إحصائية دوربين-واتسون (Durbin–Watson statistic)

مقدمة عن الارتباط الذاتي

الارتباط الذاتي، أو الارتباط التسلسلي، يشير إلى وجود علاقة بين قيم متغير معين في فترات زمنية مختلفة أو عبر وحدات مكانية مختلفة. في سياق تحليل الانحدار، يعني الارتباط الذاتي أن الأخطاء أو البقايا في نموذج الانحدار ليست مستقلة عن بعضها البعض. بعبارة أخرى، إذا كانت البقايا في فترة زمنية معينة عالية، فمن المحتمل أن تكون البقايا في الفترة الزمنية التالية عالية أيضًا، والعكس صحيح. يعتبر هذا انتهاكًا للافتراضات الأساسية لتحليل الانحدار الخطي، والذي يفترض أن الأخطاء مستقلة عشوائيًا.

يمكن أن ينشأ الارتباط الذاتي لعدة أسباب، بما في ذلك:

البيانات الزمنية: في البيانات الزمنية، قد تتأثر القيم الحالية للظاهرة بقيمها السابقة. على سبيل المثال، قد يتأثر سعر السهم اليوم بسعر السهم بالأمس.
البيانات المكانية: في البيانات المكانية، قد تتأثر القيم في منطقة معينة بالقيم في المناطق المجاورة. على سبيل المثال، قد تتأثر معدلات الجريمة في حي معين بمعدلات الجريمة في الأحياء المجاورة.
الخطأ في تحديد النموذج: إذا لم يتم تحديد النموذج بشكل صحيح، فقد يتسبب ذلك في ظهور الارتباط الذاتي. على سبيل المثال، إذا كان النموذج يغفل عن متغير مهم يؤثر على المتغير التابع، فقد تظهر بقايا مرتبطة ذاتيًا.

أهمية اختبار دوربين-واتسون

يُعد اختبار دوربين-واتسون أداة مهمة في تحليل الانحدار لعدة أسباب:

الكشف عن انتهاكات الافتراضات: يساعد الاختبار في تحديد ما إذا كان افتراض الاستقلالية في البقايا قد تم انتهاكه. إذا كان هناك ارتباط ذاتي، فإن تقديرات المعلمات في نموذج الانحدار قد تكون غير فعالة، وقد تكون قيم p-value غير دقيقة.
تقييم جودة النموذج: يمكن أن يشير الارتباط الذاتي إلى أن النموذج المحدد ليس مناسبًا للبيانات. على سبيل المثال، قد يشير إلى أن هناك متغيرات مهمة لم يتم تضمينها في النموذج أو أن شكل العلاقة بين المتغيرات غير صحيح.
توجيه العلاج: إذا تم اكتشاف الارتباط الذاتي، يمكن استخدام الاختبار لتوجيه الإجراءات التصحيحية. قد تتضمن هذه الإجراءات تعديل النموذج، أو استخدام أساليب تقدير بديلة تأخذ في الاعتبار الارتباط الذاتي، أو تجميع البيانات.

حساب إحصائية دوربين-واتسون

تحسب إحصائية دوربين-واتسون باستخدام الصيغة التالية:

D = Σ(e_t – e_t-1)² / Σe_t²

حيث:

D هي إحصائية دوربين-واتسون.
e_t هي الباقي في الفترة الزمنية t.
e_t-1 هي الباقي في الفترة الزمنية t-1.
Σ تعني “مجموع”.

بشكل عام، تتراوح قيمة D بين 0 و 4. القيم القريبة من 2 تشير إلى عدم وجود ارتباط ذاتي، بينما تشير القيم القريبة من 0 إلى وجود ارتباط ذاتي موجب (بقايا متسلسلة في نفس الاتجاه)، وتشير القيم القريبة من 4 إلى وجود ارتباط ذاتي سالب (بقايا متسلسلة في اتجاهات معاكسة).

تفسير نتائج اختبار دوربين-واتسون

لتفسير نتائج اختبار دوربين-واتسون، يتم مقارنة قيمة D المحسوبة بقيم حرجة. يتم تحديد هذه القيم الحرجة بناءً على مستوى الأهمية وحجم العينة وعدد المتغيرات المستقلة في النموذج. عادة ما يتم استخدام جداول القيم الحرجة أو البرامج الإحصائية لتحديد ما إذا كانت قيمة D ضمن نطاق مقبول أو ما إذا كانت تشير إلى وجود ارتباط ذاتي.

فيما يلي معايير عامة لتفسير نتائج الاختبار:

إذا كانت D قريبة من 2: لا يوجد دليل على وجود ارتباط ذاتي.
إذا كانت D أقل من القيمة الحرجة السفلية (dL): هناك دليل قوي على وجود ارتباط ذاتي موجب.
إذا كانت D بين dL و dU (القيمة الحرجة العلوية): المنطقة غير حاسمة.
إذا كانت D أكبر من 4 – dL: هناك دليل قوي على وجود ارتباط ذاتي سالب.
إذا كانت D بين 4 – dU و 4 – dL: المنطقة غير حاسمة.

من المهم ملاحظة أن اختبار دوربين-واتسون حساس للقيود التالية:

افتراض النموذج: الاختبار مصمم لنماذج الانحدار الخطي.
الارتباط الذاتي من الدرجة الأولى: يكتشف الاختبار بشكل أساسي الارتباط الذاتي عند التخلف الزمني رقم 1.
البيانات: يجب أن تكون البيانات مرتبة زمنيًا.

قيود اختبار دوربين-واتسون

على الرغم من فائدته، فإن اختبار دوربين-واتسون له بعض القيود:

التركيز على الارتباط الذاتي من الدرجة الأولى: الاختبار مصمم للكشف عن الارتباط الذاتي عند التخلف الزمني رقم 1 (lag 1). قد لا يكون فعالاً في اكتشاف الارتباط الذاتي في التخلفات الزمنية الأخرى.
حساسية للنماذج المعقدة: قد لا يعمل الاختبار بشكل جيد في النماذج التي تحتوي على متغيرات تابعة متأخرة أو التي تحتوي على متغيرات مستقلة متعددة معقدة.
عدم قدرته على تحديد سبب الارتباط الذاتي: يحدد الاختبار وجود الارتباط الذاتي ولكنه لا يخبرنا بسبب وجوده. يجب على الباحث استخدام أساليب أخرى لتحديد أسباب الارتباط الذاتي، مثل تحليل الرسوم البيانية للبقايا أو فحص طبيعة البيانات.
المنطقة غير الحاسمة: في بعض الحالات، قد تقع قيمة D في المنطقة غير الحاسمة، مما يجعل من الصعب تحديد ما إذا كان هناك ارتباط ذاتي أم لا.

بدائل لاختبار دوربين-واتسون

هناك العديد من الاختبارات والأساليب الأخرى للكشف عن الارتباط الذاتي في نماذج الانحدار. وتشمل هذه:

اختبار بروش-غودفري (Breusch-Godfrey test): اختبار أكثر عمومية يمكنه اكتشاف الارتباط الذاتي من أي درجة.
اختبار لجيان (Ljung-Box test): يستخدم هذا الاختبار على نطاق واسع في تحليل السلاسل الزمنية وهو فعال في الكشف عن الارتباط الذاتي في التخلفات الزمنية المختلفة.
الرسوم البيانية: يمكن أن تساعد الرسوم البيانية للبقايا، مثل الرسم البياني الذاتي (autocorrelation plot) والرسم البياني الجزئي الذاتي (partial autocorrelation plot)، في تحديد نمط الارتباط الذاتي.
الأساليب القائمة على Bayesian: يمكن استخدام أساليب Bayesian لتقدير نماذج الانحدار التي تأخذ في الاعتبار الارتباط الذاتي.

تطبيقات اختبار دوربين-واتسون

يستخدم اختبار دوربين-واتسون على نطاق واسع في مجموعة متنوعة من المجالات، بما في ذلك:

الاقتصاد: تحليل السلاسل الزمنية الاقتصادية، مثل الناتج المحلي الإجمالي، ومعدلات التضخم، وأسعار الفائدة.
المالية: تحليل أسعار الأسهم، وأسعار الفائدة، وأسعار الصرف.
العلوم الاجتماعية: تحليل البيانات في علم الاجتماع، وعلم النفس، والعلوم السياسية، حيث قد تكون هناك علاقات زمنية أو مكانية بين المتغيرات.
العلوم البيئية: تحليل البيانات المتعلقة بجودة الهواء، وتغير المناخ، واستخدام الأراضي.

في كل هذه المجالات، يساعد اختبار دوربين-واتسون في التأكد من صحة افتراضات الانحدار الخطي وتوفير تقديرات دقيقة للمعلمات.

نصائح عملية لاستخدام اختبار دوربين-واتسون

عند استخدام اختبار دوربين-واتسون، ضع في اعتبارك النصائح العملية التالية:

التحقق من الافتراضات: قبل إجراء اختبار دوربين-واتسون، تأكد من أن نموذج الانحدار يلبي الافتراضات الأساسية، مثل الخطية، واستقلالية الأخطاء (على الرغم من أن الاختبار يختبر هذا الافتراض)، وتجانس التباين.
تحديد مستوى الأهمية: اختر مستوى الأهمية المناسب (عادة ما يكون 0.05 أو 0.01) بناءً على طبيعة الدراسة والنتائج المتوقعة.
استخدام البرامج الإحصائية: تسهل البرامج الإحصائية، مثل SPSS، وR، وStata، إجراء اختبار دوربين-واتسون وتفسير النتائج. توفر هذه البرامج تلقائيًا قيمة D وقيمًا حرجة أو قيم p-value.
فحص البقايا: بالإضافة إلى اختبار دوربين-واتسون، قم بفحص الرسوم البيانية للبقايا (مثل الرسوم البيانية المبعثرة للبقايا مقابل القيم المتوقعة أو المتغيرات المستقلة) للتحقق من وجود أي أنماط أو اتجاهات في الأخطاء.
التعامل مع الارتباط الذاتي: إذا اكتشف اختبار دوربين-واتسون وجود ارتباط ذاتي، ففكر في استخدام تقنيات تصحيحية، مثل تقدير الأخطاء القياسية المقاومة للارتباط الذاتي (مثل تصحيحات هتش-وايت) أو تعديل النموذج (مثل إضافة متغيرات متأخرة أو استخدام نموذج أولي متغير (ARIMA)).

خاتمة

إحصائية دوربين-واتسون هي أداة قيمة للكشف عن الارتباط الذاتي في نماذج الانحدار الخطي، وتُستخدم على نطاق واسع في مختلف المجالات. يساعد الاختبار في تحديد ما إذا كان افتراض الاستقلالية في البقايا قد تم انتهاكه، مما يؤثر على دقة تقديرات المعلمات وصلاحية الاختبارات الإحصائية. على الرغم من وجود قيود، مثل التركيز على الارتباط الذاتي من الدرجة الأولى والحساسية للنماذج المعقدة، فإن اختبار دوربين-واتسون يظل أداة أساسية في تحليل الانحدار. يجب على الباحثين استخدامه جنبًا إلى جنب مع الأساليب الأخرى لتحديد وجود الارتباط الذاتي، وتقييم جودة النموذج، وتوجيه الإجراءات التصحيحية عند الضرورة. من خلال فهم كيفية حساب وتفسير اختبار دوربين-واتسون، يمكن للباحثين اتخاذ قرارات مستنيرة بشأن جودة نماذجهم الإحصائية.