درجة الامتداد الحَقْلي (Degree of a Field Extension)

تعريف رسمي

ليكن *K* و *L* حقلين، بحيث يكون *K* حقلًا جزئيًا من *L*. عندها نقول أن *L* هو امتداد حقلي لـ *K*. يمكننا اعتبار *L* فضاءً متجهيًا على *K*، حيث أن عملية الضرب القياسي هي مجرد الضرب في *K*. درجة الامتداد [ *L* : *K* ] هي بُعد الفضاء المتجهي *L* على *K*. بعبارة أخرى، [ *L* : *K* ] هي عدد العناصر في أي قاعدة (أساس) لـ *L* على *K*. إذا كانت هذه الدرجة منتهية، نقول أن الامتداد *L* / *K* هو امتداد منتهٍ. وإذا كانت الدرجة غير منتهية، نقول أن الامتداد *L* / *K* هو امتداد لانهائي.

بشكل رمزي:

[ *L* : *K* ] = dim_*K*(*L*)

حيث dim_*K*(*L*) هو بُعد *L* كفضاء متجهي على *K*.

أمثلة

امتداد بسيط: لنأخذ الحقل الحقيقي R والحقل المركب C. نعلم أن C = {*a* + *bi* | *a*, *b* ∈ R}، حيث *i* هو الوحدة التخيلية (√-1). إذًا، C هو امتداد حقلي لـ R. يمكننا اعتبار C فضاءً متجهيًا على R، وله قاعدة {1, *i*}. إذًا، درجة الامتداد [C : R] = 2.
امتداد الأعداد الجذرية: ليكن Q هو حقل الأعداد الجذرية (النسبية). إذا أضفنا الجذر التربيعي للعدد 2 إلى Q، نحصل على الامتداد Q(√2) = {*a* + *b*√2 | *a*, *b* ∈ Q}. هذا الامتداد له درجة 2 على Q، أي [Q(√2) : Q] = 2. القاعدة هي {1, √2}.
امتداد الأعداد الجذرية (أكثر تعقيدًا): ليكن Q(³√2) = {*a* + *b*³√2 + *c*(³√2)² | *a*, *b*, *c* ∈ Q}. هذا الامتداد له درجة 3 على Q، أي [Q(³√2) : Q] = 3. القاعدة هي {1, ³√2, (³√2)²}.
امتداد لانهائي: ليكن Q هو حقل الأعداد الجذرية، وليكن Q(*π*) هو الامتداد الحَقْلي الذي نحصل عليه بإضافة العدد *π* إلى Q. بما أن *π* عدد متسامٍ (transcendental number) على Q (أي أنه ليس جذرًا لأي متعددة حدود غير صفرية بمعاملات في Q)، فإن الامتداد Q(*π*) / Q هو امتداد لانهائي، أي [Q(*π*) : Q] = ∞.

نظرية الدرجات المتتالية

تُعتبر نظرية الدرجات المتتالية (Tower Law) أداة قوية لحساب درجات الامتدادات الحقلية. تنص النظرية على أنه إذا كان لدينا ثلاثة حقول *K* ⊆ *L* ⊆ *M*، فإن:

[ *M* : *K* ] = [ *M* : *L* ] [ *L* : *K* ]

هذا يعني أن درجة الامتداد الكبير *M* / *K* تساوي حاصل ضرب درجات الامتدادات الوسيطة *M* / *L* و *L* / *K*.

مثال: لنفترض أن لدينا الحقول Q ⊆ Q(√2) ⊆ Q(√2, √3). نعلم أن [Q(√2) : Q] = 2. ولحساب [Q(√2, √3) : Q(√2)]، نلاحظ أن √3 ليس في Q(√2)، وبالتالي فإن إضافة √3 إلى Q(√2) ستزيد درجة الامتداد. في الواقع، [Q(√2, √3) : Q(√2)] = 2، لأن Q(√2, √3) = {*a* + *b*√3 | *a*, *b* ∈ Q(√2)}. إذن، باستخدام نظرية الدرجات المتتالية:

[Q(√2, √3) : Q] = [Q(√2, √3) : Q(√2)] [Q(√2) : Q] = 2 * 2 = 4

العناصر الجبرية والعناصر المتسامية

يلعب مفهوم العناصر الجبرية و العناصر المتسامية دورًا مهمًا في تحديد درجة الامتداد. إذا كان لدينا امتداد حقلي *L* / *K*، فإن العنصر α ∈ *L* يُسمى جبريًا على *K* إذا كان جذرًا لمتعددة حدود غير صفرية بمعاملات في *K*. أما إذا لم يكن العنصر جبريًا، فإنه يُسمى متساميًا على *K*.

إذا كان α جبريًا على *K*، فإن درجة الامتداد *K*(α) / *K* تكون منتهية، وتساوي درجة أصغر متعددة حدود (minimal polynomial) لـ α على *K*. أما إذا كان α متساميًا على *K*، فإن درجة الامتداد *K*(α) / *K* تكون لانهائية.

مثال: √2 جبري على Q، لأنها جذر لمتعددة الحدود *x*² – 2. أما *π* فهو متسامٍ على Q (وهذا ليس بديهيًا ويتطلب إثباتًا)، وبالتالي فإن Q(*π*) هو امتداد لانهائي لـ Q.

بناء الامتدادات الحقلية

يمكن بناء الامتدادات الحقلية بعدة طرق، منها:

إضافة الجذور: كما رأينا في الأمثلة السابقة، يمكننا إضافة جذور متعددات الحدود إلى حقل ما لإنشاء امتداد حقلي. هذه الطريقة شائعة جدًا في نظرية غالوا.
حقول الدوال الجذرية: إذا كان لدينا حقل *K*، يمكننا إنشاء حقل الدوال الجذرية *K*(*x*)، حيث *x* هو متغير. هذا الحقل يتكون من كسور متعددات الحدود في *x* بمعاملات في *K*.
حقول الانفصال: حقل الانفصال لمتعددة حدود *f*(x) فوق حقل *K* هو أصغر حقل *L* يحتوي على *K* وكل جذور *f*(x). درجة حقل الانفصال مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بزمرة غالوا (Galois group) لـ *f*(x).

تطبيقات

تتمتع درجة الامتداد الحَقْلي بتطبيقات واسعة في مجالات مختلفة من الرياضيات، بما في ذلك:

نظرية غالوا: درجة الامتداد الحَقْلي هي مفهوم أساسي في نظرية غالوا، والتي تدرس العلاقة بين الحقول والزمر.
قابلية الإنشاء بالفرجار والمسطرة: يمكن استخدام درجة الامتداد الحَقْلي لإثبات أن بعض الإنشاءات الهندسية الكلاسيكية غير ممكنة باستخدام الفرجار والمسطرة فقط، مثل تثليث الزاوية وتضعييف المكعب.
نظرية الأعداد الجبرية: في نظرية الأعداد الجبرية، تلعب درجة الامتداد الحَقْلي دورًا حاسمًا في دراسة حقول الأعداد الجبرية وحلقات الأعداد الصحيحة فيها.
التشفير: تستخدم بعض أنظمة التشفير الحديثة، مثل التشفير المنحني الإهليلجي، امتدادات حقلية منتهية لبناء دوال أحادية الاتجاه (one-way functions).

حساب درجة الامتداد

لحساب درجة الامتداد [L:K]، يمكن اتباع الخطوات التالية:

تحديد الحقلين: حدد بوضوح الحقل الأساسي K والحقل الامتدادي L.
إيجاد أساس للفضاء المتجهي: أوجد أساسًا للفضاء المتجهي L على K. بمعنى آخر، أوجد مجموعة من العناصر في L بحيث يمكن كتابة أي عنصر في L كتوليفة خطية من هذه العناصر بمعاملات من K.
عد العناصر في الأساس: عدد العناصر في الأساس هو درجة الامتداد [L:K].

إذا كان L = K(α) حيث α جبري على K، فإن درجة الامتداد [L:K] تساوي درجة أصغر متعددة حدود لـ α على K.

مثال: احسب درجة الامتداد [Q(√2, √3) : Q].

الحقل الأساسي هو Q والحقل الامتدادي هو Q(√2, √3).
نعرف أن [Q(√2) : Q] = 2 والأساس هو {1, √2}.
أيضًا، [Q(√2, √3) : Q(√2)] = 2 والأساس هو {1, √3}.
باستخدام نظرية الدرجات المتتالية، [Q(√2, √3) : Q] = [Q(√2, √3) : Q(√2)] [Q(√2) : Q] = 2 * 2 = 4.

إذن، درجة الامتداد [Q(√2, √3) : Q] = 4.

خصائص إضافية

الامتدادات الجبرية: الامتداد L/K هو جبري إذا كان كل عنصر في L جبريًا على K. كل امتداد منتهٍ هو جبري، ولكن العكس ليس صحيحًا دائمًا.
الامتدادات البسيطة: الامتداد L/K هو بسيط إذا كان L = K(α) لعنصر ما α في L. ليس كل امتداد جبري بسيط، ولكن كل امتداد منتهٍ قابل للفصل هو بسيط (نظرية العنصر البدائي).
الامتدادات القابلة للفصل: الامتداد L/K قابل للفصل إذا كانت أصغر متعددة حدود لكل عنصر في L على K ليس لها جذور متكررة في حقل الانفصال الخاص بها.

خاتمة

تُعد درجة الامتداد الحَقْلي مفهومًا أساسيًا في نظرية الحقول، حيث توفر مقياسًا لـ “حجم” الامتداد. فهم هذا المفهوم ضروري لدراسة بنية الحقول وامتداداتها، وله تطبيقات واسعة في مجالات مختلفة من الرياضيات والعلوم الأخرى. بدءًا من نظرية غالوا وانتهاءً بالتشفير، تظهر أهمية درجة الامتداد الحَقْلي في العديد من التطبيقات العملية والنظرية.