كمية BRST (BRST Quantization)

خلفية تاريخية وتطور

تم تطوير صيغة BRST في أوائل السبعينيات كاستجابة للحاجة إلى فهم متماسك لنظريات القياس. واجه الفيزيائيون صعوبات في كمية هذه النظريات بالطرق التقليدية بسبب وجود قيود وتماثلات زائدة عن الحاجة. أدرك بيتشي ورويت وستورا وتيفتين أن مفتاح التغلب على هذه المشكلات يكمن في تحديد تماثل جديد يحافظ على الاتساق في جميع مراحل الكمية. كان عملهم بمثابة تقدم كبير، حيث قدم إطارًا رياضيًا يوفر طريقة منهجية لإزالة درجات الحرية غير الفيزيائية وإجراء حسابات متوافقة في النظريات المقياسية.

في جوهره، يعتمد BRST على مفهوم التماثل الفائق، وهو مفهوم يتجاوز التماثلات المألوفة التي نراها في الفيزياء الكلاسيكية. في حين أن التماثلات التقليدية تتضمن عمليات تؤثر على الإحداثيات، فإن التماثلات الفائقة تجمع بين هذه التحويلات مع تحويلات بين الجسيمات ذات الدوران المختلفة. في سياق BRST، يسمح هذا التماثل الفائق بإدخال أشباح فارغة وحسابها لتغيير مسار التكامل، مما يؤدي إلى تعميم كمية في مساحة فيزيائية فقط.

المكونات الرئيسية لصيغة BRST

تعتمد صيغة BRST على عدد من المكونات الرئيسية، بما في ذلك:

• أشباح: أشباح هي حقول وهمية يتم إدخالها إلى النظرية لتعويض درجات الحرية غير الفيزيائية التي تظهر بسبب تماثلات القياس. تتبع هذه الحقول إحصائيات مختلفة عن الحقول الفيزيائية (عادة ما تكون فيرميونات حتى لو كانت النظرية الأصلية تحتوي على بوزونات فقط). يضمن إدخال الأشباح أن يتضمن مشغل BRST مساهمات تعوض درجات الحرية غير الفيزيائية.
• مشغل BRST: مشغل BRST، الذي يُرمز له عادةً بـ ‘Q’، هو مشغل مهم في هذه الصيغة. إنه مشغل نيلي ذو مربع يساوي صفرًا، أي Q^2 = 0. هذه الخاصية ضرورية لضمان أن مساحة هيلبرت يمكن تقسيمها إلى مساحات فرعية حيث تكون الحالات الفيزيائية “خالية” من الحالات غير الفيزيائية. يتم بناء Q من حيث أشباح ومقاييس النظرية الأصلية.
• الشروط الإضافية: في كثير من الأحيان، يتطلب تطبيق BRST إضافة مصطلح خاص إلى Lagrangian أو Hamiltonian الأصلي. يضمن هذا المصطلح أن تظل معادلات الحركة متسقة مع التماثل الجديد الذي يوفره مشغل BRST.

العملية الرياضية لكمية BRST

تتضمن عملية الكمية باستخدام BRST عدة خطوات:

1. البدء بالنظرية الكلاسيكية: ابدأ بنظرية المجال الكلاسيكي ذات تماثل القياس.
2. إدخال أشباح: أدخل أشباحًا، والتي تتضمن عادةً أشباحًا وأشباحًا مضادة للأشباح (بوزونية أو فيرميونية، حسب طبيعة القياس).
3. بناء مشغل BRST: قم ببناء مشغل BRST، Q، باستخدام خصائص القياس وأشباح.
4. تعديل Lagrangian: قم بتعديل Lagrangian الأصلي بإضافة مصطلح يعتمد على مشغل BRST. يضمن هذا أن يكون Lagrangian الجديد متماثلًا تحت تماثل BRST.
5. الكمية: قم بكمية النظرية المعدلة باستخدام التقنيات القياسية (على سبيل المثال، نظرية الاضطراب، أو مسارات التكامل).
6. تحديد الحالات الفيزيائية: حدد الحالات الفيزيائية على أنها تلك التي يمحوها مشغل BRST (Q |ψ> = 0).

تعمل هذه العملية على ضمان أن الحالات غير الفيزيائية (الحالات التي لها احتمال سلبي أو التي لا تتوافق مع درجات الحرية الفيزيائية) لا تساهم في العمليات المادية. والنتيجة هي نظرية كمومية متسقة تصف بشكل صحيح تفاعلات الجسيمات.

أمثلة على التطبيقات

تم تطبيق صيغة BRST على نطاق واسع في مختلف مجالات الفيزياء النظرية. بعض التطبيقات الرئيسية تشمل:

• الديناميكا الكهربية الكمية (QED): في QED، يتم استخدام BRST لإجراء كمية متسقة للفوتونات، وتجنب مشاكل التعبير عن الحالة المستقطبة بشكل عرضي.
• الكروموديناميكا الكمية (QCD): في QCD، تمثل BRST أداة أساسية في دراسة تفاعلات الكواركات والغلوونات.
• نظرية الأوتار: BRST ضرورية لتكميم نظرية الأوتار، حيث تظهر تماثلات القياس بشكل طبيعي.
• نظرية الجاذبية الكمومية: يتم استخدام BRST أيضًا في محاولات تكميم الجاذبية، على الرغم من أن هذه المنطقة لا تزال قيد البحث النشط.

المزايا والقيود

توفر صيغة BRST العديد من المزايا:

• الاتساق: تضمن BRST اتساق النظريات الكمومية المقياسية.
• التعميم: إنها تنطبق على مجموعة واسعة من النظريات، بما في ذلك تلك ذات التماثلات المعقدة.
• المنهجية: يوفر إطار عمل منهجيًا للتعامل مع التماثلات المقياسية.

ومع ذلك، فإن لدى BRST أيضًا بعض القيود:

• التعقيد: يمكن أن تكون العملية الرياضية معقدة، خاصة في النظريات الأكثر تعقيدًا.
• التفسير: قد يكون تفسير الأشباح أمرًا صعبًا.
• القيود على بعض التطبيقات: في حين أن BRST أداة قوية، إلا أنها قد لا تكون الخيار الأفضل في كل حالة.

التطورات الحديثة والاتجاهات المستقبلية

لا تزال صيغة BRST مجال بحث نشط. تشمل بعض الاتجاهات الحديثة:

• BRST في الزمكان المنحني: دراسة BRST في إعدادات الزمكان المنحني.
• BRST غير الموضعي: استكشاف صيغ BRST غير الموضعية.
• التطبيقات في مجالات أخرى: تطبيق تقنيات BRST في مجالات مثل فيزياء المادة المكثفة.

مع استمرار الفيزياء النظرية في التطور، من المتوقع أن تلعب BRST دورًا حاسمًا في فهمنا للكون على أصغر المقاييس.

خاتمة

تعد كمية BRST أداة أساسية في الفيزياء النظرية، خاصة في دراسة النظريات المقياسية. يوفر إطار عملًا رياضيًا قويًا ومتسقًا للتعامل مع التماثلات المقياسية، مما يضمن أن التوقعات الفيزيائية خالية من الآثار غير الفيزيائية. من خلال إدخال الأشباح ومشغل BRST، تسمح هذه الصيغة للفيزيائيين بإجراء حسابات متوافقة في QED وQCD ونظرية الأوتار وغيرها من النظريات. على الرغم من تعقيدها، فقد أثبتت BRST أنها لا تقدر بثمن في فهمنا للكون الكمومي.

المراجع

• Becchi, C., Rouet, A., Stora, R. (1976). Renormalization of gauge theories. Annals of Physics, 98(2), 287-321.
• Tyutin, I. V. (1975). Gauge invariance in field theory. Lebedev Physics Institute Preprint, 39.
• Kugo, T., & Ojima, I. (1979). Local covariant operator formalism of non-abelian gauge theories and quark confinement problem. Physics Letters B, 73(1), 45-48.
• Henneaux, M. (1992). BRST cohomology. Lecture notes in physics, 394, 97-153.