<![CDATA[
مقدمة
في الرياضيات، وتحديدًا في نظرية القياس، يُعد قياس بوريل على فضاء طوبولوجي قياسًا مُعرَّفًا على جميع المجموعات المفتوحة. يلعب قياس بوريل دورًا حاسمًا في تحليل الدوال الحقيقية والمتغيرة، والاحتمالات، والعديد من المجالات الرياضية الأخرى. يوفر إطارًا رياضيًا صارمًا لتحديد حجم المجموعات المعقدة، حتى تلك التي لا يمكن وصفها بسهولة باستخدام الهندسة التقليدية.
تعريف قياس بوريل
لتكن (X, τ) فضاءً طوبولوجيًا. يُعرف جبر بوريل، والذي يُرمز له بـ ℬ(X) أو σ(τ)، بأنه أصغر جبر سيجما يحتوي على جميع المجموعات المفتوحة في X. بمعنى آخر، هو الجبر الناتج عن المجموعات المفتوحة. تتكون مجموعات بوريل من المجموعات المفتوحة، والمجموعات المغلقة (المتممات للمجموعات المفتوحة)، وجميع المجموعات التي يمكن الحصول عليها من هذه المجموعات عن طريق إجراء عدد قابل للعد من العمليات مثل الاتحاد والتقاطع والمكملة.
قياس بوريل على (X, τ) هو أي قياس μ معرف على جبر بوريل ℬ(X). أي أن μ: ℬ(X) → [0, ∞] بحيث:
- μ(∅) = 0 (حيث ∅ هي المجموعة الفارغة)
- μ(∪ᵢ Aᵢ) = Σᵢ μ(Aᵢ) لكل تسلسل قابل للعد {Aᵢ} من المجموعات المنفصلة بشكل زوجي في ℬ(X) (خاصية الجمعية القابلة للعد)
بعبارة أخرى، قياس بوريل يعين قيمة غير سالبة (أو اللانهاية) لكل مجموعة بوريل بطريقة تتفق مع العمليات الأساسية لنظرية المجموعات (مثل الاتحاد والتقاطع).
أمثلة على قياسات بوريل
توجد قياسات بوريل في كل مكان في الرياضيات. فيما يلي بعض الأمثلة الهامة:
- قياس ليبيج: على خط الأعداد الحقيقية (ℝ)، يُعد قياس ليبيج مثالًا أساسيًا لقياس بوريل. إنه يمدد مفهوم “الطول” للفترات إلى مجموعات أكثر تعقيدًا. قياس ليبيج للمجموعة [a, b] هو ببساطة b – a. يلعب قياس ليبيج دورًا أساسيًا في التكامل والتحليل الحقيقي.
- قياس ديراك: بالنسبة لنقطة x في الفضاء الطوبولوجي X، فإن قياس ديراك δₓ يُعرَّف بالصيغة: δₓ(A) = 1 إذا كان x ∈ A، و δₓ(A) = 0 إذا كان x ∉ A. بمعنى آخر، فهو يعطي المجموعة قيمة 1 إذا كانت تحتوي على النقطة x، و 0 بخلاف ذلك. قياس ديراك هو مثال على القياس الذري.
- القياسات الاحتمالية: في نظرية الاحتمالات، القياسات الاحتمالية هي قياسات بوريل بحيث يكون القياس الكلي للفضاء (μ(X)) يساوي 1. تصف هذه القياسات توزيع الاحتمالات على الفضاء.
- قياسات رادون: قياس رادون هو قياس بوريل إضافي منتظم داخليًا على مجموعات بوريل ومحدود محليًا. هذه القياسات مهمة بشكل خاص في التحليل الوظيفي ونظرية القياس الهندسي.
الخصائص الهامة لقياسات بوريل
تتمتع قياسات بوريل ببعض الخصائص الهامة التي تجعلها مفيدة للغاية في الرياضيات:
- الانتظام: غالبًا ما تكون قياسات بوريل منتظمة، مما يعني أنه يمكن تقريب قياس أي مجموعة بوريل من الأعلى بمجموعة مفتوحة ومن الأسفل بمجموعة مغلقة. هذه الخاصية ضرورية للعديد من البراهين والتقنيات التحليلية.
- التحويلات القابلة للقياس: إذا كانت f: X → Y دالة قابلة للقياس بين فضاءين قابلين للقياس (أي، الصورة المعكوسة لأي مجموعة بوريل في Y هي مجموعة بوريل في X)، و μ هو قياس بوريل على X، إذن يمكن تعريف قياس الصورة f∗μ على Y عن طريق (f∗μ)(A) = μ(f⁻¹(A)). هذا يسمح لنا بنقل القياسات بين الفضاءات باستخدام الدوال القابلة للقياس.
- نظرية التمديد: إذا تم تعريف دالة قياس على جبر مولد لمجموعات بوريل، فيمكن تمديدها بشكل فريد إلى قياس بوريل كامل. هذه النظرية ضرورية لبناء قياسات بوريل.
قياس بوريل المنتظم
القياس البورلي μ على الفضاء الطوبولوجي X هو منتظم إذا كانت العلاقة التالية صحيحة لأي مجموعة بوريل B:
μ(B) = inf{μ(U) : B ⊆ U, U مفتوحة}
و
μ(B) = sup{μ(K) : K ⊆ B, K مدمجة}
بمعنى آخر، يمكن تقريب قياس أي مجموعة بوريل بشكل تعسفي من الأعلى بقياس مجموعة مفتوحة تحتوي عليها ومن الأسفل بقياس مجموعة مدمجة محتواة فيها.
أهمية قياسات بوريل
قياسات بوريل ضرورية في مجالات مختلفة من الرياضيات:
- التحليل الحقيقي: قياسات بوريل هي أساس تكامل ليبيج، وهو تعميم لتكامل ريمان الذي يسمح لنا بتكامل فئة أوسع بكثير من الدوال.
- نظرية الاحتمالات: القياسات الاحتمالية هي قياسات بوريل ذات قياس كلي 1. تُستخدم لوصف توزيعات المتغيرات العشوائية.
- التحليل الوظيفي: قياسات رادون، وهي نوع مهم من قياسات بوريل، تلعب دورًا حاسمًا في دراسة الفضاءات الوظيفية والدوال الخطية.
- الهندسة: قياسات بوريل تستخدم لتعميم مفاهيم الطول والمساحة والحجم إلى مجموعات أكثر تعقيدًا من المجموعات الهندسية التقليدية.
بناء قياسات بوريل
هناك عدة طرق لبناء قياسات بوريل. تتضمن بعض الأساليب الشائعة ما يلي:
- نظرية كارادورى للتمديد: هذه النظرية تسمح لنا بتمديد دالة قياس معرفة على جبر إلى قياس كامل على جبر سيجما الناتج.
- نظرية ريز للتمثيل: هذه النظرية تربط بين التكامل على فضاء طوبولوجي خطي وقياس رادون عليه، مما يوفر طريقة لبناء قياسات رادون من دوال خطية.
- قياسات الصورة: كما ذكرنا سابقًا، يمكننا استخدام الدوال القابلة للقياس لنقل القياسات بين الفضاءات، مما يسمح لنا ببناء قياسات جديدة من القياسات الموجودة.
قياسات بوريل في الفضاءات المترية
في الفضاءات المترية، يكون جبر بوريل الناتج عن المجموعات المفتوحة له خصائص جيدة بشكل خاص. على سبيل المثال، في الفضاءات المترية القابلة للفصل، يمكن الحصول على أي قياس بوريل عن طريق أخذ حدود مجموعات مفتوحة. بالإضافة إلى ذلك، يمكن تقريب قياسات بوريل على الفضاءات المترية بواسطة قياسات داخلية منتظمة، مما يعني أن قياس أي مجموعة بوريل يمكن تقريبه من الأسفل بقياس مجموعة مدمجة.
قياسات بوريل مقابل قياسات ليبيج
من المهم التمييز بين قياس بوريل وقياس ليبيج. في حين أن قياس ليبيج هو مثال على قياس بوريل على خط الأعداد الحقيقية (وبشكل عام على الفضاء الإقليدي ℝⁿ)، ليست كل قياسات بوريل هي قياسات ليبيج. قياس ليبيج هو قياس كامل، مما يعني أن كل مجموعة جزئية من مجموعة ذات قياس صفري قابلة للقياس أيضًا ولها قياس صفري. ومع ذلك، قد لا تكون قياسات بوريل الأخرى كاملة.
التطبيقات المتقدمة
تستخدم قياسات بوريل في مجموعة واسعة من التطبيقات المتقدمة، بما في ذلك:
- التحليل التوافقي: قياسات بوريل ضرورية في دراسة تحويلات فورييه وتحليل الدوال على المجموعات الموضعية المدمجة.
- الأنظمة الديناميكية: تستخدم قياسات بوريل لوصف السلوك طويل الأجل للأنظمة الديناميكية، مثل تدفقات على المشعبات.
- نظرية المعلومات: تستخدم قياسات بوريل لتحديد مفهوم الإنتروبيا للمتغيرات العشوائية وتوزيعات الاحتمالات.
خاتمة
يُعد قياس بوريل مفهومًا أساسيًا في نظرية القياس والتحليل الرياضي. فهو يوفر إطارًا رياضيًا صارمًا لتحديد حجم المجموعات المعقدة، وقد وجد تطبيقات واسعة النطاق في التحليل الحقيقي والاحتمالات والتحليل الوظيفي والعديد من المجالات الرياضية الأخرى. فهم قياسات بوريل أمر بالغ الأهمية للعمل مع التكامل العام وتوزيعات الاحتمالات والعديد من المفاهيم الرياضية المتقدمة الأخرى.