نظرية تفكيك ليبيج (Lebesgue’s Decomposition Theorem)

مقدمة

في الرياضيات، وتحديدًا في نظرية القياس، تنص نظرية تفكيك ليبيج على أنه لكل قياسين مُوَجَّهين сигما-محدودين (σ-finite) μ و ν على فضاء قابل للقياس (measurable space) (Ω, Σ)، يوجد قياسان مُوَجَّهان сигما-محدودين λ و ρ على (Ω, Σ) بحيث:

ν = λ + ρ
λ قياس مطلق الاستمرار بالنسبة إلى μ (absolutely continuous with respect to μ)، والذي يُكتب λ << μ
ρ قياس منفرد بالنسبة إلى μ (singular with respect to μ)، والذي يُكتب ρ ⊥ μ

علاوة على ذلك، يكون هذا التفكيك فريدًا من نوعه. بعبارة أخرى، يوجد قياس واحد فقط λ وقياس واحد فقط ρ يفيان بالشروط المذكورة أعلاه.

تعتبر نظرية تفكيك ليبيج أداة قوية في نظرية القياس، وتستخدم على نطاق واسع في التحليل الحقيقي والاحتمالات والإحصاء الرياضي. وهي توفر طريقة لتقسيم قياس ما إلى جزأين: جزء “منتظم” (مطلق الاستمرار) وجزء “شاذ” (منفرد).

شرح المصطلحات الأساسية

لفهم نظرية تفكيك ليبيج بشكل كامل، من الضروري فهم بعض المصطلحات الأساسية المستخدمة فيها:

فضاء قابل للقياس (Measurable Space): هو زوج (Ω, Σ) حيث Ω هي مجموعة (عادةً ما تسمى الفضاء الأساسي) و Σ هي сигما-جبر (σ-algebra) من المجموعات الفرعية لـ Ω. сигما-الجبر هو مجموعة من المجموعات الفرعية التي تتضمن المجموعة الفارغة، ومغلقة تحت المكملات، ومغلقة تحت الاتحادات القابلة للعد.
قياس (Measure): هو دالة μ: Σ → [0, ∞] تعين قيمة غير سالبة أو اللانهاية لكل مجموعة في сигما-الجبر Σ، بحيث:
- μ(∅) = 0 (قياس المجموعة الفارغة هو صفر)
- إذا كانت (A_i)_i=1^∞ عبارة عن سلسلة من المجموعات المتقاطعة بشكل مزدوج في Σ، فإن μ(∪_i=1^∞ A_i) = Σ_i=1^∞ μ(A_i) (خاصية القابلية للعد للإضافة).
قياس مُوَجَّه (Signed Measure): هو دالة ν: Σ → [-∞, ∞] تسمح بقيم سالبة أو موجبة، وتفي بخواص مشابهة للقياس، ولكن مع بعض التعديلات للتعامل مع القيم السالبة. يجب أن تكون ν إما محدودة من الأعلى أو محدودة من الأسفل لتجنب التعبيرات غير المحددة مثل ∞ – ∞.
قياس сигما-محدود (σ-finite Measure): هو قياس μ حيث يمكن تقسيم الفضاء Ω إلى عدد قابل للعد من المجموعات القابلة للقياس (measurable sets) (A_i)_i=1^∞ بحيث μ(A_i) < ∞ لكل i.
الاستمرارية المطلقة (Absolute Continuity): يقال أن القياس ν مستمر بشكل مطلق بالنسبة إلى القياس μ (ويُكتب ν << μ) إذا كان ν(A) = 0 لكل مجموعة قابلة للقياس A حيث μ(A) = 0. بعبارة أخرى، إذا كان μ “يتجاهل” مجموعة ما (يعطيها قياسًا صفريًا)، فإن ν يجب أن “يتجاهل” تلك المجموعة أيضًا.
الانفرادية (Singularity): يقال أن القياس ν منفرد بالنسبة إلى القياس μ (ويُكتب ν ⊥ μ) إذا كانت هناك مجموعة قابلة للقياس A بحيث μ(A) = 0 و ν(Ω \ A) = 0. بعبارة أخرى، يتركز ν على مجموعة يتجاهلها μ.

صياغة النظرية

لنفترض أن μ و ν قياسان مُوَجَّهان сигما-محدودان على الفضاء القابل للقياس (Ω, Σ). إذن، توجد قياسان مُوَجَّهان сигما-محدودان λ و ρ على (Ω, Σ) بحيث:

ν = λ + ρ
λ << μ (λ مستمر بشكل مطلق بالنسبة إلى μ)
ρ ⊥ μ (ρ منفرد بالنسبة إلى μ)

علاوة على ذلك، فإن هذا التفكيك فريد من نوعه. هذا يعني أنه إذا كان هناك قياسان مُوَجَّهان آخران λ’ و ρ’ يفيان بنفس الشروط، فسيكون λ’ = λ و ρ’ = ρ.

دليل على النظرية (ملخص)

يعتمد إثبات نظرية تفكيك ليبيج عادةً على نظرية رادون-نيكوديم (Radon-Nikodym theorem). تتضمن الخطوات الرئيسية ما يلي:

التعامل مع القياسات الموجبة: في البداية، يتم إثبات النظرية للقياسات الموجبة (غير الموجهة).
استخدام نظرية رادون-نيكوديم: يتم تعريف قياس ν + μ. نظرًا لأن ν و μ сигما-محدودان، فإن ν + μ أيضًا сигما-محدود. بناءً على نظرية رادون-نيكوديم، يوجد دالة قابلة للقياس f بحيث λ(A) = ∫_A f d(ν + μ) لكل مجموعة قابلة للقياس A.
تعريف λ و ρ: يتم تعريف λ على أنه الجزء المستمر المطلق، ويتم تعريفه باستخدام نظرية رادون-نيكوديم. يتم تعريف ρ على أنه الجزء المنفرد، وهو المتبقي بعد إزالة الجزء المستمر المطلق.
إثبات الشروط: يتم إثبات أن λ << μ و ρ ⊥ μ.
إثبات التفرد: يتم إثبات أن التفكيك فريد من نوعه.
التوسع إلى القياسات الموجهة: يتم توسيع النتيجة إلى القياسات الموجهة باستخدام تفكيك جوردان (Jordan decomposition).

الدليل الكامل يتطلب معرفة متعمقة بنظرية القياس وقد يكون معقدًا تقنيًا.

أهمية النظرية وتطبيقاتها

تتمتع نظرية تفكيك ليبيج بأهمية كبيرة في نظرية القياس والتحليل الحقيقي، ولها تطبيقات عديدة في مختلف المجالات، بما في ذلك:

الاحتمالات: في نظرية الاحتمالات، يمكن استخدام نظرية تفكيك ليبيج لتقسيم توزيع الاحتمال إلى جزء مستمر (يمثله دالة كثافة الاحتمال) وجزء منفصل (يمثله دالة كتلة الاحتمال) وجزء شاذ.
الإحصاء الرياضي: تستخدم النظرية في الإحصاء الرياضي لتحليل التوزيعات الإحصائية وتقسيمها إلى مكونات مختلفة.
التحليل الوظيفي: تلعب نظرية تفكيك ليبيج دورًا في التحليل الوظيفي، لا سيما في دراسة الفضاءات L^p.
معالجة الإشارات: يمكن استخدام النظرية في معالجة الإشارات لتحليل الإشارات وتقسيمها إلى مكونات مختلفة.

على سبيل المثال، في الإحصاء، إذا كان لدينا متغير عشوائي، فإن توزيع هذا المتغير العشوائي يمكن تفكيكه باستخدام نظرية ليبيج إلى ثلاثة أجزاء: جزء مستمر، وجزء منفصل، وجزء مفرد. الجزء المستمر يصف الاحتمالية التي يقع فيها المتغير العشوائي في نطاق مستمر من القيم. الجزء المنفصل يصف الاحتمالية التي يأخذ فيها المتغير العشوائي قيمًا منفصلة. والجزء المفرد هو الجزء المتبقي الذي لا يمكن وصفه لا بالجزء المستمر ولا بالجزء المنفصل.

مثال آخر، في معالجة الإشارات، يمكن استخدام نظرية ليبيج لتفكيك إشارة صوتية إلى مكونات مختلفة، مثل الموسيقى والكلام والضوضاء. يمكن بعد ذلك تحليل كل مكون على حدة، مما قد يؤدي إلى تحسين جودة الإشارة.

أمثلة توضيحية

لتوضيح نظرية تفكيك ليبيج، إليك بعض الأمثلة:

مثال 1: لنفترض أن μ هو قياس ليبيج (Lebesgue measure) على الخط الحقيقي ℝ، و ν هو قياس ديراك (Dirac measure) عند النقطة 0 (δ₀). إذن، ν ⊥ μ، لأن ν يتركز على المجموعة {0}، التي لها قياس ليبيج صفري. في هذه الحالة، ρ = ν و λ = 0.
مثال 2: لنفترض أن μ هو قياس ليبيج على ℝ، و ν هو قياس معرف بواسطة ν(A) = ∫_A x² dx لكل مجموعة قابلة للقياس A. إذن، ν << μ، لأن ν(A) = 0 إذا كان μ(A) = 0. في هذه الحالة، λ = ν و ρ = 0.
مثال 3: لنفترض أن μ هو قياس ليبيج على [0, 1]، و ν = λ + ρ، حيث λ(A) = ∫_A x dx و ρ هو قياس كانتور (Cantor measure). في هذه الحالة، λ << μ و ρ ⊥ μ. هذا مثال على تفكيك غير تافه حيث كلا الجزأين غير صفريين.

نظرية رادون-نيكوديم وعلاقتها بنظرية تفكيك ليبيج

نظرية رادون-نيكوديم (Radon-Nikodym Theorem) هي نظرية أساسية في نظرية القياس وترتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية تفكيك ليبيج. تنص نظرية رادون-نيكوديم على أنه إذا كان ν قياسًا مستمرًا بشكل مطلق بالنسبة إلى القياس μ (ν << μ) وكلاهما сигما-محدودان على فضاء قابل للقياس (Ω, Σ)، فإنه توجد دالة قابلة للقياس f: Ω → [0, ∞] تسمى مشتق رادون-نيكوديم (Radon-Nikodym derivative) لـ ν بالنسبة إلى μ، ويُشار إليها بـ dν/dμ، بحيث:

ν(A) = ∫_A f dμ

لكل مجموعة قابلة للقياس A في Σ.

بعبارة أخرى، إذا كان ν مستمرًا بشكل مطلق بالنسبة إلى μ، فإنه يمكن التعبير عن ν كتكامل لبعض الدالات بالنسبة إلى μ. في سياق نظرية تفكيك ليبيج، فإن نظرية رادون-نيكوديم تُستخدم لإيجاد الجزء المستمر المطلق λ. إذا كان ν = λ + ρ هو تفكيك ليبيج لـ ν بالنسبة إلى μ، فإن λ << μ، وبالتالي، بناءً على نظرية رادون-نيكوديم، يوجد دالة f بحيث:

λ(A) = ∫_A f dμ

لكل مجموعة قابلة للقياس A في Σ. الدالة f هي مشتق رادون-نيكوديم لـ λ بالنسبة إلى μ (dλ/dμ). إذن، يمكن اعتبار نظرية تفكيك ليبيج تعميمًا لنظرية رادون-نيكوديم، حيث أنها تتعامل مع الحالة التي يكون فيها ν ليس بالضرورة مستمرًا بشكل مطلق بالنسبة إلى μ، ولكنه يمكن تفكيكه إلى جزء مستمر مطلق وجزء منفرد.

خاتمة

تعتبر نظرية تفكيك ليبيج أداة قوية في نظرية القياس، حيث توفر طريقة فريدة لتقسيم قياس مُوَجَّه إلى جزأين: جزء مستمر مطلق وجزء منفرد. تلعب هذه النظرية دورًا حاسمًا في مجالات مختلفة مثل الاحتمالات والإحصاء الرياضي والتحليل الوظيفي، مما يوفر رؤى قيمة حول طبيعة القياسات والتوزيعات.