الأعداد الأوليرية (Eulerian Numbers)

تاريخ الأعداد الأوليرية

سُميت الأعداد الأوليرية على اسم عالم الرياضيات السويسري ليونهارد أويلر (Leonhard Euler)، على الرغم من أنه لم يدرسها بشكل مباشر. أول من قام بدراسة هذه الأعداد بشكل منهجي هو عالم الرياضيات النمساوي يوهان أندرياس سيجنر (Johann Andreas Segner) في منتصف القرن الثامن عشر. ومع ذلك، لم يتم التعرف على الأهمية الكاملة للأعداد الأوليرية وتطبيقاتها إلا في وقت لاحق، عندما قام علماء الرياضيات بتطوير نظريات أكثر تعقيدًا في مجال التوافقية.

التعريف الرياضي

يُرمز إلى العدد الأوليري بـ A(n, m) أو ، حيث يمثل n حجم التباديل و m عدد التصاعدات. يعرف العدد الأوليري A(n, m) بأنه عدد التباديل σ للأعداد من 1 إلى n بحيث يكون هناك بالضبط m عدد من i بحيث σ(i) < σ(i+1).

بمعنى آخر، إذا كانت لدينا تبديلة من الأعداد من 1 إلى n، فإننا نبحث عن عدد المرات التي يكون فيها رقم ما أصغر من الرقم الذي يليه مباشرة. على سبيل المثال، في التبديلة (3, 1, 4, 2)، هناك تصاعدان: 1 < 4 و 2 < 3. وبالتالي، فإن العدد الأوليري A(4, 2) يمثل عدد التباديل من حجم 4 التي تحتوي على تصاعدين.

حساب الأعداد الأوليرية

هناك عدة طرق لحساب الأعداد الأوليرية. يمكن حسابها باستخدام الصيغ الصريحة، أو عن طريق علاقات التكرار، أو باستخدام الدوال المولدة.

الصيغ الصريحة

هناك صيغ صريحة لحساب الأعداد الأوليرية، ولكنها غالبًا ما تكون معقدة. إحدى الصيغ الشائعة هي:

A(n, m) = ∑_k=0^m (-1)^k * (n+1) * (m-k)ⁿ / (k! * (m-k+1)!)

حيث تشير ∑ إلى مجموع، و k! تمثل مضروب k.

علاقات التكرار

تعتبر علاقات التكرار طريقة فعالة لحساب الأعداد الأوليرية، حيث تربط قيمة عدد أوليري بقيم أخرى أصغر. العلاقة الأكثر استخدامًا هي:

A(n, m) = (m+1) * A(n-1, m) + (n-m) * A(n-1, m-1)

مع الشروط الحدودية:

A(n, 0) = 1
A(n, n-1) = 1
A(n, m) = 0 إذا كان m < 0 أو m >= n

الدوال المولدة

تعتبر الدوال المولدة أداة قوية في علم التوافقية. بالنسبة للأعداد الأوليرية، الدالة المولدة هي دالة تولد سلسلة من الأعداد الأوليرية. الدالة المولدة الخاصة بالأعداد الأوليرية هي:

∑_m=0^n-1 A(n, m) * x^m = (1 – x)ⁿ⁺¹ * ∑_k=0^∞ (k+1)ⁿ * x^k

أمثلة على الأعداد الأوليرية

لتوضيح كيفية حساب الأعداد الأوليرية، دعنا ننظر إلى بعض الأمثلة:

A(3, 1):

لدينا n=3، و m=1. هذا يعني أننا نبحث عن التباديل من الأعداد (1, 2, 3) التي تحتوي على تصاعد واحد. التباديل الممكنة هي:

(1, 3, 2) – تصاعد واحد (1<3)
(2, 1, 3) – تصاعد واحد (1<3)

لذلك، A(3, 1) = 2.

A(4, 2):

لدينا n=4، و m=2. نبحث عن التباديل من الأعداد (1, 2, 3, 4) التي تحتوي على تصاعدين. التباديل الممكنة هي:

(1, 3, 2, 4) – تصاعدان (1<3, 2<4)
(1, 4, 2, 3) – تصاعدان (1<4, 2<3)
(2, 1, 4, 3) – تصاعدان (1<4, 3<4)
(2, 3, 1, 4) – تصاعدان (2<3, 1<4)
(2, 4, 1, 3) – تصاعدان (2<4, 1<3)
(3, 1, 4, 2) – تصاعدان (1<4, 2<3)
(3, 2, 4, 1) – تصاعدان (2<4, 1<4)

لذلك، A(4, 2) = 6.

خصائص الأعداد الأوليرية

تتميز الأعداد الأوليرية بعدد من الخصائص الهامة:

التماثل: A(n, m) = A(n, n-1-m).
المجموع: مجموع الأعداد الأوليرية لـ n ثابت هو n! (مضروب n): ∑_m=0^n-1 A(n, m) = n!.
التقعر: بالنسبة لـ n ثابت، تزداد قيم A(n, m) ثم تنقص، مما يشكل منحنى متماثل.

العلاقة مع مثلثات أويلر

يمكن تنظيم الأعداد الأوليرية في ما يسمى بمثلث أويلر، وهو مشابه لمثلث باسكال. الصفوف تمثل قيم n، والأعمدة تمثل قيم m. يوضح هذا المثلث العلاقة بين الأعداد الأوليرية المختلفة. نظرًا لخاصية التماثل، يكون المثلث متماثلًا حول العمود الأوسط.

تطبيقات الأعداد الأوليرية

تجد الأعداد الأوليرية تطبيقات في العديد من المجالات، بما في ذلك:

نظرية الاحتمالات والإحصاء: في تحليل التوزيعات الاحتمالية وفي حساب العزوم.
علوم الحاسوب: في تحليل الخوارزميات وفي تصميم هياكل البيانات.
التوافقية: في دراسة التباديل والتركيبات.
الفيزياء: في بعض النماذج الفيزيائية المتعلقة بنظام الجسيمات.

تستخدم أيضًا في حساب عدد التباديل التي لها عدد معين من القمم والقيعان، وهي مفيدة في تحليل سلوك البيانات.

الأعداد الأوليرية من النوع الثاني

بالإضافة إلى الأعداد الأوليرية الأساسية، هناك أيضًا الأعداد الأوليرية من النوع الثاني، والتي تُرمز إليها بـ A(n, m) وتختلف في تعريفها. تمثل الأعداد الأوليرية من النوع الثاني عدد التباديل من الأعداد من 1 إلى n والتي تحتوي على m “تباديل” (cycles). على سبيل المثال، التبديلة (1 3)(2) تحتوي على دورتين، الدورة (1 3) والدورة (2). الأعداد الأوليرية من النوع الثاني لها أيضًا تطبيقات مهمة في علم التوافقية.

تُستخدم الأعداد الأوليرية من النوع الثاني في حساب توزيعات الترتيب المختلفة، وهي ذات صلة بمشاكل الترتيب والفرز في علوم الحاسوب.

أهمية الأعداد الأوليرية في الرياضيات الحديثة

لا تزال الأعداد الأوليرية موضوعًا للبحث النشط في الرياضيات الحديثة. يواصل الباحثون استكشاف خصائصها وعلاقاتها بمفاهيم أخرى في علم التوافقية، بالإضافة إلى إيجاد تطبيقات جديدة لها في مختلف المجالات.

البرامج والأدوات المستخدمة لحساب الأعداد الأوليرية

نظرًا لتعقيد بعض الصيغ، غالبًا ما تُستخدم البرامج والأدوات لحساب الأعداد الأوليرية، خاصة لقيم n و m الكبيرة. تشمل هذه الأدوات:

برامج الرياضيات الرمزية: مثل Mathematica و Maple، والتي تحتوي على وظائف مدمجة لحساب الأعداد الأوليرية.
لغات البرمجة: مثل Python و MATLAB، والتي يمكن استخدامها لكتابة البرامج لحساب الأعداد الأوليرية باستخدام علاقات التكرار أو الصيغ الصريحة.

تساعد هذه الأدوات على دراسة الأعداد الأوليرية بشكل فعال.

خاتمة

الأعداد الأوليرية هي مفاهيم أساسية في علم التوافقية، تمثل عدد التباديل التي تحتوي على عدد معين من التصاعدات. لديها تاريخ طويل وأهمية كبيرة في مجالات متعددة. يمكن حساب الأعداد الأوليرية باستخدام صيغ صريحة، وعلاقات تكرار، ودوال مولدة. تتميز بخصائص مهمة مثل التماثل والمجموع. تجد تطبيقات في نظرية الاحتمالات وعلوم الحاسوب والتوافقية. بالإضافة إلى ذلك، هناك أيضًا الأعداد الأوليرية من النوع الثاني. لا تزال الأعداد الأوليرية موضوعًا للبحث النشط في الرياضيات الحديثة.