التعريف الأساسي
لتوضيح المفهوم، لنبدأ بالتعريف الأساسي. فضاء الجداء الداخلي غير المحدد هو فضاء متجهي معقد (أو حقيقي)، مجهز بـ دالة جداء داخلي، والتي يشار إليها عادة بالرمز ⟨⋅, ⋅⟩، والتي تأخذ زوجاً من المتجهات وتعيد قيمة عددية معقدة (أو حقيقية). الاختلاف الرئيسي بين هذا الجداء الداخلي والنموذجي هو أنه لا يشترط أن يكون ⟨v, v⟩ ≥ 0 لجميع المتجهات v في الفضاء. بدلاً من ذلك، يمكن أن يكون ⟨v, v⟩ موجباً، سالباً، أو صفراً. هذا التحرر من شرط عدم السالبية يفتح الباب أمام سلوكيات جديدة ومثيرة للاهتمام.
بشكل رسمي، إذا كان V فضاء متجهي (على سبيل المثال، على الأعداد المركبة ℂ)، فإن دالة الجداء الداخلي غير المحدد هي دالة:
⟨⋅, ⋅⟩: V × V → ℂ
والتي تحقق الخصائص التالية لجميع المتجهات u, v, w ∈ V وجميع الأعداد القياسية α ∈ ℂ:
- الخطية في المدخل الأول: ⟨αu + v, w⟩ = α⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩
- التبادلية المترافقة: ⟨u, v⟩ = conjugate(⟨v, u⟩)
لاحظ أنه بسبب التبادلية المترافقة، فإن الجداء الداخلي يكون حقيقياً إذا كان المتجهان هما نفسيهما: ⟨v, v⟩ ∈ ℝ. ومع ذلك، يمكن أن يكون هذا العدد حقيقياً سالباً.
الخصائص الأساسية
تؤدي طبيعة الجداء الداخلي غير المحدد إلى عدد من الخصائص المميزة:
- المتجهات الموجبة، السالبة، والصفرية: يمكن تصنيف المتجهات في فضاء الجداء الداخلي غير المحدد إلى ثلاث فئات بناءً على سلوكها فيما يتعلق بالجداء الداخلي مع نفسها:
- المتجهات الموجبة: هي تلك التي يكون فيها ⟨v, v⟩ > 0.
- المتجهات السالبة: هي تلك التي يكون فيها ⟨v, v⟩ < 0.
- المتجهات الصفرية (أو المتجهة الضوئية): هي تلك التي يكون فيها ⟨v, v⟩ = 0. هذه المتجهات تلعب دوراً مهماً في العديد من التطبيقات، خاصة في نظرية الحقول الكمومية.
- الفضاءات الفرعية: يمكن تقسيم الفضاء إلى فضاءات فرعية، بناءً على سلوك الجداء الداخلي. على سبيل المثال، يمكن تعريف فضاء فرعي يتكون من المتجهات الموجبة فقط، أو فضاء فرعي يتكون من المتجهات الصفرية.
- المعيار والمسافة: على عكس فضاءات الجداء الداخلي التقليدية، لا يمكن تعريف معيار (norm) يعتمد على الجداء الداخلي مباشرة، لأنه يمكن أن يعطي قيماً سالبة. ومع ذلك، يمكن تعريف ما يسمى بـ “المعيار شبه” (semi-norm)، أو استخدام تعريفات أخرى للمسافة التي تأخذ في الاعتبار طبيعة الجداء غير المحددة.
أمثلة على فضاءات الجداء الداخلي غير المحدد
هناك العديد من الأمثلة على فضاءات الجداء الداخلي غير المحدد، والتي تظهر في مجالات مختلفة من الفيزياء والرياضيات. فيما يلي بعض الأمثلة البارزة:
- فضاء مينكوفسكي: هذا الفضاء هو فضاء متجهي حقيقي رباعي الأبعاد، مجهز بجداء داخلي غير محدد يسمى “مقياس مينكوفسكي”. هذا الفضاء هو الإطار الرياضي الأساسي لنظرية النسبية الخاصة. يمثل الجداء الداخلي هنا المسافة الزمكانية، والتي يمكن أن تكون موجبة أو سالبة أو صفرية، اعتماداً على المسار الذي يتبعه الجسم.
- الفضاءات بي إس إس (Krein Spaces): هذه الفضاءات هي تعميم لفضاءات هيلبرت، وهي مجهزة بجداء داخلي غير محدد. تستخدم هذه الفضاءات في نظرية المشغلين، والتحليل الدالي، وتطبيقات أخرى.
- فضاءات غيبس (Gibbs Spaces): تستخدم هذه الفضاءات في الميكانيكا الإحصائية الكمومية، وهي مجهزة بجداء داخلي غير محدد يرتبط بالدالة التقسيمية (partition function).
- نماذج الحقول الكمومية: في نظرية الحقول الكمومية، غالباً ما تظهر فضاءات الجداء الداخلي غير المحدد بشكل طبيعي، خاصةً عند التعامل مع الحقول ذات الجسيمات الوهمية (ghost particles) أو الحقول غير المحلية.
التطبيقات
تجد فضاءات الجداء الداخلي غير المحدد تطبيقات واسعة في مجالات متنوعة:
- الفيزياء النظرية: هي المجال الذي تظهر فيه هذه الفضاءات بشكل بارز. تستخدم في نظرية الحقول الكمومية، ونظرية الأوتار، والجاذبية الكمومية. في نظرية الحقول الكمومية، تساعد في التعامل مع الحقول غير الفيزيائية، مثل الحقول الوهمية، التي تظهر كحلول رياضية.
- الرياضيات البحتة: في التحليل الدالي، ونظرية المشغلين، وبعض فروع الهندسة التفاضلية.
- نظرية الاحتمالات: في بعض النماذج الإحصائية، حيث يمكن أن يكون الجداء الداخلي غير المحدد مفيداً في نمذجة التباينات والارتباطات.
العلاقة بفضاءات هيلبرت
من المهم ملاحظة العلاقة بين فضاءات الجداء الداخلي غير المحدد وفضاءات هيلبرت. فضاء هيلبرت هو في الأساس فضاء جداء داخلي تقليدي، حيث يكون الجداء الداخلي دائماً محدداً وإيجابياً. يمكن اعتبار فضاء الجداء الداخلي غير المحدد بمثابة تعميم لفضاء هيلبرت. في الواقع، يمكن النظر إلى فضاء هيلبرت على أنه حالة خاصة من فضاء الجداء الداخلي غير المحدد، حيث لا توجد متجهات ذات مربع “معيار” سلبي.
بسبب هذه العلاقة، يتم استخدام العديد من المفاهيم والأدوات الرياضية من فضاءات هيلبرت في دراسة فضاءات الجداء الداخلي غير المحدد، مع تعديلات مناسبة لمراعاة عدم تحديد الجداء الداخلي. على سبيل المثال، يمكن دراسة المشغلات الخطية في هذه الفضاءات، والبحث عن طرق لتعميم مفاهيم مثل الإسقاطات والتحليل الطيفي.
الصعوبات والتحديات
تتميز فضاءات الجداء الداخلي غير المحدد بصعوبات وتحديات إضافية مقارنة بفضاءات هيلبرت التقليدية:
- عدم وجود معيار: كما ذكرنا سابقاً، صعوبة تعريف معيار مباشر يعتمد على الجداء الداخلي، مما يجعل دراسة الطوبولوجيا والتحليل أكثر تعقيداً.
- التعميمات المحدودة: بعض النتائج والتقنيات التي تعمل في فضاءات هيلبرت لا تنتقل مباشرة إلى فضاءات الجداء الداخلي غير المحدد.
- الاستقرار: قد تكون المشغلات الخطية في هذه الفضاءات غير مستقرة، مما يتطلب تحليلًا دقيقًا لسلوكها.
العمليات الأساسية في فضاءات الجداء الداخلي غير المحدد
على الرغم من هذه التحديات، هناك عدد من العمليات والمفاهيم الأساسية التي يمكن تطبيقها في فضاءات الجداء الداخلي غير المحدد. وتشمل:
- المشغلات المترافقة (Adjoint Operators): إذا كان A مشغلاً خطياً في فضاء الجداء الداخلي غير المحدد، فإن مشغله المترافق A* يحدد من خلال العلاقة: ⟨Au, v⟩ = ⟨u, A*v⟩.
- المشغلات المحدودة (Bounded Operators): المشغل المحدود هو مشغل يحافظ على المسافات، بمعنى أنه لا “يكبر” المتجهات بشكل لا نهائي.
- التحليل الطيفي (Spectral Analysis): على الرغم من صعوبته، يمكن تطبيق التحليل الطيفي لدراسة خصائص المشغلات في هذه الفضاءات، وتحديد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.
- الإسقاطات (Projections): يمكن تعريف الإسقاطات في فضاءات الجداء الداخلي غير المحدد، ولكن يجب التعامل معها بحذر بسبب عدم تحديد الجداء الداخلي.
أمثلة توضيحية
لتوضيح بعض هذه المفاهيم، دعونا نفكر في مثال مبسط. تخيل فضاء متجهي ثنائي الأبعاد معقد، ونعرف الجداء الداخلي على النحو التالي:
⟨(x₁, y₁), (x₂, y₂)⟩ = x₁conjugate(x₂) – y₁conjugate(y₂)
في هذا الفضاء، يمكن أن يكون للمتجهات (1, 0) و (0, 1) معايير “مربعة” 1 و -1 على التوالي. وهذا يوضح كيفية ظهور المتجهات الموجبة والسالبة. المشغلات الخطية في هذا الفضاء يمكن أن تعرض سلوكاً معقداً، وقد تتطلب دراسة خاصة لتحديد خصائصها.
مثال آخر هو فضاء مينكوفسكي. في هذا الفضاء، يمثل الجداء الداخلي الفرق بين مربع الزمن ومربع المسافات المكانية. هذا يؤدي إلى وجود متجهات زمنية (مع معيار “مربع” موجب)، ومتجهات مكانية (مع معيار “مربع” سالب)، ومتجهات ضوئية (مع معيار “مربع” صفري). هذه المفاهيم أساسية في نظرية النسبية الخاصة.
الخلاصة
بشكل عام، تمثل فضاءات الجداء الداخلي غير المحدد تعميماً مهماً لفضاءات الجداء الداخلي التقليدية، مما يسمح بوجود متجهات ذات معايير “مربعة” سالبة. هذا يؤدي إلى خصائص رياضية فريدة وتطبيقات واسعة في الفيزياء النظرية والرياضيات البحتة وغيرها من المجالات. على الرغم من التحديات التي تواجهها هذه الفضاءات، فإنها توفر أداة قوية لفهم الظواهر الفيزيائية المعقدة. تعتبر دراسة هذه الفضاءات حيوية لفهم نظريات مثل نظرية الحقول الكمومية والنسبية العامة.