قياس سيجما-منتهي (Sigma-finite measure)

أمثلة

أمثلة على القياسات المنتهية:

قياس الاحتمال: أي قياس احتمالي هو قياس منتهٍ، حيث أن قياس المجموعة الكلية (فضاء العينة) يساوي 1.
التوزيع المنتظم على فترة محدودة: إذا كان لدينا فترة محدودة [a, b] وقمنا بتعريف قياس عليها بحيث يكون قياس أي مجموعة جزئية هو طولها، فإن هذا القياس سيكون منتهياً.

أمثلة على القياسات سيجما-المنتهية:

قياس ليبيج على خط الأعداد الحقيقية: قياس ليبيج هو القياس “الطبيعي” للطول على خط الأعداد الحقيقية. إنه ليس قياساً منتهياً، لأن قياس خط الأعداد الحقيقية بأكمله هو لانهائي. ومع ذلك، فهو قياس سيجما-منتهي، لأنه يمكننا التعبير عن خط الأعداد الحقيقية كاتحاد قابل للعد من الفترات المحدودة، وكل فترة محدودة لها قياس ليبيج منتهٍ. على سبيل المثال، يمكننا كتابة R = ∪_n=1^∞ [-n, n].
قياس العد: قياس العد يعين لكل مجموعة عدد العناصر فيها. إذا كانت المجموعة منتهية، فإن قياس العد لها يكون منتهياً. أما إذا كانت المجموعة غير منتهية، فإن قياس العد لها يكون لانهائياً. قياس العد على مجموعة قابلة للعد هو قياس سيجما-منتهي، لأنه يمكننا كتابة المجموعة كاتحاد قابل للعد من مجموعات فردية، وكل مجموعة فردية لها قياس عد يساوي 1.
قياس حاصل ضرب قياسين سيجما-منتهيين: إذا كان لدينا قياسان سيجما-منتهيان μ و ν على فضائين X و Y على التوالي، فإن قياس حاصل الضرب μ × ν على الفضاء X × Y هو أيضاً قياس سيجما-منتهي.

أمثلة على القياسات غير سيجما-المنتهية:

قياس ليبيج على مجموعة غير قابلة للقياس: إذا أخذنا مجموعة غير قابلة للقياس (بمعنى أنها لا تنتمي إلى جبر سيجما الذي نستخدمه لقياس ليبيج)، فإن قياسها غير معرف. ومع ذلك، يمكننا تعريف قياس “غريب” يعطي هذه المجموعة قياساً لانهائياً، ويعطي جميع المجموعات الأخرى قياس ليبيج المعتاد. هذا القياس لن يكون سيجما-منتهي.
قياس العد على مجموعة غير قابلة للعد: إذا كان لدينا مجموعة غير قابلة للعد (مثل مجموعة الأعداد الحقيقية) وقمنا بتعريف قياس العد عليها، فإن هذا القياس لن يكون سيجما-منتهي. وذلك لأنه لا يمكننا التعبير عن المجموعة كاتحاد قابل للعد من مجموعات فردية.

أهمية القياسات سيجما-المنتهية

القياسات سيجما-المنتهية مهمة لعدة أسباب:

نظرية رادون-نيكوديم: تلعب القياسات سيجما-المنتهية دوراً حاسماً في نظرية رادون-نيكوديم، والتي تربط بين القياسات المطلقة الاستمرارية والدوال القابلة للتكامل. تنص هذه النظرية على أنه إذا كان μ و ν قياسين سيجما-منتهيين على نفس جبر سيجما، وكان ν مطلق الاستمرارية بالنسبة إلى μ، فإنه توجد دالة قابلة للتكامل f (تسمى مشتق رادون-نيكوديم) بحيث:

ν(A) = ∫_A f dμ

لكل مجموعة قابلة للقياس A.
تعميم النظريات: العديد من النظريات والنتائج في نظرية القياس والتكامل تتطلب أن تكون القياسات المستخدمة سيجما-منتهية. على سبيل المثال، العديد من النتائج المتعلقة بتقارب الدوال القابلة للتكامل تعتمد على هذا الشرط.
التطبيقات: تظهر القياسات سيجما-المنتهية في العديد من التطبيقات في مجالات مختلفة، مثل الاحتمالات والإحصاء والفيزياء.

خصائص القياسات سيجما-المنتهية

الوراثة: إذا كان μ قياساً سيجما-منتهياً على جبر سيجما Σ، وكانت Σ’ جبر سيجما جزئياً من Σ، فإن تقييد μ على Σ’ هو أيضاً قياس سيجما-منتهي.
الجمع: إذا كان μ₁ و μ₂ قياسين سيجما-منتهيين على نفس جبر سيجما Σ، فإن مجموعهم μ₁ + μ₂ هو أيضاً قياس سيجما-منتهي.
قياس حاصل الضرب: إذا كان μ و ν قياسين سيجما-منتهيين على فضائين X و Y على التوالي، فإن قياس حاصل الضرب μ × ν على الفضاء X × Y هو أيضاً قياس سيجما-منتهي.

القياسات المنتهية مقابل القياسات سيجما-المنتهية

كل قياس منته هو بالضرورة قياس سيجما-منتهي (يمكننا ببساطة أن نأخذ E₁ = X وبقية المجموعات E_n فارغة). ومع ذلك، ليس كل قياس سيجما-منتهي هو قياس منته. على سبيل المثال، كما ذكرنا سابقاً، قياس ليبيج على خط الأعداد الحقيقية هو قياس سيجما-منتهي ولكنه ليس قياساً منتهياً.

الفرق الأساسي بين القياسات المنتهية والقياسات سيجما-المنتهية يكمن في أن القياسات المنتهية تعطي قياساً منتهياً للمجموعة الكلية، بينما تسمح القياسات سيجما-المنتهية بأن يكون للمجموعة الكلية قياس لانهائي، طالما يمكن تقسيمها إلى مجموعات قابلة للعد، كل منها له قياس منته.

تطبيقات القياسات سيجما-المنتهية

تستخدم القياسات سيجما-المنتهية على نطاق واسع في مختلف مجالات الرياضيات والعلوم، بما في ذلك:

نظرية الاحتمالات: تُستخدم القياسات سيجما-المنتهية لتعريف وتحديد التوزيعات الاحتمالية المستمرة، مثل التوزيع الطبيعي والتوزيع الأسي.
التحليل الحقيقي: تُستخدم القياسات سيجما-المنتهية في نظرية التكامل، وخاصة في تعريف وتحديد تكامل ليبيج.
التحليل الدالي: تُستخدم القياسات سيجما-المنتهية في دراسة فضاءات هلبرت وفضاءات باناخ.
الفيزياء: تُستخدم القياسات سيجما-المنتهية في ميكانيكا الكم ونظرية الحقول الكمومية.

اعتبارات عملية

عند العمل مع القياسات سيجما-المنتهية، من المهم أن نضع في اعتبارنا ما يلي:

التقسيم: اختيار التقسيم المناسب للمجموعة X إلى مجموعات ذات قياس منتهٍ يمكن أن يبسط الحسابات والتحليلات بشكل كبير.
نظرية رادون-نيكوديم: عند استخدام نظرية رادون-نيكوديم، من الضروري التأكد من أن القياسات المعنية سيجما-منتهية.
العمومية: في حين أن القياسات سيجما-المنتهية أكثر عمومية من القياسات المنتهية، إلا أنها لا تزال مقيدة. هناك العديد من القياسات التي ليست سيجما-منتهية.

خاتمة

القياسات سيجما-المنتهية هي أداة قوية في نظرية القياس والتكامل. تسمح لنا بالتعامل مع المجموعات ذات القياس اللانهائي بطريقة منظمة، وتلعب دوراً حاسماً في العديد من النظريات والنتائج الهامة. فهم القياسات سيجما-المنتهية ضروري لأي شخص يعمل في مجالات الرياضيات والعلوم التي تتطلب استخدام نظرية القياس.