مقدمة
في الرياضيات، تُعد مبرهنة فيرما، المعروفة أيضًا باسم مبرهنة النهاية القصوى الداخلية، أداة أساسية لإيجاد القيم القصوى المحلية (العظمى والصغرى) للدوال القابلة للاشتقاق. تنص هذه المبرهنة على أنه إذا كانت دالة قابلة للاشتقاق عند نقطة داخلية في مجالها، وكانت هذه النقطة تمثل قيمة قصوى محلية للدالة، فإن مشتقة الدالة عند هذه النقطة يجب أن تساوي صفرًا. بمعنى آخر، إذا كانت f(x) دالة قابلة للاشتقاق، و c نقطة داخلية في مجالها، و f(c) قيمة قصوى محلية، فإن f'(c) = 0.
شرح المبرهنة
لفهم مبرهنة فيرما بشكل أفضل، من الضروري استيعاب بعض المفاهيم الأساسية:
- الدالة القابلة للاشتقاق: هي الدالة التي يمكن حساب مشتقتها عند كل نقطة في مجالها. المشتقة تمثل معدل تغير الدالة عند نقطة معينة.
- النقطة الداخلية: هي النقطة التي تقع داخل مجال الدالة، وليست على حافته.
- القيمة القصوى المحلية: هي القيمة التي تكون أكبر أو أصغر من جميع القيم الأخرى للدالة في جوار صغير حول تلك النقطة. يمكن أن تكون القيمة القصوى المحلية إما قيمة عظمى محلية (أكبر من القيم المجاورة) أو قيمة صغرى محلية (أصغر من القيم المجاورة).
تنص مبرهنة فيرما على أنه إذا كانت الدالة f(x) قابلة للاشتقاق عند نقطة داخلية c، وكانت f(c) قيمة قصوى محلية، فإن ميل المماس للمنحنى عند النقطة (c, f(c)) يجب أن يكون صفرًا. وهذا يعني أن خط المماس أفقي عند هذه النقطة.
مثال توضيحي: تخيل أن لديك دالة تمثل ارتفاع تلة. إذا وصلت إلى قمة التلة (قيمة عظمى محلية)، فإن الأرض ستكون مستوية تمامًا عند تلك النقطة، وبالتالي فإن ميل المماس سيكون صفرًا.
صياغة رياضية للمبرهنة
بصورة رياضية، يمكن التعبير عن مبرهنة فيرما كما يلي:
إذا كانت:
- f(x) دالة قابلة للاشتقاق.
- c نقطة داخلية في مجال الدالة f.
- f(c) قيمة قصوى محلية (عظمى أو صغرى).
إذن:
f'(c) = 0
إثبات المبرهنة
يمكن إثبات مبرهنة فيرما باستخدام تعريف المشتقة والنهايات. لنفترض أن f(c) قيمة عظمى محلية. هذا يعني أنه يوجد فاصل مفتوح (a, b) يحتوي على c بحيث أن f(c) ≥ f(x) لجميع x في (a, b).
الآن، دعونا ننظر إلى تعريف المشتقة من اليمين واليسار:
- المشتقة من اليمين: f'(c+) = lim (h→0+) [f(c + h) – f(c)] / h
- المشتقة من اليسار: f'(c-) = lim (h→0-) [f(c + h) – f(c)] / h
بما أن f(c) قيمة عظمى محلية، فإن f(c + h) – f(c) ≤ 0 لجميع قيم h الصغيرة بما فيه الكفاية.
- عندما h > 0 (الاقتراب من اليمين)، فإن [f(c + h) – f(c)] / h ≤ 0، وبالتالي f'(c+) ≤ 0.
- عندما h < 0 (الاقتراب من اليسار)، فإن [f(c + h) – f(c)] / h ≥ 0، وبالتالي f'(c-) ≥ 0.
بما أن الدالة قابلة للاشتقاق عند c، فإن المشتقة من اليمين تساوي المشتقة من اليسار: f'(c+) = f'(c-) = f'(c).
إذن، لدينا f'(c) ≤ 0 و f'(c) ≥ 0. القيمة الوحيدة التي تحقق هذين الشرطين هي f'(c) = 0.
يمكن إجراء إثبات مماثل إذا كانت f(c) قيمة صغرى محلية.
أهمية المبرهنة
تكمن أهمية مبرهنة فيرما في أنها توفر طريقة لتحديد النقاط التي يمكن أن تحدث عندها القيم القصوى المحلية للدالة. من خلال إيجاد النقاط التي تكون عندها المشتقة تساوي صفرًا (تسمى النقاط الحرجة)، يمكننا تضييق نطاق البحث عن القيم القصوى المحلية. ومع ذلك، من المهم ملاحظة أن مبرهنة فيرما لا تضمن أن كل نقطة حرجة هي بالضرورة قيمة قصوى محلية. قد تكون النقطة الحرجة أيضًا نقطة انعطاف.
استخدامات المبرهنة
تستخدم مبرهنة فيرما على نطاق واسع في مختلف مجالات الرياضيات والعلوم والهندسة، بما في ذلك:
- حساب التفاضل والتكامل: لإيجاد القيم القصوى للدوال وتحسين العمليات.
- الاقتصاد: لتحقيق أقصى قدر من الأرباح وتقليل التكاليف.
- الفيزياء: لإيجاد حالات التوازن وتقليل الطاقة.
- الهندسة: لتصميم هياكل قوية وفعالة.
أمثلة توضيحية
مثال 1: أوجد القيم القصوى المحلية للدالة f(x) = x3 – 3x.
- أوجد المشتقة: f'(x) = 3x2 – 3.
- أوجد النقاط الحرجة: حل المعادلة f'(x) = 0، أي 3x2 – 3 = 0. هذا يعطينا x = 1 و x = -1.
- حدد ما إذا كانت النقاط الحرجة تمثل قيمًا قصوى محلية: يمكننا استخدام اختبار المشتقة الثانية. f”(x) = 6x.
- عند x = 1، f”(1) = 6 > 0، إذن x = 1 هي نقطة صغرى محلية.
- عند x = -1، f”(-1) = -6 < 0، إذن x = -1 هي نقطة عظمى محلية.
مثال 2: أوجد أبعاد مستطيل ذي محيط 20 سم بحيث تكون مساحته أكبر ما يمكن.
- لنفترض أن طول المستطيل هو l وعرضه هو w. المحيط هو 2l + 2w = 20، إذن l + w = 10.
- المساحة هي A = l * w. نعبر عن المساحة بدلالة متغير واحد: A = l * (10 – l) = 10l – l2.
- أوجد المشتقة: A'(l) = 10 – 2l.
- أوجد النقطة الحرجة: حل المعادلة A'(l) = 0، أي 10 – 2l = 0. هذا يعطينا l = 5.
- بما أن w = 10 – l، فإن w = 5.
إذن، المستطيل ذو أكبر مساحة هو مربع طول ضلعه 5 سم.
القيود والملاحظات الهامة
من المهم أن نضع في اعتبارنا بعض القيود والملاحظات الهامة المتعلقة بمبرهنة فيرما:
- ليست شرطًا كافيًا: مبرهنة فيرما تعطي شرطًا ضروريًا ولكنه ليس كافيًا لوجود قيمة قصوى محلية. بمعنى آخر، إذا كانت f'(c) = 0، فهذا لا يعني بالضرورة أن f(c) هي قيمة قصوى محلية. قد تكون نقطة انعطاف.
- النقاط الحدية: تنطبق مبرهنة فيرما فقط على النقاط الداخلية في مجال الدالة. لا يمكن استخدامها لإيجاد القيم القصوى التي تحدث عند حدود المجال.
- الدوال غير القابلة للاشتقاق: لا يمكن تطبيق مبرهنة فيرما على الدوال غير القابلة للاشتقاق عند نقطة معينة.
خاتمة
تعتبر مبرهنة فيرما أداة قوية في حساب التفاضل والتكامل لإيجاد القيم القصوى المحلية للدوال القابلة للاشتقاق. تنص المبرهنة على أن المشتقة عند النقطة التي تحدث عندها القيمة القصوى المحلية تساوي صفرًا. على الرغم من أنها ليست شرطًا كافيًا، إلا أنها توفر نقطة انطلاق مهمة في عملية إيجاد القيم القصوى وتحسين العمليات في مختلف المجالات.