DFFITS (تأثيرات فرق التناسب)

<![CDATA[

ما هو DFFITS؟

DFFITS هو اختصار لعبارة “Difference in Fit(s)”، ويعني “فرق في التناسب” أو “فرق في الملاءمة”. إنه مقياس تشخيصي يستخدم في تحليل الانحدار الخطي لقياس مدى تأثير كل نقطة بيانات على قيم التناسب المتوقعة للنموذج. بعبارة أخرى، يحدد DFFITS مدى تغير قيم التناسب المتوقعة عند إزالة كل نقطة بيانات على حدة من مجموعة البيانات وإعادة تقدير النموذج.

يُحسب DFFITS لكل نقطة بيانات في مجموعة البيانات. ويُظهر DFFITS الكبير نسبيًا أن إزالة تلك النقطة من مجموعة البيانات ستؤدي إلى تغيير كبير في قيم التناسب المتوقعة، مما يشير إلى أن تلك النقطة ذات تأثير كبير على النموذج. على العكس من ذلك، يشير DFFITS الصغير إلى أن إزالة النقطة سيكون لها تأثير ضئيل على النموذج.

آلية عمل DFFITS

يعتمد حساب DFFITS على الخطوات التالية:

تقدير النموذج الأولي: يتم تقدير نموذج الانحدار الخطي باستخدام مجموعة البيانات بأكملها.
إزالة نقطة بيانات: يتم إزالة نقطة بيانات واحدة من مجموعة البيانات.
إعادة تقدير النموذج: يتم إعادة تقدير نموذج الانحدار الخطي باستخدام مجموعة البيانات المعدلة (أي، بعد إزالة نقطة البيانات).
حساب فرق التناسب: يتم حساب فرق التناسب لكل نقطة بيانات عن طريق طرح قيمة التناسب المتوقعة للنقطة في النموذج الأصلي من قيمة التناسب المتوقعة للنقطة في النموذج بعد إزالتها.
التطبيع: يتم تطبيع فرق التناسب هذا بناءً على انحرافه المعياري.

الصيغة الرياضية لـ DFFITS هي:

DFFITS_i = (ŷ_i – ŷ_i(i)) / (s_(i) * √(h_ii))

حيث:

ŷ_i: قيمة التناسب المتوقعة للنقطة i باستخدام النموذج الأصلي.
ŷ_i(i): قيمة التناسب المتوقعة للنقطة i باستخدام النموذج بعد إزالة النقطة i.
s_(i): تقدير الانحراف المعياري للخطأ باستخدام النموذج بعد إزالة النقطة i.
h_ii: قيمة “قبعة” (hat value) للنقطة i، والتي تعكس نفوذ النقطة i في مجموعة البيانات.

تفسير قيم DFFITS

يُستخدم DFFITS لتحديد النقاط المؤثرة، وهي النقاط التي لها تأثير كبير على تقديرات معاملات الانحدار ونموذج الانحدار بأكمله. لتفسير قيم DFFITS، يتم استخدام القاعدة الإرشادية التالية:

إذا كان |DFFITS_i| > 2 * √(p/n)، حيث p هو عدد المعاملات في النموذج (بما في ذلك المقطع) و n هو عدد النقاط في مجموعة البيانات، فإن النقطة i تعتبر مؤثرة.
تعتبر النقاط ذات القيم المطلقة لـ DFFITS الكبيرة جدًا (بغض النظر عن علامتها) مؤثرة بشكل خاص.

تشير القيمة الموجبة لـ DFFITS إلى أن إزالة النقطة i تؤدي إلى انخفاض في قيمة التناسب المتوقعة. وتشير القيمة السالبة إلى أن إزالة النقطة i تؤدي إلى زيادة في قيمة التناسب المتوقعة.

أهمية DFFITS في تحليل الانحدار

يلعب DFFITS دورًا حيويًا في تحليل الانحدار لعدة أسباب:

تحديد النقاط الشاذة: يساعد DFFITS في تحديد النقاط الشاذة التي قد تؤثر بشكل كبير على تقديرات معاملات الانحدار.
تقييم استقرار النموذج: من خلال تحديد النقاط المؤثرة، يساعد DFFITS في تقييم مدى استقرار نموذج الانحدار. إذا كان النموذج حساسًا للنقاط الفردية، فقد يشير ذلك إلى وجود مشكلات في البيانات أو النموذج نفسه.
تحسين دقة النموذج: من خلال تحديد النقاط المؤثرة، يمكن للمحللين اتخاذ قرارات مستنيرة بشأن التعامل مع هذه النقاط (مثل إزالتها أو تعديلها) لتحسين دقة النموذج.
فهم تأثير البيانات: يوفر DFFITS رؤى قيمة حول كيفية تأثير كل نقطة بيانات على النموذج، مما يساعد على فهم العلاقة بين المتغيرات بشكل أفضل.

مقارنة DFFITS بأدوات التشخيص الأخرى

DFFITS ليس الأداة التشخيصية الوحيدة المستخدمة في تحليل الانحدار. تشمل الأدوات الأخرى المستخدمة لتقييم تأثير النقاط، على سبيل المثال لا الحصر:

DFBETA: يقيس التغيير في تقدير معامل الانحدار عند إزالة كل نقطة بيانات.
القيم “القبعة” (Hat values): تقيس نفوذ كل نقطة بيانات.
المخلفات الطلابية (Studentized residuals): تساعد في تحديد النقاط الشاذة.

في حين أن كل أداة من هذه الأدوات تقدم رؤى مختلفة، فإن DFFITS يجمع بين كل من تأثير النفوذ (عبر h_ii) والتغيير في التناسب المتوقع، مما يجعله أداة شاملة لتقييم تأثير النقاط.

كيفية استخدام DFFITS عمليًا

يمكن حساب DFFITS باستخدام العديد من حزم البرامج الإحصائية، بما في ذلك R وPython و SPSS و SAS. إليك مثال بسيط لكيفية حساب DFFITS باستخدام لغة البرمجة R:

“`R # افتراض وجود مجموعة بيانات مسماة ‘data’ model <- lm(y ~ x1 + x2, data = data) # إنشاء نموذج الانحدار influence <- influence.measures(model) # حساب مقاييس النفوذ dffits <- influence$infmat[, “Dffits”] # استخراج قيم DFFITS print(dffits) # طباعة قيم DFFITS “`

في هذا المثال، يقوم الكود بإنشاء نموذج انحدار خطي متعدد، ثم يستخدم الدالة `influence.measures()` لحساب مقاييس النفوذ، بما في ذلك DFFITS. يتم بعد ذلك استخراج قيم DFFITS وطباعتها.

بعد حساب DFFITS، يتم فحص القيم لتحديد النقاط المؤثرة باستخدام القاعدة الإرشادية المذكورة أعلاه. بناءً على نتائج DFFITS، يمكن للمحللين اتخاذ قرارات حول كيفية التعامل مع النقاط المؤثرة.

أمثلة على استخدام DFFITS

دعنا نستعرض بعض الأمثلة لتوضيح كيفية استخدام DFFITS:

المثال 1: لنفترض أن لدينا مجموعة بيانات تحتوي على 100 نقطة بيانات، ونموذج انحدار خطي مع متغيرين مستقلين. لحساب النقاط المؤثرة، نستخدم القاعدة الإرشادية: |DFFITS| > 2 * √(3/100) ≈ 0.35. إذا كان لدينا DFFITS = 0.5 لنقطة بيانات معينة، فإن هذه النقطة تعتبر مؤثرة.

المثال 2: إذا كان لدينا DFFITS = -0.6 لنقطة بيانات، فإن هذه النقطة تعتبر مؤثرة أيضًا، على الرغم من أن الإشارة سالبة. هذا يعني أن إزالة هذه النقطة ستؤدي إلى زيادة في قيمة التناسب المتوقعة.

المثال 3: لنفترض أن لدينا مجموعة بيانات تحتوي على 50 نقطة بيانات، ونموذج انحدار خطي بسيط (متغير مستقل واحد). لحساب النقاط المؤثرة، نستخدم القاعدة الإرشادية: |DFFITS| > 2 * √(2/50) ≈ 0.4. إذا كان لدينا DFFITS = 0.1 لنقطة بيانات معينة، فإن هذه النقطة ليست مؤثرة.

اعتبارات إضافية

عند استخدام DFFITS، هناك بعض الاعتبارات الإضافية التي يجب وضعها في الاعتبار:

حجم العينة: يجب أن يؤخذ في الاعتبار حجم العينة. في مجموعات البيانات الصغيرة، قد تكون قيمة DFFITS الصغيرة نسبيًا ذات تأثير كبير.
المتغيرات المستقلة: يمكن أن يؤثر عدد المتغيرات المستقلة في النموذج على تفسير DFFITS.
القيم الشاذة: قد تتأثر قيم DFFITS بشكل كبير بالقيم الشاذة. من الضروري فحص البيانات بحثًا عن القيم الشاذة قبل استخدام DFFITS.
سياق البيانات: يجب تفسير نتائج DFFITS في سياق البيانات والمسألة التي يتم تحليلها.

قيود DFFITS

على الرغم من فائدته، فإن DFFITS لديه بعض القيود:

الحساسية للقيم الشاذة: يمكن أن تتأثر قيم DFFITS بشكل كبير بالقيم الشاذة، مما قد يؤدي إلى تفسيرات خاطئة.
تأثير المجموعة: قد لا يكون DFFITS فعالاً في تحديد النقاط المؤثرة إذا كانت هناك مجموعات من النقاط ذات تأثير مماثل.
الاعتماد على النموذج: DFFITS يعتمد على النموذج الذي تم إنشاؤه. إذا كان النموذج غير دقيق، فقد تكون نتائج DFFITS غير دقيقة.

بدائل DFFITS

بالإضافة إلى DFFITS، هناك العديد من الأدوات التشخيصية الأخرى التي يمكن استخدامها لتحديد النقاط المؤثرة في تحليل الانحدار، مثل:

DFBETA: يقيس التغيير في تقديرات معاملات الانحدار.
Cook’s distance: يقيس التأثير الكلي لكل نقطة بيانات على النموذج.
Leverage: يقيس مدى نفوذ كل نقطة بيانات.

غالبًا ما يتم استخدام هذه الأدوات معًا لتوفير تقييم شامل لتأثير النقاط في مجموعة البيانات.

خاتمة

DFFITS هو أداة تشخيصية قوية في تحليل الانحدار الخطي، حيث يساعد في تحديد النقاط المؤثرة التي قد تؤثر على تقديرات النموذج. من خلال فهم آلية عمل DFFITS، وكيفية تفسير قيمه، يمكن للمحللين الحصول على رؤى قيمة حول سلوك البيانات ونماذجها. على الرغم من القيود، يعد DFFITS أداة أساسية في مجموعة أدوات المحلل الإحصائي، مما يساعد على تحسين دقة النماذج، وفهم العلاقات بين المتغيرات، واتخاذ قرارات مستنيرة بشأن البيانات.

المراجع

“`]]>