مقدمة
في الديناميكا الحرارية الإحصائية، تعتبر درجة الحرارة الدورانية المميزة (θrot) أداة مفيدة لتبسيط التعبيرات الرياضية المتعلقة بالطاقة الدورانية للجزيئات. تمثل هذه الدرجة الحرارية تقديراً كمياً للفصل بين مستويات الطاقة الدورانية للجزيء. بمعنى آخر، هي درجة الحرارة التي تكون فيها الطاقة الحرارية النموذجية (kT، حيث k ثابت بولتزمان و T هي درجة الحرارة) مساوية للفصل بين مستويين طاقيين دورانيين متتاليين.
تعتبر درجة الحرارة الدورانية خاصية فريدة لكل جزيء، وتعتمد على عزم القصور الذاتي للجزيء. الجزيئات ذات عزم القصور الذاتي الكبير (أي الجزيئات الثقيلة أو ذات الأبعاد الكبيرة) يكون لها درجات حرارة دورانية منخفضة، في حين أن الجزيئات ذات عزم القصور الذاتي الصغير (الجزيئات الخفيفة أو ذات الأبعاد الصغيرة) يكون لها درجات حرارة دورانية عالية. هذا الاختلاف يؤثر على سلوك الجزيئات عند درجات حرارة مختلفة، وعلى كيفية توزيع الطاقة بين مختلف درجات الحرية (translational, rotational, vibrational).
التعريف الرياضي
يتم تعريف درجة الحرارة الدورانية المميزة رياضياً بالعلاقة:
θrot = ħ2 / 2Ik
حيث:
- ħ (إتش بار): ثابت بلانك المخفض (ħ = h / 2π)
- I: عزم القصور الذاتي للجزيء
- k: ثابت بولتزمان
من هذا التعريف، يتضح أن درجة الحرارة الدورانية تتناسب عكسياً مع عزم القصور الذاتي. كلما زاد عزم القصور الذاتي، انخفضت درجة الحرارة الدورانية، والعكس صحيح.
أهمية درجة الحرارة الدورانية
تكمن أهمية درجة الحرارة الدورانية في عدة جوانب، منها:
- تحديد عدد المستويات الدورانية المثارة: عند درجة حرارة أقل بكثير من درجة الحرارة الدورانية (T << θrot)، فإن عدداً قليلاً فقط من المستويات الدورانية للجزيء يكون مثاراً. أما عند درجة حرارة أعلى بكثير من درجة الحرارة الدورانية (T >> θrot)، فإن عدداً كبيراً من المستويات الدورانية يكون مثاراً، ويمكن اعتبار الطاقة الدورانية كمتغير مستمر بدلاً من متغير كمي.
- تبسيط حساب الدوال التقسيمية الدورانية: في الديناميكا الحرارية الإحصائية، تلعب الدوال التقسيمية دوراً حاسماً في حساب الخصائص الترموديناميكية للنظام. باستخدام درجة الحرارة الدورانية، يمكن تبسيط تعبير الدالة التقسيمية الدورانية، مما يسهل الحسابات.
- فهم السعة الحرارية الدورانية: السعة الحرارية الدورانية هي مقدار الحرارة اللازمة لرفع درجة حرارة مول واحد من المادة درجة مئوية واحدة، مع ثبات الحجم. تعتمد السعة الحرارية الدورانية على عدد درجات الحرية الدورانية المثارة. باستخدام درجة الحرارة الدورانية، يمكن فهم كيفية تغير السعة الحرارية الدورانية مع درجة الحرارة.
- تفسير الأطياف الدورانية: يمكن استخدام درجة الحرارة الدورانية في تفسير الأطياف الدورانية للجزيئات. تحدد درجة الحرارة الدورانية شكل خطوط الامتصاص والانبعاث في الطيف، وتساعد في تحديد عزم القصور الذاتي للجزيء.
تأثير درجة الحرارة الدورانية على السعة الحرارية
تؤثر درجة الحرارة الدورانية بشكل كبير على السعة الحرارية للمادة. بشكل عام، يمكن تقسيم تأثير درجة الحرارة إلى ثلاث مناطق:
- درجات الحرارة المنخفضة (T << θrot): في هذه المنطقة، تكون الطاقة الحرارية غير كافية لإثارة المستويات الدورانية. وبالتالي، تساهم الحركة الدورانية بشكل ضئيل في السعة الحرارية، وتكون السعة الحرارية قريبة من قيمة السعة الحرارية الانتقالية (translational).
- درجات الحرارة المتوسطة (T ≈ θrot): في هذه المنطقة، تبدأ المستويات الدورانية في الإثارة تدريجياً. تزداد السعة الحرارية مع زيادة درجة الحرارة، حيث تساهم الحركة الدورانية بشكل متزايد في الطاقة الكلية للنظام.
- درجات الحرارة العالية (T >> θrot): في هذه المنطقة، تكون جميع المستويات الدورانية مثارة بشكل كامل. تصبح الطاقة الدورانية دالة خطية في درجة الحرارة، وتصل السعة الحرارية الدورانية إلى قيمة ثابتة تعتمد على عدد درجات الحرية الدورانية.
بالنسبة للجزيئات الخطية، تمتلك الجزيئة درجتي حرية دورانية، وبالتالي تساهم بـ R (ثابت الغازات العام) في السعة الحرارية الكلية عند درجات الحرارة العالية. أما بالنسبة للجزيئات غير الخطية، فإنها تمتلك ثلاث درجات حرية دورانية، وبالتالي تساهم بـ 3R/2 في السعة الحرارية الكلية عند درجات الحرارة العالية.
قيم نموذجية لدرجة الحرارة الدورانية
تختلف قيم درجة الحرارة الدورانية باختلاف الجزيئات. بشكل عام، تكون درجة الحرارة الدورانية منخفضة بالنسبة للجزيئات الثقيلة والكبيرة، وعالية بالنسبة للجزيئات الخفيفة والصغيرة. فيما يلي بعض القيم النموذجية لدرجة الحرارة الدورانية لبعض الجزيئات الشائعة:
- الهيدروجين (H2): θrot ≈ 85.4 K
- أحادي أكسيد الكربون (CO): θrot ≈ 2.77 K
- النيتروجين (N2): θrot ≈ 2.0 K
- الأكسجين (O2): θrot ≈ 2.1 K
- الماء (H2O): θrot ≈ 13.9 K (تختلف القيم بين محاور الدوران المختلفة)
لاحظ أن درجة الحرارة الدورانية للهيدروجين عالية نسبياً بسبب صغر حجمه وخفة وزنه. هذا يعني أن إثارة المستويات الدورانية للهيدروجين يتطلب طاقة أكبر مقارنة بالجزيئات الأخرى.
استخدامات أخرى لدرجة الحرارة الدورانية
بالإضافة إلى التطبيقات المذكورة أعلاه، يمكن استخدام درجة الحرارة الدورانية في مجالات أخرى، مثل:
- دراسة الغلاف الجوي: يمكن استخدام درجة الحرارة الدورانية لتقدير درجة حرارة الغازات في الغلاف الجوي للكواكب والنجوم. من خلال تحليل الأطياف الدورانية للغازات، يمكن تحديد درجة الحرارة الدورانية، والتي تعكس درجة حرارة الغاز.
- دراسة الوسط بين النجومي: يستخدم الفلكيون درجة الحرارة الدورانية لدراسة الوسط بين النجومي، وهو الفضاء بين النجوم المليء بالغاز والغبار. يمكن تحليل الأطياف الدورانية للجزيئات الموجودة في الوسط بين النجومي لتحديد درجة الحرارة الدورانية، وبالتالي فهم الظروف الفيزيائية والكيميائية في هذا الوسط.
- تطبيقات الليزر: في بعض أنواع الليزر، تعتمد كفاءة الليزر على توزيع الجزيئات بين المستويات الطاقية المختلفة. يمكن استخدام درجة الحرارة الدورانية لتحسين تصميم الليزر وزيادة كفاءته.
العلاقة بين درجة الحرارة الدورانية والطاقة الدورانية
ترتبط درجة الحرارة الدورانية ارتباطاً وثيقاً بالطاقة الدورانية للجزيء. يمكن حساب متوسط الطاقة الدورانية للجزيء باستخدام درجة الحرارة الدورانية. عند درجات الحرارة المنخفضة (T << θrot)، تكون الطاقة الدورانية صغيرة جداً. أما عند درجات الحرارة العالية (T >> θrot)، فإن متوسط الطاقة الدورانية يقترب من قيمة كلاسيكية معينة تعتمد على عدد درجات الحرية الدورانية.
بشكل عام، يمكن التعبير عن متوسط الطاقة الدورانية كدالة في درجة الحرارة ودرجة الحرارة الدورانية. هذه العلاقة تساعد في فهم كيفية توزيع الطاقة بين مختلف درجات الحرية للجزيء، وكيف تتغير هذه الطاقة مع تغير درجة الحرارة.
خاتمة
تعتبر درجة الحرارة الدورانية مفهوماً أساسياً في الديناميكا الحرارية الإحصائية وعلم الأطياف. فهي تمثل مقياساً للفصل بين مستويات الطاقة الدورانية للجزيء، وتؤثر بشكل كبير على الخصائص الترموديناميكية للجزيئات، مثل السعة الحرارية والطاقة الدورانية. كما تستخدم درجة الحرارة الدورانية في العديد من التطبيقات العلمية والهندسية، مثل دراسة الغلاف الجوي، ودراسة الوسط بين النجومي، وتطبيقات الليزر. فهم درجة الحرارة الدورانية يساعدنا على فهم سلوك الجزيئات عند درجات حرارة مختلفة، وكيفية تفاعلها مع الضوء والمادة.