مقدمة
في نظرية المجموعات الموسيقية، يعتبر متجه الفترات أداة تحليلية قوية تستخدم لوصف المحتوى الفتري لمجموعة من النغمات. وهو عبارة عن مصفوفة من الأرقام الطبيعية تلخص عدد مرات ظهور كل نوع من الفترات الموسيقية داخل المجموعة. يوفر متجه الفترات تمثيلاً موجزًا للتركيب الفتري للمجموعة، مما يتيح للمحللين الموسيقيين مقارنة مجموعات مختلفة، وتحديد العلاقات بينها، وفهم خصائصها الصوتية.
تعريف متجه الفترات
متجه الفترات هو مصفوفة ذات ستة عناصر، حيث يمثل كل عنصر عدد مرات ظهور فاصلة معينة داخل مجموعة النغمات قيد التحليل. يتم حساب الفترات بين كل زوج من النغمات في المجموعة، مع الأخذ في الاعتبار جميع التباديل الممكنة. يتم تمثيل الفترات عادةً بالأرقام من 1 إلى 6، والتي تتوافق مع الفترات التالية:
- 1: نصف خطوة (semi-tone)
- 2: خطوة كاملة (whole-tone)
- 3: ثلاثة أنصاف خطوات (minor third)
- 4: أربعة أنصاف خطوات (major third)
- 5: خمسة أنصاف خطوات (perfect fourth)
- 6: ستة أنصاف خطوات (tritone)
لاحظ أن الفترات الأكبر من ستة أنصاف خطوات يتم اختزالها إلى معكوساتها. على سبيل المثال، يتم اختزال فاصلة سبعة أنصاف خطوات (الخامسة المثالية) إلى فاصلة خمسة أنصاف خطوات (الرابعة المثالية). وبالمثل، يتم اختزال فاصلة ثمانية أنصاف خطوات (السادسة الصغيرة) إلى فاصلة أربعة أنصاف خطوات (الثالثة الكبيرة)، وهكذا.
حساب متجه الفترات
لحساب متجه الفترات لمجموعة معينة من النغمات، يجب اتباع الخطوات التالية:
- تحديد جميع أزواج النغمات الممكنة: يتم تحديد كل زوج من النغمات داخل المجموعة. إذا كانت المجموعة تحتوي على ‘n’ من النغمات، فسيكون هناك n(n-1)/2 من الأزواج الممكنة.
- حساب الفاصلة بين كل زوج من النغمات: يتم حساب عدد أنصاف الخطوات بين كل زوج من النغمات. يتم أخذ الفرق المطلق بين أرقام النغمات (أو ما يعادله) مع الأخذ في الاعتبار الدوران الأوكتافي.
- تجميع الفترات: يتم تجميع الفترات حسب نوعها (1-6). يتم تسجيل عدد مرات ظهور كل نوع من الفترات في متجه الفترات.
مثال: لنفترض أن لدينا مجموعة النغمات التالية: {C, D, E}. لحساب متجه الفترات لهذه المجموعة، نتبع الخطوات التالية:
- أزواج النغمات الممكنة: (C, D), (C, E), (D, E)
- حساب الفواصل:
- (C, D): خطوة كاملة (2)
- (C, E): ثالثة كبيرة (4)
- (D, E): خطوة كاملة (2)
- تجميع الفترات:
- الفاصلة 1 (نصف خطوة): 0
- الفاصلة 2 (خطوة كاملة): 2
- الفاصلة 3 (ثالثة صغيرة): 0
- الفاصلة 4 (ثالثة كبيرة): 1
- الفاصلة 5 (رابعة مثالية): 0
- الفاصلة 6 (تريتون): 0
إذن، متجه الفترات للمجموعة {C, D, E} هو: [0 2 0 1 0 0].
تفسير متجه الفترات
يوفر متجه الفترات معلومات قيمة حول الخصائص الفترية لمجموعة النغمات. يمكن أن تساعد هذه المعلومات في تحليل الانسجام، والتنغيم، والعلاقات بين المجموعات المختلفة. على سبيل المثال:
- المجموعات المتساوية: المجموعات التي لها نفس متجه الفترات تعتبر مجموعات متساوية. هذا يعني أنها تحتوي على نفس المحتوى الفتري، على الرغم من أنها قد تكون مرتبة بشكل مختلف.
- الاستقرار والتنافر: يمكن أن يشير وجود فترات معينة في متجه الفترات إلى استقرار أو تنافر المجموعة. على سبيل المثال، قد تشير المجموعات التي تحتوي على عدد كبير من الفترات الصغيرة (مثل نصف الخطوة أو الثالثة الصغيرة) إلى التوتر والتنافر، في حين أن المجموعات التي تحتوي على عدد كبير من الفترات الكبيرة (مثل الخامسة المثالية أو الثامنة) قد تشير إلى الاستقرار والانسجام.
- البحث عن الأنماط: يمكن استخدام متجه الفترات للبحث عن الأنماط المتكررة في الموسيقى. على سبيل المثال، قد يكشف تحليل متجه الفترات عن وجود مجموعات معينة أو فترات معينة شائعة في مقطوعة موسيقية معينة.
أهمية متجه الفترات
تكمن أهمية متجه الفترات في قدرته على توفير وصف موجز وكمي للمحتوى الفتري لمجموعة من النغمات. هذه الأداة مفيدة بشكل خاص في تحليل الموسيقى الحديثة والمعاصرة، والتي غالبًا ما تستخدم مجموعات غير تقليدية من النغمات والفترات. يسمح متجه الفترات للمحللين بتحديد أوجه التشابه والاختلاف بين المجموعات المختلفة، وفهم خصائصها الصوتية، واكتشاف الأنماط المخفية في الموسيقى.
بالإضافة إلى ذلك، يمكن استخدام متجه الفترات كأداة تأليف. يمكن للملحنين استخدام متجه الفترات لتحديد أنواع الفترات التي يريدون تضمينها في موسيقاهم، ثم إنشاء مجموعات من النغمات التي تحتوي على هذه الفترات. يمكن أن تساعد هذه الطريقة في التأليف الملحنين على إنشاء موسيقى ذات طابع صوتي محدد ومميز.
تطبيقات متجه الفترات
تتعدد تطبيقات متجه الفترات في مجالات التحليل الموسيقي والتأليف الموسيقي. بعض التطبيقات الشائعة تشمل:
- تحليل موسيقى القرن العشرين: يعتبر متجه الفترات أداة أساسية لتحليل موسيقى القرن العشرين، والتي غالبًا ما تتميز باستخدام مجموعات غير تقليدية من النغمات والفترات.
- تحديد المجموعات المتساوية: يمكن استخدام متجه الفترات لتحديد المجموعات المتساوية، وهي مجموعات لها نفس المحتوى الفتري.
- تحليل الانسجام والتنغيم: يمكن استخدام متجه الفترات لتحليل الانسجام والتنغيم في مقطوعة موسيقية.
- اكتشاف الأنماط المتكررة: يمكن استخدام متجه الفترات لاكتشاف الأنماط المتكررة في الموسيقى.
- التأليف الموسيقي: يمكن استخدام متجه الفترات كأداة تأليف، مما يسمح للملحنين بإنشاء موسيقى ذات طابع صوتي محدد.
- دراسة التناظر: يمكن استخدام متجهات الفترات لتحديد ما إذا كانت مجموعة النغمات متناظرة. المجموعة المتناظرة سيكون لها متجه فترة يقرأ نفس الشيء من الأمام إلى الخلف.
مثال تفصيلي
لنفترض أن لدينا مجموعة النغمات التالية: {C, C#, D, Eb}. لحساب متجه الفترات لهذه المجموعة، نتبع الخطوات التالية:
- أزواج النغمات الممكنة: (C, C#), (C, D), (C, Eb), (C#, D), (C#, Eb), (D, Eb)
- حساب الفواصل:
- (C, C#): نصف خطوة (1)
- (C, D): خطوة كاملة (2)
- (C, Eb): ثالثة صغيرة (3)
- (C#, D): نصف خطوة (1)
- (C#, Eb): خطوة كاملة (2)
- (D, Eb): نصف خطوة (1)
- تجميع الفترات:
- الفاصلة 1 (نصف خطوة): 3
- الفاصلة 2 (خطوة كاملة): 2
- الفاصلة 3 (ثالثة صغيرة): 1
- الفاصلة 4 (ثالثة كبيرة): 0
- الفاصلة 5 (رابعة مثالية): 0
- الفاصلة 6 (تريتون): 0
إذن، متجه الفترات للمجموعة {C, C#, D, Eb} هو: [3 2 1 0 0 0]. هذه المجموعة لديها ثلاثة أنصاف خطوات، خطوتين كاملتين، وثالثة صغيرة واحدة. هذا يوضح كيف يمكن لمتجه الفترات أن يصف المحتوى الفتري لمجموعة معقدة نسبيًا من النغمات.
مقارنة بين مجموعات مختلفة باستخدام متجه الفترات
يمكننا استخدام متجه الفترات لمقارنة مجموعات مختلفة وتحديد أوجه التشابه والاختلاف بينها. على سبيل المثال، لنقارن بين المجموعتين التاليتين:
- المجموعة 1: {C, D, E} (متجه الفترات: [0 2 0 1 0 0])
- المجموعة 2: {C, Db, F#} (متجه الفترات: [1 0 1 1 1 1])
يمكننا أن نرى أن المجموعتين لهما متجهات فترات مختلفة تمامًا. المجموعة الأولى تحتوي على عدد كبير من الخطوات الكاملة وثالثة كبيرة واحدة، بينما المجموعة الثانية تحتوي على نصف خطوة واحدة، وثالثة صغيرة واحدة، وثالثة كبيرة واحدة، ورابعة مثالية واحدة، وتريتون واحد. هذا يشير إلى أن المجموعتين لهما خصائص صوتية مختلفة جدًا. المجموعة الأولى أكثر انسجامًا واستقرارًا، بينما المجموعة الثانية أكثر تنافرًا وتوترًا.
قيود متجه الفترات
على الرغم من أن متجه الفترات هو أداة قيمة، إلا أنه يحتوي على بعض القيود:
- لا يأخذ في الاعتبار الترتيب: يتجاهل متجه الفترات ترتيب النغمات في المجموعة. هذا يعني أن مجموعتين لهما نفس النغمات بترتيبات مختلفة سيكون لهما نفس متجه الفترات.
- لا يوفر معلومات حول العلاقات النغمية: يصف متجه الفترات المحتوى الفتري للمجموعة، لكنه لا يوفر معلومات حول العلاقات النغمية بين النغمات.
- قد يكون مضللاً للمجموعات الكبيرة: مع زيادة حجم المجموعة، يمكن أن يصبح متجه الفترات أقل إفادة. يمكن أن يصبح من الصعب تفسير متجه الفترات للمجموعات التي تحتوي على عدد كبير من النغمات.
بدائل لمتجه الفترات
هناك العديد من الأدوات الأخرى التي يمكن استخدامها لتحليل المحتوى الفتري لمجموعة من النغمات. بعض البدائل الشائعة تشمل:
- بصمة الفاصل الزمني (Interval Class Content): هذا تحليل يركز على فئات الفاصل الزمني بدلاً من الفواصل الزمنية الدقيقة.
- الرسم البياني للفواصل الزمنية (Interval Histogram): تمثيل رسومي لعدد الفواصل الزمنية المختلفة في قطعة موسيقية.
- تحليل التقارب (Similarity Analysis): تقنية تستخدم لمقارنة أوجه التشابه والاختلاف بين مجموعات مختلفة من النغمات.
خاتمة
متجه الفترات هو أداة قوية لتحليل المحتوى الفتري لمجموعة من النغمات. يوفر تمثيلاً موجزًا وكميًا للتركيب الفتري للمجموعة، مما يتيح للمحللين الموسيقيين مقارنة مجموعات مختلفة، وتحديد العلاقات بينها، وفهم خصائصها الصوتية. على الرغم من وجود بعض القيود، إلا أن متجه الفترات يظل أداة أساسية في نظرية المجموعات الموسيقية والتحليل الموسيقي الحديث.