المربعات الصغرى المتحركة (Moving Least Squares)

مقدمة إلى المربعات الصغرى المتحركة

تتعامل طريقة المربعات الصغرى المتحركة مع مشكلة تكميل البيانات. وبعبارة أخرى، تهدف إلى إنشاء تمثيل مستمر لدالة معينة بناءً على مجموعة من القيم المتقطعة. على سبيل المثال، تخيل أن لديك مجموعة من النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد تمثل سطحًا ما. قد تكون هذه النقاط قد تم الحصول عليها من خلال المسح الضوئي ثلاثي الأبعاد أو من خلال عملية أخرى. هدفك هو إنشاء تمثيل سلس لهذا السطح من هذه النقاط. هنا يأتي دور المربعات الصغرى المتحركة.

الفكرة الأساسية وراء المربعات الصغرى المتحركة هي إيجاد دالة تقريبية للدالة الأصلية. يتم ذلك عن طريق تحديد دالة وزن (kernel) تؤثر على النقاط القريبة من نقطة التقييم أكثر من النقاط البعيدة. ثم يتم حساب الدالة التقريبية في كل نقطة عن طريق حل مشكلة المربعات الصغرى الموزونة محليًا، حيث يتم استخدام دالة الوزن لتحديد أهمية كل نقطة في حساب القيمة المقربة. هذه العملية “متحركة” لأنها تتكرر لكل نقطة تقييم، مما يسمح للدالة التقريبية بالتكيف مع التغيرات المحلية في البيانات.

المبادئ الأساسية

تعتمد طريقة المربعات الصغرى المتحركة على عدد من المبادئ الأساسية:

النقاط الموزونة: تعطي النقاط الأقرب إلى نقطة التقييم وزنًا أكبر من النقاط الأبعد. يتم تحديد هذا الوزن بواسطة دالة الوزن.
التقريب المحلي: يتم حساب الدالة التقريبية محليًا، أي في كل نقطة. هذا يسمح للدالة التقريبية بالتكيف مع التغيرات المحلية في البيانات.
المربعات الصغرى الموزونة: يتم استخدام المربعات الصغرى الموزونة لإيجاد أفضل دالة تقريبية محلية. يهدف هذا إلى تقليل الفرق بين قيم الدالة المقربة وقيم البيانات الأصلية، مع الأخذ في الاعتبار أوزان النقاط.

الخطوات الرئيسية في طريقة المربعات الصغرى المتحركة

تتضمن طريقة المربعات الصغرى المتحركة الخطوات الرئيسية التالية:

تحديد نقطة التقييم: يتم اختيار نقطة حيث نريد تقدير قيمة الدالة.
تحديد الجوار: يتم تحديد مجموعة من النقاط القريبة من نقطة التقييم.
اختيار دالة الوزن: يتم اختيار دالة وزن تحدد مدى تأثير كل نقطة في الجوار على حساب قيمة الدالة المقربة. تشمل الدوال الشائعة الوزن الدالة الغاوسية (Gaussian function) والوزن التربيعي العكسي للمسافة (Inverse squared distance weighting).
بناء دالة التقريب: يتم تحديد دالة تقريبية، عادةً ما تكون دالة متعددة الحدود (مثل الدالة الخطية أو التربيعية)، والتي سيتم استخدامها لتمثيل البيانات المحلية.
حل مشكلة المربعات الصغرى الموزونة: يتم حل مشكلة المربعات الصغرى الموزونة لإيجاد معاملات دالة التقريب. يتم استخدام دالة الوزن لتحديد أهمية كل نقطة في الجوار.
حساب قيمة الدالة المقربة: يتم حساب قيمة الدالة المقربة في نقطة التقييم باستخدام معاملات دالة التقريب التي تم الحصول عليها.
تكرار العملية: يتم تكرار هذه العملية لكل نقطة حيث نريد تقدير قيمة الدالة.

دوال الوزن

دالة الوزن هي عنصر حاسم في طريقة المربعات الصغرى المتحركة. تحدد هذه الدالة مدى تأثير كل نقطة بيانات على قيمة الدالة المقربة في نقطة معينة. تضمن دوال الوزن أن النقاط القريبة من نقطة التقييم تؤثر بشكل أكبر على حساب القيمة المقربة من النقاط البعيدة. هذا يخلق تأثيرًا محليًا يسمح للدالة التقريبية بالتكيف مع التغيرات المحلية في البيانات. تشمل بعض دوال الوزن الشائعة:

الدالة الغاوسية (Gaussian function): تستخدم الدالة الغاوسية لتحديد الوزن لكل نقطة بناءً على المسافة بينها وبين نقطة التقييم. تتميز هذه الدالة بأنها تعطي وزنًا كبيرًا للنقاط القريبة، ويتناقص الوزن تدريجيًا مع زيادة المسافة.
الوزن التربيعي العكسي للمسافة (Inverse squared distance weighting): يعطي هذا الوزن أهمية أكبر للنقاط القريبة، حيث يتناسب الوزن عكسيًا مع مربع المسافة بين النقطة ونقطة التقييم.
دوال وزن أخرى: يمكن استخدام دوال وزن أخرى، مثل دوال الوزن ذات القيمة الثابتة داخل دائرة نصف قطر معين، أو دوال الوزن التي تعتمد على اتجاهات النقاط.

دوال التقريب

دالة التقريب هي دالة يتم استخدامها لتمثيل البيانات المحلية. يتم تحديد هذه الدالة عادةً كدالة متعددة الحدود (مثل الدالة الخطية أو التربيعية). اختيار دالة التقريب يعتمد على طبيعة البيانات والهدف من التطبيق. على سبيل المثال، إذا كانت البيانات تتغير بشكل خطي نسبيًا، فقد يكون من المناسب استخدام دالة تقريب خطية. إذا كانت البيانات أكثر تعقيدًا، فقد يتطلب الأمر استخدام دالة تقريب من درجة أعلى، مثل دالة تربيعية أو تكعيبية.

تطبيقات المربعات الصغرى المتحركة

تجد المربعات الصغرى المتحركة تطبيقات واسعة في العديد من المجالات:

معالجة الصور: يمكن استخدام MLS لتقليل الضوضاء في الصور، وتحسين جودة الصور، وتعبئة الثقوب في الصور.
رؤية الكمبيوتر: تستخدم MLS في إعادة بناء السطوح ثلاثية الأبعاد من مجموعة من النقاط، مثل تلك التي تم الحصول عليها من خلال الماسحات الضوئية ثلاثية الأبعاد.
الرسومات الحاسوبية: تستخدم MLS لتنعيم النماذج ثلاثية الأبعاد، وتعديل شكلها، وإنشاء تأثيرات خاصة.
تحليل البيانات: يمكن استخدام MLS لتحليل البيانات المتناثرة، وإيجاد الاتجاهات، وتوقع القيم المستقبلية.
علم الروبوتات: في مجال الروبوتات، تستخدم MLS في معالجة بيانات المستشعرات، مثل تلك التي يتم الحصول عليها من خلال كاميرات الرؤية أو أجهزة استشعار المسافة.
علم المواد: يمكن استخدام MLS لنمذجة سلوك المواد وتوقعه بناءً على بيانات تجريبية.

المزايا والعيوب

المزايا:

المرونة: يمكن تطبيق MLS على مجموعة واسعة من البيانات، حتى تلك التي تكون غير منظمة أو تحتوي على ضوضاء.
الدقة: توفر MLS تقريبًا دقيقًا للدوال المستمرة.
القدرة على التكيف: تتكيف MLS مع التغيرات المحلية في البيانات، مما يجعلها مناسبة للبيانات المعقدة.

العيوب:

الحساب: قد تكون MLS مكلفة حسابيًا، خاصة بالنسبة للبيانات الكبيرة.
الحساسية للمعلمات: قد تعتمد النتائج على اختيار دالة الوزن ودالة التقريب، بالإضافة إلى معلمات أخرى.
التعقيد: يمكن أن يكون تنفيذ MLS معقدًا نسبيًا.

تحسينات وتقنيات متقدمة

تم تطوير العديد من التحسينات والتقنيات المتقدمة لتحسين أداء المربعات الصغرى المتحركة:

MLS المتكيف: تتكيف MLS المتكيفة مع كثافة البيانات، مما يسمح بتمثيل أكثر دقة في المناطق التي توجد بها بيانات أكثر.
MLS الموجهة: تستخدم MLS الموجهة معلومات إضافية حول البيانات، مثل الاتجاهات، لتحسين الدقة.
MLS متعددة المقاييس: تستخدم MLS متعددة المقاييس مستويات متعددة من التفاصيل لتمثيل البيانات، مما يسمح بمعالجة أكثر كفاءة.

خاتمة

المربعات الصغرى المتحركة هي أداة قوية وفعالة لإعادة بناء الدوال المستمرة من عينات النقاط غير المنظمة. إنها تقنية أساسية في العديد من المجالات، وتوفر تقريبًا دقيقًا للبيانات، وتتكيف مع التغيرات المحلية. على الرغم من بعض العيوب، فإن المزايا العديدة تجعلها خيارًا شائعًا للعديد من التطبيقات. مع التطورات المستمرة في الخوارزميات وتقنيات الحوسبة، تستمر MLS في التطور لتلبية متطلبات التطبيقات الجديدة.

المراجع

“`