تعريف رياضي
رياضيًا، يمكن تعريف الأعداد المتحابة على النحو التالي:
ليكن σ(n) دالة مجموع القواسم، التي تمثل مجموع جميع قواسم العدد n (بما في ذلك n نفسه). إذا كان لدينا عددان a و b، وكان:
- σ(a) – a = b
- σ(b) – b = a
فإن العددين a و b يسميان عددين متحَابَّيْن.
وبصورة مكافئة، يمكن القول أن:
- σ(a) = a + b
- σ(b) = a + b
أمثلة على الأعداد المتحابة
أشهر مثال على الأعداد المتحابة هو الزوج (220، 284). دعونا نتحقق من ذلك:
قواسم العدد 220 هي: 1، 2، 4، 5، 10، 11، 20، 22، 44، 55، 110. مجموع هذه القواسم (باستثناء 220) هو:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
قواسم العدد 284 هي: 1، 2، 4، 71، 142. مجموع هذه القواسم (باستثناء 284) هو:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
إذًا، الزوج (220، 284) هو بالفعل زوج من الأعداد المتحابة.
أمثلة أخرى:
- (17296, 18416)
- (9363584, 9437056)
تاريخ الأعداد المتحابة
يعود الاهتمام بالأعداد المتحابة إلى العصور القديمة. فقد عرفها الإغريق القدماء، وكانوا يعتقدون أن لها خصائص سحرية وروحانية. ذكر فيثاغورس العددين 220 و 284 واعتبرهما رمزا للصداقة الحقيقية. وقد استمر الاهتمام بها عبر العصور، حيث درسها علماء الرياضيات العرب في العصور الوسطى، مثل ثابت بن قرة وابن خلدون. وفي العصر الحديث، استمر البحث عن الأعداد المتحابة، وتم اكتشاف العديد من الأزواج الجديدة باستخدام الحاسوب.
اكتشاف الأعداد المتحابة
تم اكتشاف الزوج (220، 284) منذ القدم، ولكن اكتشاف أزواج أخرى من الأعداد المتحابة كان يمثل تحديًا كبيرًا. في العصور الوسطى، قدم ثابت بن قرة قاعدة عامة لتوليد الأعداد المتحابة. ومع ذلك، لم تكن هذه القاعدة تنتج سوى عدد قليل من الأزواج.
في القرن السابع عشر، اكتشف عالم الرياضيات الفرنسي بيير دي فيرما الزوج (17296، 18416). وبعد ذلك بوقت قصير، اكتشف رينيه ديكارت الزوج (9363584، 9437056). في عام 1750، اكتشف ليونهارد أويلر 59 زوجًا جديدًا من الأعداد المتحابة. وبحلول نهاية القرن العشرين، تم اكتشاف آلاف الأزواج من الأعداد المتحابة باستخدام الحاسوب.
صيغة ثابت بن قرة
قدم العالم المسلم ثابت بن قرة صيغة رياضية لإيجاد الأعداد المتحابة، وتعتبر من أهم الإسهامات في هذا المجال. تنص هذه الصيغة على أنه إذا كان:
- p = 3 × 2n-1 – 1
- q = 3 × 2n – 1
- r = 9 × 22n-1 – 1
أعداد أولية، فإن العددين a = 2npq و b = 2nr هما عددان متحابان.
على سبيل المثال، إذا كان n = 2، فإن:
- p = 3 × 21 – 1 = 5 (عدد أولي)
- q = 3 × 22 – 1 = 11 (عدد أولي)
- r = 9 × 23 – 1 = 71 (عدد أولي)
وبالتالي، فإن العددين:
- a = 22 × 5 × 11 = 220
- b = 22 × 71 = 284
هما عددان متحابان، كما ذكرنا سابقًا.
البحث عن الأعداد المتحابة
لا يزال البحث عن الأعداد المتحابة مستمرًا حتى اليوم، ويعتبر تحديًا مثيرًا لعلماء الرياضيات. لا توجد طريقة معروفة لتحديد جميع الأعداد المتحابة، ولا توجد قاعدة عامة تضمن إيجادها. ومع ذلك، يتم استخدام الحاسوب لإجراء عمليات بحث واسعة النطاق عن هذه الأعداد.
من الجدير بالذكر أن الأعداد المتحابة نادرة نسبيًا. فبالرغم من أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الطبيعية، إلا أن عدد الأزواج المتحابة المعروفة محدود.
الأعداد الاجتماعية
بالإضافة إلى الأعداد المتحابة، يوجد مفهوم أعم يسمى “الأعداد الاجتماعية”. الأعداد الاجتماعية هي مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة المختلفة حيث يكون مجموع القواسم الصحيحة لكل عدد هو العدد التالي في السلسلة (بما في ذلك العدد الأول). الأعداد المتحابة هي حالة خاصة من الأعداد الاجتماعية حيث تتكون السلسلة من عددين فقط.
على سبيل المثال، المجموعة {12496، 14288، 15472، 14536، 14264} هي مجموعة من الأعداد الاجتماعية.
تطبيقات الأعداد المتحابة
على الرغم من أن الأعداد المتحابة تعتبر في الأساس موضوعًا نظريًا في الرياضيات، إلا أنها قد تكون لها بعض التطبيقات في مجالات أخرى، مثل علم التشفير. يمكن استخدام خصائص الأعداد المتحابة لإنشاء خوارزميات تشفير معينة. ومع ذلك، فإن هذه التطبيقات لا تزال محدودة.
أهمية الأعداد المتحابة
تكمن أهمية الأعداد المتحابة في كونها تمثل مثالًا مثيرًا للاهتمام على العلاقات الرياضية المعقدة بين الأعداد. كما أنها تساهم في تطوير فهمنا لنظرية الأعداد، وهي أحد أهم فروع الرياضيات. بالإضافة إلى ذلك، فإن البحث عن الأعداد المتحابة يشجع على استخدام الحاسوب وتطوير الخوارزميات الفعالة.
أسئلة شائعة
س: ما هي الأعداد المتحابة؟
ج: الأعداد المتحابة هي زوج من الأعداد الطبيعية المختلفة، حيث يكون مجموع قواسم كل عدد (باستثناء العدد نفسه) مساويًا للعدد الآخر.
س: ما هو أشهر مثال على الأعداد المتحابة؟
ج: أشهر مثال هو الزوج (220، 284).
س: من هو ثابت بن قرة؟
ج: ثابت بن قرة هو عالم رياضيات مسلم قدم صيغة لإيجاد الأعداد المتحابة.
س: هل توجد طريقة معروفة لتحديد جميع الأعداد المتحابة؟
ج: لا، لا توجد طريقة معروفة لتحديد جميع الأعداد المتحابة.
خاتمة
الأعداد المتحابة هي مفهوم رياضي قديم ومثير للاهتمام، يعود إلى العصور الإغريقية. على الرغم من بساطة تعريفها، إلا أن البحث عنها يمثل تحديًا كبيرًا، وقد ساهم في تطوير نظرية الأعداد واستخدام الحاسوب في الرياضيات. إن فهم الأعداد المتحابة يساهم في تقدير جمال الرياضيات وعمق العلاقات بين الأعداد.