مقدمة
تُعد دالة ويغنر للتوزيع (Wigner Distribution Function – WDF) أداة قوية في مجال معالجة الإشارات، وتحديدًا في تحليل التردد الزمني. تُستخدم هذه الدالة لتحليل الإشارات غير المستقرة، أي الإشارات التي تتغير خصائصها الترددية مع مرور الوقت. تم تطوير دالة ويغنر للتوزيع في الأصل في سياق ميكانيكا الكم بواسطة يوجين ويغنر في عام 1932، ولكنها وجدت تطبيقات واسعة النطاق في مجالات أخرى مثل معالجة الإشارات، والصوتيات، والرادار، والزلزالية.
تعريف دالة ويغنر للتوزيع
تعرّف دالة ويغنر للتوزيع لإشارة زمنية (x(t على النحو التالي:
W(t, f) = ∫ x(t + τ/2) * x*(t – τ/2) * e^(-j2πfτ) dτ
حيث:
- t: الزمن
- f: التردد
- τ: متغير التكامل
- x*(t): المرافق المركب للإشارة x(t)
- ∫: التكامل على كامل نطاق المتغير τ
تعبّر دالة ويغنر للتوزيع عن توزيع الطاقة للإشارة في المجال الزمني-الترددي. بعبارة أخرى، فهي توضح كيف تتوزع الطاقة للإشارة على مختلف الترددات عند لحظات زمنية مختلفة.
خصائص دالة ويغنر للتوزيع
تتميز دالة ويغنر للتوزيع بعدة خصائص مهمة تجعلها أداة مفيدة لتحليل الإشارات:
- الواقعية: دالة ويغنر للتوزيع هي دالة حقيقية، حتى لو كانت الإشارة الأصلية معقدة.
- الحفاظ على الطاقة: التكامل الكلي لدالة ويغنر للتوزيع على كامل المجال الزمني-الترددي يساوي الطاقة الكلية للإشارة.
- الترجمة الزمنية والترددية: إذا تم ترجمة الإشارة الأصلية في الزمن أو التردد، فإن دالة ويغنر للتوزيع الخاصة بها ستترجم بنفس المقدار في الزمن أو التردد، على التوالي.
- الوقت الحدي والتردد الحدي: يمكن الحصول على الوقت الحدي والتردد الحدي للإشارة عن طريق حساب اللحظات الأولى لدالة ويغنر للتوزيع في الزمن والتردد، على التوالي.
تطبيقات دالة ويغنر للتوزيع
تُستخدم دالة ويغنر للتوزيع في مجموعة واسعة من التطبيقات، بما في ذلك:
- تحليل الإشارات غير المستقرة: تُستخدم دالة ويغنر للتوزيع لتحليل الإشارات التي تتغير خصائصها الترددية مع مرور الوقت، مثل إشارات الكلام، والإشارات الموسيقية، وإشارات الرادار.
- تصميم المرشحات: تُستخدم دالة ويغنر للتوزيع لتصميم المرشحات التي تتغير خصائصها الترددية مع مرور الوقت.
- كشف الإشارات: تُستخدم دالة ويغنر للتوزيع لكشف الإشارات الضعيفة في الضوضاء.
- التعرف على الأنماط: تُستخدم دالة ويغنر للتوزيع للتعرف على الأنماط في الإشارات.
- معالجة الصور: يمكن تطبيق مفاهيم دالة ويغنر للتوزيع على معالجة الصور لتحليل الخصائص المكانية والترددية للصورة.
- تحليل الاهتزازات: تستخدم في تحليل اهتزازات الآلات والمعدات لتحديد الأعطال ومراقبة حالتها.
مثال على استخدام دالة ويغنر للتوزيع
لنفترض أن لدينا إشارة جيبية بتردد يتغير خطيًا مع مرور الوقت، أي أن التردد يزداد تدريجيًا. باستخدام دالة ويغنر للتوزيع، يمكننا تمثيل هذه الإشارة في المجال الزمني-الترددي كخط مستقيم مائل، حيث يمثل ميل الخط معدل تغير التردد مع مرور الوقت. هذه التمثيلية توفر رؤية واضحة لكيفية تغير التردد مع مرور الوقت، وهو أمر صعب الحصول عليه باستخدام طرق التحليل التقليدية مثل تحويل فورييه.
التحديات والقيود
على الرغم من أن دالة ويغنر للتوزيع أداة قوية، إلا أنها تعاني من بعض المشاكل:
- مصطلح التداخل: دالة ويغنر للتوزيع غير خطية، مما يعني أنها قد تنتج مصطلحات تداخل بين مكونات الإشارة المختلفة. يمكن أن تجعل هذه المصطلحات من الصعب تفسير دالة ويغنر للتوزيع. هذه المشكلة خاصة عند التعامل مع إشارات تحتوي على عدة مكونات ترددية.
- الحساسية للضوضاء: دالة ويغنر للتوزيع حساسة للضوضاء، مما يعني أن الضوضاء في الإشارة يمكن أن تؤدي إلى ظهور تشوهات في دالة ويغنر للتوزيع.
- الحسابية: حساب دالة ويغنر للتوزيع يمكن أن يكون مكلفًا من الناحية الحسابية، خاصة بالنسبة للإشارات الطويلة.
للتغلب على هذه المشاكل، تم تطوير العديد من التعديلات على دالة ويغنر للتوزيع، مثل توزيعات ويل-ويل (Choi-Williams distribution) وتوزيعات كوهين (Cohen’s class distributions). هذه التوزيعات تحاول تقليل مصطلحات التداخل وتحسين مقاومة الضوضاء، ولكنها غالبًا ما تأتي بتكلفة حسابية أعلى.
دالة ويغنر للتوزيع مقابل تحويل فورييه القصير المدى (STFT)
غالبًا ما تتم مقارنة دالة ويغنر للتوزيع بتحويل فورييه القصير المدى (Short-Time Fourier Transform – STFT)، وهي طريقة أخرى شائعة لتحليل التردد الزمني. بينما يوفر STFT تمثيلاً للتردد الزمني بناءً على نافذة زمنية ثابتة، فإن دالة ويغنر للتوزيع تحاول تقديم تمثيل أكثر دقة. ومع ذلك، فإن STFT لا يعاني من مشكلة مصطلحات التداخل التي تواجهها دالة ويغنر للتوزيع. بشكل عام، يعتمد اختيار الطريقة الأنسب على طبيعة الإشارة والتطبيق المحدد.
التحسينات والتعديلات على دالة ويغنر للتوزيع
نظرًا للتحديات المذكورة سابقًا، تم تطوير العديد من التحسينات والتعديلات على دالة ويغنر للتوزيع. تتضمن بعض هذه التعديلات:
- توزيع ويل-ويل (Choi-Williams Distribution): يهدف هذا التوزيع إلى تقليل مصطلحات التداخل عن طريق تطبيق دالة ترشيح على دالة ويغنر للتوزيع.
- توزيع كوهين (Cohen’s Class Distribution): يمثل فئة عامة من التوزيعات التي تشمل دالة ويغنر للتوزيع وتوزيع ويل-ويل كحالات خاصة. يمكن اختيار دالة الترشيح في توزيع كوهين لتلبية متطلبات محددة للتطبيق.
- التوزيع п-ويغنر (Affine Wigner Distribution): يهدف إلى تحليل الإشارات ذات الخصائص المتغيرة المقياس (scale-varying signals).
استخدام دالة ويغنر للتوزيع في البحوث الحديثة
تستمر دالة ويغنر للتوزيع في لعب دور هام في البحوث الحديثة في معالجة الإشارات. على سبيل المثال، يتم استخدامها في:
- تحليل إشارات الدماغ: لتحليل النشاط الكهربائي للدماغ (EEG) وتحديد الأنماط المرتبطة بالأمراض العصبية.
- تحليل الإشارات الصوتية: لتحسين جودة الصوت وتقليل الضوضاء في تطبيقات مثل التعرف على الكلام.
- المراقبة الصحية: لتحليل الإشارات الحيوية مثل تخطيط القلب (ECG) وكشف التشوهات الصحية.
خاتمة
تُعد دالة ويغنر للتوزيع أداة قوية لتحليل الإشارات في المجال الزمني-الترددي، وتوفر رؤية مفصلة لتوزيع الطاقة للإشارة على مختلف الترددات عند لحظات زمنية مختلفة. على الرغم من وجود بعض التحديات، مثل مصطلحات التداخل والحساسية للضوضاء، إلا أن دالة ويغنر للتوزيع لا تزال تستخدم على نطاق واسع في مجموعة متنوعة من التطبيقات، ويستمر تطوير تعديلات عليها لتحسين أدائها.