مقدمة
في الرياضيات، تُعتبر الدالة الخطية الثنائية أداة أساسية تجمع عناصر من فضائين متجهين لإنتاج عنصر في فضاء متجه ثالث. تمثل هذه الدوال تعميمًا للمفهوم الخطي، حيث تتعامل مع متغيرين بطريقة خطية. تلعب الدوال الخطية الثنائية دورًا حيويًا في مجالات متنوعة مثل الجبر الخطي، والهندسة، والفيزياء، وتوفر إطارًا رياضيًا قويًا لتحليل العلاقات بين الكائنات الرياضية.
التعريف الرياضي
لتكن V و W و U ثلاثة فضاءات متجهة على نفس الحقل F. الدالة الخطية الثنائية هي دالة:
B: V × W → U
بحيث تحقق الشرطين التاليين:
- لكل v ∈ V، الدالة B(v, ·): W → U خطية. هذا يعني أنه لكل w1, w2 ∈ W ولكل a, b ∈ F:
B(v, aw1 + bw2) = aB(v, w1) + bB(v, w2)
- لكل w ∈ W، الدالة B(·, w): V → U خطية. هذا يعني أنه لكل v1, v2 ∈ V ولكل a, b ∈ F:
B(av1 + bv2, w) = aB(v1, w) + bB(v2, w)
بعبارة أخرى، الدالة B خطية في كل وسيط من وسيطاتها عندما يتم تثبيت الوسيط الآخر.
أمثلة على الدوال الخطية الثنائية
الجداء الداخلي (Inner Product):
في الفضاء الإقليدي Rn، الجداء الداخلي (أو الضرب القياسي) هو دالة خطية ثنائية:
⟨·, ·⟩: Rn × Rn → R
يعرف على النحو التالي:
⟨x, y⟩ = xTy = Σi=1n xiyi
حيث x = (x1, x2, …, xn) و y = (y1, y2, …, yn).
حساب المصفوفات:
إذا كانت A مصفوفة حقيقية قياس m×n، فإن الدالة:
B: Rn × Rm → R
المعرفة بـ:
B(x, y) = xTAy
هي دالة خطية ثنائية.
حاصل الضرب الاتجاهي (Cross Product):
في الفضاء ثلاثي الأبعاد R3، حاصل الضرب الاتجاهي هو دالة:
×: R3 × R3 → R3
وهي دالة خطية ثنائية.
الضرب في الحقل:
إذا كان F حقلاً، فإن الضرب في الحقل:
·: F × F → F
هو دالة خطية ثنائية.
الخواص الأساسية للدوال الخطية الثنائية
الخطية في كل وسيط:
كما ذكرنا سابقًا، الدالة الخطية الثنائية خطية في كل وسيط عندما يتم تثبيت الوسيط الآخر. هذه الخاصية هي جوهر تعريف الدالة الخطية الثنائية.
الارتباط بالتحويلات الخطية:
يمكن تمثيل الدوال الخطية الثنائية باستخدام التحويلات الخطية. إذا كانت B: V × W → U دالة خطية ثنائية، فإنه يوجد تحويل خطي T: V → Hom(W, U) حيث Hom(W, U) هو فضاء التحويلات الخطية من W إلى U، بحيث:
B(v, w) = T(v)(w)
وبالمثل، يوجد تحويل خطي S: W → Hom(V, U) بحيث:
B(v, w) = S(w)(v)
تمثيل المصفوفة:
إذا كانت V و W فضاءات متجهة ذات أبعاد منتهية، فإنه يمكن تمثيل الدالة الخطية الثنائية B: V × W → F بمصفوفة. لنفترض أن {v1, …, vn} هي قاعدة لـ V و {w1, …, wm} هي قاعدة لـ W. يمكن تعريف المصفوفة A بـ:
Aij = B(vi, wj)
عندئذٍ، إذا كان v = Σi=1n xivi و w = Σj=1m yjwj، فإن:
B(v, w) = Σi=1n Σj=1m xiyjAij
وهذا يعني أن B(v, w) = xTAy حيث x و y هما متجها الإحداثيات لـ v و w على التوالي.
تطبيقات الدوال الخطية الثنائية
الجبر الخطي:
تستخدم الدوال الخطية الثنائية في تعريف الجداءات الداخلية، والأشكال التربيعية، والعديد من المفاهيم الأساسية في الجبر الخطي.
الهندسة:
تستخدم الدوال الخطية الثنائية في تعريف المسافات والزوايا في الفضاءات المتجهة. على سبيل المثال، الجداء الداخلي في الفضاء الإقليدي يستخدم لحساب طول المتجهات والزوايا بينها.
الفيزياء:
تظهر الدوال الخطية الثنائية في العديد من المجالات الفيزيائية، مثل الميكانيكا الكلاسيكية (في تعريف الطاقة الحركية) والكهرومغناطيسية (في تعريف الطاقة المخزنة في المجال الكهرومغناطيسي).
تحليل التوتر (Tensor Analysis):
تعتبر الدوال الخطية الثنائية حالة خاصة من الموترات، وهي كائنات رياضية تستخدم على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة لوصف الكميات الفيزيائية التي تعتمد على اتجاه معين.
تعميمات الدوال الخطية الثنائية
الدوال متعددة الخطية (Multilinear Maps):
الدالة متعددة الخطية هي تعميم للدالة الخطية الثنائية إلى أكثر من وسيطين. إذا كانت V1, V2, …, Vn و U فضاءات متجهة على نفس الحقل F، فإن الدالة:
B: V1 × V2 × … × Vn → U
تكون متعددة الخطية إذا كانت خطية في كل وسيط عندما يتم تثبيت بقية الوسائط.
الأشكال الخطية الثنائية (Bilinear Forms):
الشكل الخطي الثنائي هو دالة خطية ثنائية من الفضاء المتجه إلى حقله القياسي. بعبارة أخرى، إذا كان V فضاء متجه على الحقل F، فإن الشكل الخطي الثنائي هو دالة:
B: V × V → F
وهي خطية ثنائية.
أهمية الدوال الخطية الثنائية
تكمن أهمية الدوال الخطية الثنائية في قدرتها على توفير إطار رياضي دقيق وفعال لتحليل العلاقات بين الكائنات الرياضية. تستخدم هذه الدوال في العديد من المجالات الرياضية والعلمية، وتساهم في فهم أعمق للظواهر المختلفة. كما أن الدوال الخطية الثنائية تعتبر أساسًا للعديد من المفاهيم الرياضية الأكثر تعقيدًا، مثل الموترات والأشكال متعددة الخطية.
خاتمة
الدالة الخطية الثنائية هي مفهوم رياضي أساسي يلعب دورًا هامًا في الجبر الخطي، والهندسة، والفيزياء، وغيرها من المجالات. تعريفها يعتمد على الخطية في كل وسيط، ولها العديد من الخواص والتطبيقات الهامة. فهم الدوال الخطية الثنائية ضروري للتعمق في العديد من المفاهيم الرياضية والعلمية الأكثر تعقيدًا.