التعريف الأساسي
جبر ليبنتز (أو جبر ليمنز الأيمن) على حقل ما، وليكن F، هو فضاء متجهي G مجهز بعملية ثنائية [ , ] : G × G → G، والتي تسمى قوس ليبنتز، بحيث تحقق المتطابقة الذاتية التالية، والمعروفة أيضًا باسم متطابقة ليبنتز:
[x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]]
لكل x, y, z ∈ G. تُعرف جبر لي بأنه جبر ليبنتز متماثل، أي حيث [x, x] = 0 لكل x ∈ G. بشكل عام، لا يُشترط أن يكون [x, x] = 0 في جبر ليبنتز.
العلاقة بجبر لي
تعتبر جبر لي حالة خاصة من جبر ليبنتز. في جبر لي، يتم تعريف قوس لي (عادة ما يُشار إليه بـ [ , ]) ليكون مضادًا للتبديل، أي [x, y] = -[y, x]. بالإضافة إلى ذلك، يحقق جبر لي متطابقة يعقوبي:
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0
تُشتق متطابقة يعقوبي من متطابقة ليبنتز عندما يكون القوس مضادًا للتبديل. بمعنى آخر، إذا كان لدينا جبر ليبنتز يحقق [x, y] = -[y, x] لكل x, y، فإنه يجب أن يحقق متطابقة يعقوبي. وعلى العكس، إذا كان لدينا جبر لي (الذي يفي بمتطابقة يعقوبي ومتضاد التبديل)، فإنه يكون أيضًا جبر ليبنتز.
أمثلة على جبر ليبنتز
- جبر لي: كما ذكرنا، كل جبر لي هو جبر ليبنتز.
- الجبر الترابطي: يمكن إنشاء جبر ليبنتز من أي جبر ترابطي A باستخدام القوس [x, y] = xy – yx.
- جبر ليبنتز الحر: بالنسبة لأي فضاء متجهي V، يمكن بناء جبر ليبنتز حر عليه.
- جبر المشتقات: إذا كان لدينا جبر A وجبر مشتقات D، فيمكن تعريف [x, y] = D(x)y – yD(x).
بناء جبر ليبنتز من جبر لي
أحد الطرق المهمة لبناء جبر ليبنتز هو من جبر لي. لنفترض أن g هو جبر لي. يمكننا بناء جبر ليبنتز G على g عن طريق اختيار مساحة فرعية H من g. ثم، نعرّف القوس [x, y] في G على النحو التالي: إذا كان x, y ∈ g، ثم [x, y] = [x, y] في g. إذا كان x ∈ g و y ∈ H، ثم [x, y] = 0. إذا كان x ∈ H و y ∈ g، ثم [x, y] = 0. إذا كان x, y ∈ H، ثم [x, y] = 0.
بهذه الطريقة، G هو جبر ليبنتز، ويمكن اعتباره توسيعًا لجبر لي g.
تمثيل جبر ليبنتز
يمثل تمثيل جبر ليبنتز G فضاء متجهي V وخرائط خطية ρ: G → End(V) بحيث:
ρ([x, y])v = ρ(x)ρ(y)v – ρ(y)ρ(x)v
لكل x, y ∈ G و v ∈ V. هذا يعني أن ρ([x, y]) هو الفرق بين ρ(x) و ρ(y) في V. تمثيلات جبر ليبنتز ضرورية في دراسة الهياكل الجبرية ووظائفها.
جبر ليبنتز المقسم
جبر ليبنتز المقسم هو جبر ليبنتز G مزود بتصنيف للدرجات، G = ⊕ Gα، حيث α ينتمي إلى مجموعة ما من الفهرسة، مثل مجموعة الأعداد الصحيحة. يجب أن يحقق هذا التصنيف شرط التوافق مع القوس: إذا كان x ∈ Gα و y ∈ Gβ، ثم [x, y] ∈ Gα+β. جبر ليبنتز المقسم مهم في الفيزياء النظرية و نظرية الأوتار.
الاستخدامات والتطبيقات
تظهر جبر ليبنتز في مجالات مختلفة من الرياضيات والفيزياء، وتشمل:
- طوبولوجيا الجبرية: حيث تظهر في دراسة العمليات الهوموتوبية.
- نظرية الحقل الكمي: ترتبط بهياكل الجبر في بعض النماذج.
- الفيزياء الرياضية: في دراسة التناظرات والتشوهات.
- نظرية الأعداد: في بعض السياقات المرتبطة بجبر لي.
تعتبر دراسة جبر ليبنتز مهمة لفهم البنى الجبرية المعقدة وخصائصها.
الخصائص الهامة
تشمل الخصائص الهامة لجبر ليبنتز:
- المضاعفات: يمكن تعريف الضرب القياسي لجبر ليبنتز، حيث α[x, y] = [αx, y] = [x, αy] لكل α في الحقل و x, y في الجبر.
- المثاليات: يمكن تعريف المثالية في جبر ليبنتز، والتي هي فضاء فرعي مغلق تحت قوس ليبنتز.
- التمثيل: كما ذكرنا، يمكن تمثيل جبر ليبنتز في فضاء متجهي من خلال خرائط خطية.
- الفئات: يمكن تشكيل فئة لجبر ليبنتز، مع العمليات بين الجبريات.
الاختلافات بين جبر لي وجبر ليبنتز
على الرغم من التشابه في البناء، هناك اختلافات جوهرية بين جبر لي وجبر ليبنتز:
- التبادلية: جبر لي مضاد للتبديل ( [x, y] = -[y, x] )، بينما جبر ليبنتز ليس بالضرورة.
- متطابقة يعقوبي: يجب أن يحقق جبر لي متطابقة يعقوبي. جبر ليبنتز يحقق متطابقة ليبنتز، وهي أقل تقييدًا.
- التعميم: جبر ليبنتز يعمم مفهوم جبر لي، مما يسمح بتنوع أكبر في البنى الجبرية.
التطورات الحديثة
لا تزال أبحاث جبر ليبنتز مستمرة، مع التركيز على:
- التصنيف: محاولة تصنيف جبر ليبنتز ذات أبعاد معينة.
- التمثيلات: دراسة تمثيلات جبر ليبنتز وخصائصها.
- التطبيقات: استكشاف تطبيقات جديدة في مجالات مثل الفيزياء الرياضية.
خاتمة
جبر ليبنتز هو تعميم مهم لجبر لي يوفر إطارًا أكثر مرونة لدراسة الهياكل الجبرية. يمثل مفهومًا أساسيًا في الرياضيات، وله تطبيقات في مجالات متنوعة. من خلال فهم تعريفاته وخصائصه وعلاقته بجبر لي، يمكن للباحثين والطلاب اكتساب رؤى أعمق في البنى الجبرية المعقدة. تواصل دراسة جبر ليبنتز التطور، مما يفتح آفاقًا جديدة في مختلف المجالات العلمية.