تعريف متنوعة برايم
لتكن C منحنى جبري أملس وإسقاطي على حقل k، وليكن π: C’ → C غطاءً إيتاليًا مزدوجًا، أي غطاءً مورفيميًا نهائيًا من الدرجة 2 حيث تكون الخريطة π غير متفرعة. لتكن J و J’ زمرتا جاكوبي للمنحنيين C و C’ على التوالي. يعرف التطبيق π*: J → J’ بأنه سحب للخلف (pullback) للديفيزرات. يوجد تطبيق آخر π*: J’ → J يعرف بأنه أثر (trace) للديفيزرات.
متنوعة برايم P للغطاء π: C’ → C تعرف على أنها النواة المتصلة للتطبيق:
π*: J’ → J.
بعبارة أخرى، متنوعة برايم هي المكون المتصل للهوية في المجموعة الفرعية من J’ التي تتلاشى عند تطبيق π* عليها.
يمكن أيضًا تعريف متنوعة برايم على أنها صورة التطبيق (Id – σ)*، حيث σ هو التطبيق الالتفافي (involution) للغطاء C’ → C، و Id هو التطبيق المطابق على J’. هذا التعريف بديل ولكنه مكافئ للتعريف الأول.
خصائص متنوعة برايم
تتمتع متنوعة برايم بالعديد من الخصائص الهامة، بما في ذلك:
- الأبعاد: إذا كان g هو جنس المنحنى C، فإن جنس المنحنى C’ هو 2g – 1، وبالتالي فإن بعد متنوعة برايم P هو g – 1.
- القطبية: متنوعة برايم هي مجموعة أبيليانية مستقطبة. هذا يعني أن لديها ديفيزرًا أمبليًا (ample divisor) معرفًا بشكل جيد.
- التشاكل الذاتي: يوجد تشاكل ذاتي (isogeny) من J × P إلى J’. هذا يربط زمر جاكوبي للمنحنيين الأصلي والمغطى بمتنوعة برايم.
أمثلة
المثال 1: إذا كان C منحنى قطع ناقص (elliptic curve) و C’ هو غطاء إيتالي مزدوج لـ C، فإن متنوعة برايم P هي أيضًا منحنى قطع ناقص. في هذه الحالة، تكون P متشاكلة ذاتيًا مع C.
المثال 2: إذا كان C منحنى فوق قطعي (hyperelliptic curve) من الجنس g، و C’ هو الغطاء المرتبط بالالتفاف الزوجي فوق القطعي، فإن متنوعة برايم P هي متنوعة بريول (Prym-Tyurin variety). هذه المتنوعات هي تعميم لمتنوعات برايم الكلاسيكية وتظهر في سياقات مختلفة في الهندسة الجبرية.
أهمية متنوعة برايم
تعتبر متنوعة برايم أداة قوية في الهندسة الجبرية ولها العديد من التطبيقات، بما في ذلك:
- دراسة منحنيات ريمان: تُستخدم متنوعة برايم لدراسة هندسة منحنيات ريمان وزمر جاكوبي الخاصة بها. على وجه الخصوص، يمكن استخدامها لحساب فضاء معامل (moduli space) لمنحنيات ريمان.
- نظرية الأعداد: تلعب متنوعة برايم دورًا في نظرية الأعداد، وتحديدًا في دراسة الدوال اللامية (L-functions) والتمثيلات الجالوية (Galois representations).
- الهندسة الحسابية: تستخدم متنوعة برايم في الهندسة الحسابية لدراسة الحلول العقلانية للمعادلات الديوفانتية (Diophantine equations).
- نظرية التمثيل: تظهر متنوعة برايم في نظرية التمثيل، خاصة في سياق تمثيلات زمر واييل (Weyl groups) وزمر الكذب (Lie groups).
متنوعات بريول-تيورين (Prym-Tyurin varieties)
تعتبر متنوعات بريول-تيورين تعميمًا لمتنوعات برايم. لتكن X مجموعة أبيليانية، و لتكن G زمرة منتهية تعمل على X. نفترض أن هناك مقذوفًا (projector) π في الحلقة الجبرية (endomorphism ring) لـ X، بحيث يكون π عبارة عن حاصل ضرب إسقاطات أبلية (abelian subvarieties) لـ X. إذا كانت X هي زمرة جاكوبي لمنحنى، وكانت G هي زمرة الالتواء (torsion group) لـ X، فإن الصورة π(X) تسمى متنوعة بريول-تيورين.
تظهر متنوعات بريول-تيورين في دراسة المجموعات الأبيليانية ذات التشاكلات الذاتية الغنية، وتحديدًا في سياق المسائل المتعلقة بتفكيك زمر جاكوبي للمنحنيات الجبرية.
بناء متنوعة برايم
يتضمن بناء متنوعة برايم بشكل عام الخطوات التالية:
- إيجاد غطاء إيتالي مزدوج: ابدأ بمنحنى جبري C وابحث عن غطاء إيتالي مزدوج π: C’ → C. قد يتطلب ذلك استخدام أدوات من نظرية التغطية ونظرية جالوا.
- حساب زمر جاكوبي: احسب زمر جاكوبي J و J’ للمنحنيين C و C’ على التوالي. غالبًا ما يتضمن ذلك إيجاد أساس للديفيزرات على المنحنيين.
- تحديد التطبيقات π* و π*: حدد التطبيقات π*: J → J’ و π*: J’ → J.
- إيجاد النواة: أوجد النواة المتصلة للتطبيق π*: J’ → J. هذه النواة هي متنوعة برايم P.
- تحديد القطبية: حدد القطبية على متنوعة برايم P.
يمكن أن يكون بناء متنوعة برايم عملية معقدة، خاصة بالنسبة للمنحنيات ذات الجنس العالي. ومع ذلك، هناك العديد من التقنيات والأدوات المتاحة للمساعدة في هذه العملية، بما في ذلك برامج الكمبيوتر الجبرية وأنظمة الجبر الحاسوبية.
تطبيقات متقدمة
في سياقات أكثر تقدمًا، ترتبط متنوعات برايم بنظرية هودج (Hodge theory) وهندسة الفضاءات التصنيفية (moduli spaces). على سبيل المثال، تظهر متنوعات برايم في دراسة الدورة الهودجية (Hodge cycles) على المجموعات الأبيليانية. كما أنها تلعب دورًا في فهم هيكل الفضاء التصنيفي للمنحنيات الجبرية واستقرار المجموعات المتجهة عليها.
بالإضافة إلى ذلك، توجد ارتباطات مع نظرية الأوتار (string theory) وفيزياء المرآة (mirror symmetry)، حيث تظهر متنوعات برايم كجزء من التعبيرات الرياضية التي تصف ثنائيات معينة. هذه التطبيقات تربط الهندسة الجبرية بمجالات أخرى في الرياضيات والفيزياء النظرية.
خاتمة
متنوعة برايم هي أداة قوية في الهندسة الجبرية، وتوفر وسيلة لدراسة منحنيات ريمان وزمر جاكوبي الخاصة بها. لها تطبيقات عديدة في نظرية الأعداد والهندسة الحسابية ونظرية التمثيل. إن فهم متنوعة برايم أمر ضروري للباحثين في الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد، وتظل مجالًا نشطًا للبحث.