تعريف رياضي
بشكل أكثر دقة، لتكن (X1, X2, X3, …) سلسلة عشوائية معرفة على فضاء احتمالي (Ω, F, P). لتكن (F1, F2, F3, …) سلسلة متزايدة من الجبر السيجما الجزئي لـ F، تسمى تصفية (filtration). نقول إن (Xn) هي متتالية فرق مارتينجال بالنسبة إلى (Fn) إذا تحققت الشروط التالية:
- Xn قابلة للتكامل (أي أن القيمة المتوقعة لـ |Xn| محدودة).
- Xn قابلة للقياس بالنسبة إلى Fn (أي أن قيمة Xn يمكن تحديدها بمعرفة المعلومات في Fn).
- E[Xn | Fn-1] = 0 لكل n > 1 (أي أن القيمة المتوقعة لـ Xn، معطى Fn-1، تساوي صفرًا).
بمعنى آخر، يجب أن يكون كل مصطلح في المتتالية قابلاً للتكامل، وقابلاً للقياس بالنسبة إلى التصفية المقابلة، ومتوسط قيمته المشروطة، معطى التاريخ السابق، يجب أن يكون صفرًا.
العلاقة بالماراتينجال
متتالية فرق المارتينجال مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالماراتينجال. إذا كانت (Yn) مارتينجال بالنسبة إلى التصفية (Fn)، فإن السلسلة (Xn) المعرفة بواسطة X1 = Y1 و Xn = Yn – Yn-1 لـ n > 1 هي متتالية فرق مارتينجال. هذا يعني أن الفرق بين قيمتين متتاليتين في المارتينجال يشكل متتالية فرق مارتينجال.
وبالمثل، إذا كانت (Xn) متتالية فرق مارتينجال، فإن السلسلة (Yn) المعرفة بواسطة Yn = Σi=1n Xi هي مارتينجال. أي أن مجموع متتالية فرق مارتينجال هو مارتينجال.
أمثلة
مثال 1: رمي عملة معدنية عادلة
لنفترض أننا نرمي عملة معدنية عادلة عدة مرات. ليكن Zi = 1 إذا ظهرت صورة في الرمية i، و Zi = -1 إذا ظهرت كتابة. لنفترض أن Fn هي الجبر السيجما الناتج عن Z1, Z2, …, Zn. إذن (Zn) هي متتالية فرق مارتينجال. وذلك لأن E[Zn | Fn-1] = 0 لكل n، نظرًا لأن العملة عادلة ولا تعتمد نتيجة الرمية n على نتائج الرميات السابقة.
مثال 2: حركة براونية
لتكن (Bt) حركة براونية قياسية، و Ft هي الجبر السيجما الناتج عن (Bs) لجميع s ≤ t. لنفترض أن Δt > 0. إذن السلسلة (Xn) المعرفة بواسطة Xn = BnΔt – B(n-1)Δt هي متتالية فرق مارتينجال. وذلك لأن الزيادات في الحركة البراونية مستقلة ولها توزيع طبيعي بمتوسط 0 وتباين Δt. وبالتالي، E[Xn | F(n-1)Δt] = 0.
خصائص واستخدامات
متتاليات فرق المارتينجال لها العديد من الخصائص الهامة وتستخدم على نطاق واسع في نظرية الاحتمالات والإحصاء والاقتصاد القياسي والتمويل:
- نظرية حدود المجموع: يمكن استخدام متتاليات فرق المارتينجال لإثبات نظريات الحدود للمجموعات العشوائية. على سبيل المثال، توجد إصدارات لمتتاليات فرق المارتينجال من قانون الأعداد الكبيرة ونظرية النهاية المركزية.
- الاستدلال الإحصائي: غالبًا ما تظهر متتاليات فرق المارتينجال في سياق نماذج الانحدار والتقدير الإحصائي. يمكن استخدامها لإثبات اتساق وكفاءة المقدرات.
- التمويل الرياضي: تلعب متتاليات فرق المارتينجال دورًا حاسمًا في نظرية التسعير المحايد للمخاطر للأصول المالية.
- التعلم المعزز: تظهر في سياق خوارزميات التعلم المعزز حيث تكون التحديثات عبارة عن متتالية فرق مارتينجال.
نظرية التقارب للمارتينجال
تعد نظرية التقارب للمارتينجال أداة قوية لتحليل سلوك المارتينجال ومتتاليات فرق المارتينجال. هناك العديد من الإصدارات من هذه النظرية، ولكن أحدها ينص على ما يلي:
نظرية: إذا كانت (Yn) مارتينجالًا غير سالب، فإن Yn يتقارب بشكل مؤكد تقريبًا إلى متغير عشوائي Y عندما تقترب n من اللانهاية. علاوة على ذلك، E[Y] ≤ lim inf E[Yn].
يمكن استخدام هذه النظرية لإثبات التقارب للعديد من العمليات العشوائية، بما في ذلك المارتينجال ومتتاليات فرق المارتينجال.
تطبيقات متقدمة
بالإضافة إلى التطبيقات المذكورة أعلاه، تظهر متتاليات فرق المارتينجال في العديد من المجالات الأخرى المتقدمة:
- نظرية الترشيح: تستخدم متتاليات فرق المارتينجال في نظرية الترشيح لتقدير الإشارات من البيانات الضوضاء.
- التحكم الأمثل: تظهر في مشاكل التحكم الأمثل حيث يحاول المرء التحكم في نظام ما لتعظيم بعض المعايير.
- التحليل العشوائي: تستخدم في دراسة المعادلات التفاضلية العشوائية وغيرها من العمليات العشوائية المعقدة.
اعتبارات مهمة
عند العمل مع متتاليات فرق المارتينجال، من المهم مراعاة ما يلي:
- اختيار التصفية: اختيار التصفية (Fn) أمر بالغ الأهمية. يجب أن تلتقط التصفية جميع المعلومات ذات الصلة المتاحة في كل نقطة زمنية.
- شروط التكامل: يجب التحقق من شروط التكامل بعناية. إذا لم يتم استيفاء شروط التكامل، فقد لا تكون الخصائص الأساسية لمتتاليات فرق المارتينجال صحيحة.
- افتراضات الاستقلالية: في بعض التطبيقات، من الضروري افتراض أن المصطلحات في متتالية فرق المارتينجال مستقلة أو شبه مستقلة. يجب تبرير هذه الافتراضات بعناية.
خاتمة
متتالية فرق المارتينجال هي مفهوم أساسي في نظرية الاحتمالات والإحصاء، مع تطبيقات واسعة النطاق في مختلف المجالات مثل التمويل والاقتصاد القياسي والتعلم المعزز. فهم تعريفها وخصائصها وعلاقتها بالماراتينجال أمر ضروري للعمل مع العمليات العشوائية وتحليلها. إنها أداة قوية لحل مجموعة متنوعة من المشاكل في الرياضيات التطبيقية.