مقدمة
في الرياضيات، وتحديدًا في التحليل الرياضي، تُعد مبرهنة التمديد لـ Whitney (Whitney Extension Theorem) بمثابة معكوس جزئي لنظرية تايلور (Taylor’s theorem). تقدم هذه المبرهنة أداة قوية لتمديد دالة معطاة معرفة على مجموعة جزئية من الفضاء الإقليدي إلى دالة قابلة للاشتقاق على كامل الفضاء، مع الحفاظ على بعض الخصائص الهامة مثل قابلية الاشتقاق والسلوك في النقاط الحدودية. اكتشف هذه المبرهنة عالم الرياضيات الأمريكي هاسلر ويتني (Hassler Whitney) في عام 1934، ومنذ ذلك الحين أصبحت حجر زاوية في العديد من مجالات الرياضيات التطبيقية والنظرية.
صياغة المبرهنة
لتوضيح المبرهنة، لنفترض أن لدينا مجموعة جزئية مغلقة E من ℝn. لنفترض أيضًا أن لدينا مجموعة من الدوال {fα} معرفة على E، حيث α هو دليل متعدد يمثل ترتيب الاشتقاق. نريد تحديد شروط على هذه الدوال لضمان وجود دالة F قابلة للاشتقاق على ℝn بحيث:
- ∂αF(x)=fα(x) لكل x∈E.
بشكل أكثر دقة، تتطلب مبرهنة Whitney أن الدوال fα تحقق شروطًا معينة للتوافق في النقاط الموجودة في E. هذه الشروط تتضمن قيودًا على سلوك الدوال ومشتقاتها، وتضمن أن الدالة الممتدة F قابلة للاشتقاق بالسلوك المطلوب.
الشروط الضرورية والكافية
الشرط الضروري: إذا كانت الدالة F قابلة للاشتقاق على ℝn، فإن الدوال fα يجب أن تكون متوافقة على E. هذا يعني أن قيمها ومشتقاتها يجب أن تتوافق مع بعضها البعض في النقاط المشتركة.
الشرط الكافي: إذا كانت الدوال fα تحقق شروط توافق Whitney، فإن هناك دالة F قابلة للاشتقاق على ℝn تحقق ∂αF(x)=fα(x) لكل x∈E.
بمعنى آخر، تحدد مبرهنة Whitney شروطًا على “البيانات” fα على المجموعة الجزئية E لكي يمكن تمديدها إلى دالة قابلة للاشتقاق على كامل الفضاء.
شروط التوافق لـ Whitney
الشرط الأساسي في مبرهنة Whitney هو شرط التوافق. يتعلق هذا الشرط بسلوك الدوال fα ومشتقاتها بالقرب من النقاط في E. إليك صياغة مبسطة لهذا الشرط:
يُطلب من الدوال fα أن تحقق ما يلي:
-
توافق القيم: لكل x,y∈E، يجب أن يكون هناك تقدير جيد للدالة باستخدام مشتقاتها في نقطة أخرى. بعبارة أخرى، يجب أن يكون هناك M>0 بحيث:
∑|α|<kfα(x)α!(y–x)α–∑|α|<kfα(y)α!(x–y)α≤M|x–y|k
حيث α هو دليل متعدد، α! هو مضروب الدليل المتعدد، و |α| هو طول الدليل المتعدد.
يشير هذا الشرط إلى أن سلوك الدوال ومشتقاتها يجب أن يكون متوافقًا مع بعضها البعض على طول المجموعة E. إذا تحققت هذه الشروط، يمكن بناء دالة قابلة للاشتقاق F تمتد fα.
بناء التمديد
بمجرد تحديد أن الدوال fα تحقق شروط التوافق، يمكننا المضي قدمًا لبناء الدالة الممتدة F. يعتمد بناء F عادةً على الخطوات التالية:
- تقسيم الوحدة: بناء تقسيم للوحدة مرتبط بـ E. يقسم هذا التقسيم الفضاء إلى مناطق أصغر، مما يسمح لنا بالتعامل مع الدالة الممتدة محليًا.
- التقدير المحلي: في كل منطقة، يتم بناء تقدير للدالة F باستخدام قيم الدوال fα ومشتقاتها.
- الجمع: يتم دمج هذه التقديرات المحلية معًا باستخدام تقسيم الوحدة لإنشاء دالة F قابلة للاشتقاق على كامل الفضاء.
يعتبر هذا البناء معقدًا بعض الشيء، ولكنه يضمن أن الدالة الممتدة F لها الخصائص المطلوبة، بما في ذلك قابلية الاشتقاق وسلوك المشتقات المتسق مع الدوال الأصلية fα.
أهمية المبرهنة وتطبيقاتها
تعتبر مبرهنة Whitney أداة أساسية في التحليل الرياضي والعديد من فروعه. أهميتها تنبع من قدرتها على بناء دوال قابلة للاشتقاق من معلومات محلية. إليك بعض التطبيقات الرئيسية:
- هندسة التفاضل: تستخدم المبرهنة في دراسة التشعبات، حيث يمكن استخدامها لتمديد الدوال المعرفة على التشعبات الجزئية.
- نظرية التقريب: تساعد في بناء تقريبات سلسة لدوال معقدة.
- معالجة الصور ورؤية الحاسوب: تُستخدم في مهام مثل استعادة الصور وتنعيمها.
- فيزياء رياضية: تظهر في دراسة المجالات الكمومية ونظريات المجال.
- دراسة المجموعات الفرعية: تعتبر أداة قوية في دراسة سلوك الدوال على المجموعات الفرعية من الفضاء الإقليدي.
باختصار، توفر مبرهنة Whitney إطار عمل قويًا لبناء الدوال القابلة للاشتقاق على نطاقات أوسع، مما يتيح تحليلًا أعمق للظواهر الرياضية والتطبيقية.
العلاقة بنظرية تايلور
كما ذكرنا، مبرهنة Whitney هي بمثابة معكوس جزئي لنظرية تايلور. في نظرية تايلور، إذا كانت لدينا دالة F قابلة للاشتقاق، فيمكننا تمثيلها باستخدام متسلسلة تايلور، والتي تعتمد على قيم ومشتقات الدالة في نقطة معينة. ومع ذلك، قد لا تكون متسلسلة تايلور متقاربة دائمًا، أو قد لا تمثل الدالة بشكل صحيح.
مبرهنة Whitney تأخذ هذا المفهوم في الاتجاه المعاكس. بدلاً من البدء بدالة قابلة للاشتقاق والبحث عن متسلسلة تايلور، فإنها تبدأ بقيم ومشتقات محددة على مجموعة جزئية وتوفر شروطًا على هذه القيم لضمان وجود دالة قابلة للاشتقاق يمكن أن تمدها. هذا يجعل المبرهنة أداة مفيدة في الحالات التي تكون فيها قيم ومشتقات الدالة معروفة على مجموعة جزئية، ولكن ليست معرفة على الفضاء بأكمله.
قيود المبرهنة
على الرغم من أهمية المبرهنة وتطبيقاتها، إلا أنها ليست خالية من القيود:
- التعقيد: بناء الدالة الممتدة باستخدام مبرهنة Whitney يمكن أن يكون معقدًا من الناحية العملية، خاصة في الأبعاد العالية.
- الحسابية: قد يكون تحديد ما إذا كانت الدوال fα تحقق شروط التوافق أمرًا صعبًا حسابيًا.
- القيود على المجموعة الجزئية: تفترض المبرهنة أن المجموعة الجزئية E مغلقة. قد تحتاج إلى تعديل المبرهنة أو استخدام تقنيات أخرى إذا لم يكن E مغلقًا.
تطبيقات إضافية
بالإضافة إلى التطبيقات المذكورة سابقًا، هناك استخدامات أخرى لمبرهنة Whitney:
- نظرية القياس: تستخدم في بناء القياسات على مجموعات غير منتظمة.
- نظرية الإدراج: تستخدم في إثبات نظريات الإدراج الخاصة بدوال Sobolev.
- التحليل الدالي: تستخدم في دراسة الفضاءات الدالية.
بشكل عام، تظل مبرهنة Whitney أداة أساسية للتحليل الرياضي، مما يوفر وسيلة قوية لتمديد الدوال مع الحفاظ على خصائص معينة.
خاتمة
تقدم مبرهنة التمديد لـ Whitney أداة قوية في التحليل الرياضي لتمديد الدوال المعرفة على مجموعات جزئية إلى دوال قابلة للاشتقاق على الفضاء بأكمله. تتطلب المبرهنة شروط توافق معينة على قيم ومشتقات الدوال على المجموعة الجزئية، وتضمن أن الدالة الممتدة تحافظ على هذه الخصائص. للمبرهنة تطبيقات واسعة في مجالات مختلفة مثل هندسة التفاضل، ونظرية التقريب، ومعالجة الصور، والفيزياء الرياضية. على الرغم من تعقيدها بعض الشيء، إلا أن قدرة المبرهنة على التعامل مع المعلومات المحلية وبناء دوال سلسة تجعلها أداة لا غنى عنها للعلماء والمهندسين والرياضيين.