دالة قابلة للتكامل محليًا (Locally Integrable Function)

مقدمة

في الرياضيات، الدالة القابلة للتكامل محليًا (أو الدالة القابلة للجمع محليًا) هي دالة تكون قابلة للتكامل على أي مجموعة جزئية محدودة. هذا المفهوم مهم في التحليل الرياضي ونظرية الدوال، حيث يسمح بتعميم فكرة التكامل ليشمل دوال قد لا تكون قابلة للتكامل على نطاق أوسع. الدوال القابلة للتكامل محليًا تلعب دورًا حيويًا في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية، ونظرية التوزيعات، ومجالات أخرى من الرياضيات التطبيقية.

تعريف رياضي

لتكن f دالة معرفة على مجموعة مفتوحة Ω في الفضاء الإقليدي Rⁿ. نقول أن f هي دالة قابلة للتكامل محليًا إذا كانت قابلة للتكامل بالمعنى المعروف على أي مجموعة جزئية محدودة وقابلة للقياس K موجودة في Ω. رياضيًا، يمكن التعبير عن ذلك كالتالي:

∫_K |f(x)| dx < ∞

لكل مجموعة جزئية محدودة وقابلة للقياس K ⊆ Ω.

عادة ما يُشار إلى فضاء الدوال القابلة للتكامل محليًا بالرمز L_1,loc(Ω).

أمثلة

الدوال المستمرة: أي دالة مستمرة على مجموعة مفتوحة Ω هي دالة قابلة للتكامل محليًا على Ω. وذلك لأن الدوال المستمرة تكون محدودة على أي مجموعة جزئية مغلقة ومحدودة (متراصة) داخل Ω، وبالتالي فإن تكاملها المطلق سيكون محدودًا أيضًا.
الدوال المحدودة: أي دالة محدودة على مجموعة مفتوحة Ω هي دالة قابلة للتكامل محليًا على Ω. فإذا كانت |f(x)| ≤ M لكل x في Ω، فإن تكامل |f(x)| على أي مجموعة جزئية محدودة K سيكون أقل أو يساوي M مضروبة في قياس K، وهو قيمة محدودة.
دالة ديراك: على الرغم من أن دالة ديراك ليست دالة بالمعنى التقليدي، إلا أنها يمكن التعامل معها كتوزيع (distribution). في سياق التوزيعات، يمكن تعريفها بطريقة تجعلها قابلة للتكامل محليًا.
الدالة 1/x على (0, 1): الدالة f(x) = 1/x ليست قابلة للتكامل على الفترة (0, 1) بأكملها لأن ∫₀¹ (1/x) dx = ∞. ومع ذلك، فهي قابلة للتكامل محليًا على (0, 1) لأنها قابلة للتكامل على أي فترة مغلقة [a, b] حيث 0 < a < b < 1.
الدالة 1/√x على (0, 1): الدالة f(x) = 1/√x هي دالة قابلة للتكامل على الفترة (0, 1) وبالتالي هي قابلة للتكامل محليًا. ∫₀¹ (1/√x) dx = 2.

خصائص الدوال القابلة للتكامل محليًا

الجمع والطرح: إذا كانت f و g دالتين قابلتين للتكامل محليًا على Ω، فإن مجموعهما f + g وفرقهما f − g هما أيضًا دالتان قابلتان للتكامل محليًا على Ω.
الضرب بعدد ثابت: إذا كانت f دالة قابلة للتكامل محليًا على Ω، و c عددًا ثابتًا، فإن cf هي أيضًا دالة قابلة للتكامل محليًا على Ω.
التقارب النقطي: إذا كانت سلسلة من الدوال {f_n} تتقارب نقطيًا إلى دالة f، وكانت جميع الدوال f_n قابلة للتكامل محليًا، فإن الدالة الحدية f ليست بالضرورة قابلة للتكامل محليًا. ومع ذلك، إذا كان هناك دالة قابلة للتكامل محليًا g بحيث |f_n(x)| ≤ g(x) لكل n و x في Ω، فإن f ستكون قابلة للتكامل محليًا.
العلاقة مع الدوال القابلة للتكامل: أي دالة قابلة للتكامل على Ω (بالمعنى العام) هي أيضًا دالة قابلة للتكامل محليًا على Ω. ومع ذلك، العكس ليس صحيحًا بالضرورة.

أهمية الدوال القابلة للتكامل محليًا

تكمن أهمية الدوال القابلة للتكامل محليًا في قدرتها على التعامل مع دوال قد تكون غير قابلة للتكامل على نطاق واسع، ولكنها تتصرف بشكل جيد على مجموعات جزئية صغيرة. هذا المفهوم مفيد بشكل خاص في المجالات التالية:

نظرية التوزيعات (Distribution Theory): تلعب الدوال القابلة للتكامل محليًا دورًا أساسيًا في نظرية التوزيعات، والتي هي تعميم لمفهوم الدالة. التوزيعات تسمح لنا بالتعامل مع كائنات رياضية مثل دالة ديراك (Dirac delta function) ومشتقاتها، والتي ليست دوالًا بالمعنى التقليدي.
المعادلات التفاضلية الجزئية (Partial Differential Equations): في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية، غالبًا ما تكون الحلول “ضعيفة” بمعنى أنها ليست دوالًا قابلة للاشتقاق بالمعنى الكلاسيكي، ولكنها تفي بالمعادلة بمعنى أضعف باستخدام التكامل. الدوال القابلة للتكامل محليًا ضرورية لتعريف هذه الحلول الضعيفة.
التحليل التوافقي (Harmonic Analysis): الدوال القابلة للتكامل محليًا تظهر في سياقات مختلفة في التحليل التوافقي، على سبيل المثال في دراسة تحويلات فورييه (Fourier transforms) وتقديرات الدوال القصوى (maximal function estimates).
نظرية القياس (Measure Theory): الدوال القابلة للتكامل محليًا هي جزء أساسي من نظرية القياس والتكامل الحديثة. فهم يسمح بتعميم مفاهيم التكامل والتعامل مع الدوال التي قد تكون غير محدودة أو غير معرفة في بعض النقاط.

الفضاءات الجزئية

يمكن تحديد عدة فضاءات جزئية مهمة من الفضاء L_1,loc(Ω) للدوال القابلة للتكامل محليًا، بما في ذلك:

C(Ω): فضاء الدوال المستمرة على Ω.
C^k(Ω): فضاء الدوال القابلة للاشتقاق بشكل مستمر حتى الرتبة k على Ω.
L^p(Ω) للدوال القابلة للتكامل من الدرجة p، حيث 1 ≤ p ≤ ∞.

كل هذه الفضاءات الجزئية هي مجموعات فرعية من L_1,loc(Ω).

علاقة الدوال القابلة للتكامل محليًا بالتوزيعات

الدوال القابلة للتكامل محليًا تشكل لبنة أساسية في بناء نظرية التوزيعات. كل دالة قابلة للتكامل محليًا f تحدد توزيعًا T_f عن طريق الصيغة:

T_f(φ) = ∫_Ω f(x) φ(x) dx

لكل دالة اختبار φ ∈ C_c^∞(Ω) (دالة لا نهائية الاشتقاق ذات دعم متراص). هذا يسمح لنا بتوسيع مفهوم الدالة ليشمل الكائنات التي ليست دوالًا بالمعنى التقليدي، مثل دالة ديراك ومشتقاتها. التوزيعات تسمح لنا بإجراء عمليات رياضية على هذه الكائنات، مثل الاشتقاق والتكامل، بطريقة متسقة.

مثال على تطبيق الدوال القابلة للتكامل محليًا

لنفترض أن لدينا المعادلة التفاضلية:

u”(x) = δ(x)

حيث δ(x) هي دالة ديراك. لا يوجد حل كلاسيكي لهذه المعادلة، لأن دالة ديراك ليست دالة بالمعنى التقليدي. ومع ذلك، يمكننا إيجاد حل ضعيف في فضاء التوزيعات. الحل هو دالة هيفيسايد (Heaviside step function) H(x)، المعرفة كالتالي:

H(x) = 0 إذا كان x < 0

H(x) = 1 إذا كان x ≥ 0

دالة هيفيسايد ليست قابلة للاشتقاق بالمعنى الكلاسيكي عند النقطة x = 0. ومع ذلك، يمكن تعريف مشتقتها كتوزيع، وهي دالة ديراك. بالتالي، يمكن القول أن H(x) هي حل ضعيف للمعادلة التفاضلية المذكورة أعلاه.

تطبيقات في معالجة الصور

تستخدم الدوال القابلة للتكامل محليًا في معالجة الصور الرقمية، حيث يمكن تمثيل الصور كدوال معرفة على شبكة ثنائية الأبعاد من البكسلات. عمليات مثل التنعيم (smoothing) والتوضيح (sharpening) يمكن تنفيذها باستخدام التكاملات المحلية للدالة التي تمثل الصورة. على سبيل المثال، يمكن استخدام المرشحات (filters) التي تعتمد على التكاملات المحلية لتخفيف الضوضاء في الصورة أو لتحسين حدة الحواف.

تطبيقات في الفيزياء

تظهر الدوال القابلة للتكامل محليًا بشكل متكرر في الفيزياء، وخاصة في ميكانيكا الكم ونظرية الحقول. على سبيل المثال، يمكن وصف كثافة الاحتمال للجسيم الكمي باستخدام دالة قابلة للتكامل محليًا. أيضًا، في نظرية الحقول، تستخدم الدوال القابلة للتكامل محليًا لتعريف الدوال الارتباطية (correlation functions) التي تصف العلاقات بين الحقول في نقاط مختلفة في الفضاء والزمان.

خاتمة

الدالة القابلة للتكامل محليًا هي أداة قوية في التحليل الرياضي، تسمح بتعميم مفهوم التكامل ليشمل مجموعة واسعة من الدوال. تلعب هذه الدوال دورًا حاسمًا في نظرية التوزيعات، والمعادلات التفاضلية الجزئية، والعديد من المجالات الأخرى في الرياضيات والفيزياء والهندسة. فهم خصائصها وأهميتها ضروري للباحثين والطلاب الذين يعملون في هذه المجالات.