الشروط الأولية (الإزاحة الأولية وسرعة الإزاحة الأولية). إذا كانت هذه الشروط غير معروفة، فلا يمكن استخدام الصيغة.
معاملات ثابتة: تفترض صيغة دالامبير أن سرعة الموجة c ثابتة. إذا كانت سرعة الموجة تعتمد على الموضع أو الزمان، فلا يمكن استخدام الصيغة مباشرةً.
خطية: تنطبق صيغة دالامبير على المعادلات الموجية الخطية. بالنسبة للمعادلات الموجية غير الخطية، يجب استخدام طرق أخرى.

على الرغم من هذه القيود، تظل صيغة دالامبير أداة قيمة لفهم وتحليل سلوك الموجات في العديد من التطبيقات.

توسعات وتعميمات

هناك العديد من التوسعات والتعميمات لصيغة دالامبير التي تعالج بعض القيود المذكورة أعلاه. على سبيل المثال، هناك طرق لحل المعادلات الموجية ثنائية وثلاثية الأبعاد باستخدام تقنيات مثل تحويل فورييه وحلول غرين. بالإضافة إلى ذلك، هناك طرق لحل المعادلات الموجية ذات المعاملات المتغيرة، على الرغم من أن هذه الطرق عادة ما تكون أكثر تعقيدًا.

خاتمة

صيغة دالامبير هي حل عام للمعادلة الموجية أحادية البعد، وهي أداة قوية لفهم وتحليل سلوك الموجات. توفر الصيغة حلاً صريحًا يربط بين الإزاحة عند نقطة معينة في الفضاء والزمن بالشروط الأولية للموجة. على الرغم من وجود بعض القيود، إلا أن صيغة دالامبير تستخدم على نطاق واسع في العديد من المجالات، بما في ذلك الفيزياء والهندسة وعلم الزلازل ومعالجة الإشارات. إن فهم صيغة دالامبير أمر ضروري لأي شخص مهتم بدراسة الموجات والظواهر المرتبطة بها.