حساب المثلثات الزائدية (Hyperbolic Trigonometry)

<![CDATA[

الهندسة الزائدية وحساب المثلثات الزائدية

تعتبر الهندسة الزائدية نموذجًا بديلًا للهندسة الإقليدية، حيث يكون مسلم التوازي لإقليدس غير صالح. بدلاً من ذلك، من خلال أي نقطة خارج خط معين، يوجد عدد لا نهائي من الخطوط التي توازي الخط المعطى. أحد النماذج الشائعة للهندسة الزائدية هو نموذج قرص بوانكاريه، حيث يتم تمثيل الخطوط المستقيمة بـ “أقواس دائرية متعامدة” مع حدود القرص.

في الهندسة الزائدية، تختلف العلاقات بين الزوايا والأضلاع في المثلثات بشكل كبير عن الهندسة الإقليدية. على سبيل المثال، مجموع زوايا المثلث الزائدي دائمًا أقل من 180 درجة. الفرق بين 180 درجة ومجموع الزوايا يسمى “العجز الزاوي”، وهو يتناسب مع مساحة المثلث. هذه الخصائص تتطلب دوال مثلثية زائدية لوصفها.

الدوال الزائدية

تعرف الدوال الزائدية بدلالة الدوال الأسية:

الجيب الزائدي (sinh x): يُعرف بأنه (e^x – e^-x) / 2
جيب التمام الزائدي (cosh x): يُعرف بأنه (e^x + e^-x) / 2
الظل الزائدي (tanh x): يُعرف بأنه sinh x / cosh x = (e^x – e^-x) / (e^x + e^-x)
ظل التمام الزائدي (coth x): يُعرف بأنه cosh x / sinh x = (e^x + e^-x) / (e^x – e^-x)، حيث x ≠ 0
القاطع الزائدي (sech x): يُعرف بأنه 1 / cosh x = 2 / (e^x + e^-x)
قاطع التمام الزائدي (csch x): يُعرف بأنه 1 / sinh x = 2 / (e^x – e^-x)، حيث x ≠ 0

خصائص الدوال الزائدية:

cosh² x – sinh² x = 1 (هذه الخاصية مماثلة للمتطابقة المثلثية cos² x + sin² x = 1، ولكن مع علامة طرح)
sinh(-x) = -sinh x (دالة فردية)
cosh(-x) = cosh x (دالة زوجية)
tanh(-x) = -tanh x (دالة فردية)
مشتقة sinh x هي cosh x
مشتقة cosh x هي sinh x
مشتقة tanh x هي sech² x

العلاقة بين الدوال المثلثية والدوال الزائدية

هناك علاقة وثيقة بين الدوال المثلثية والدوال الزائدية، والتي يمكن فهمها من خلال الأعداد المركبة. باستخدام صيغة أويلر (e^ix = cos x + i sin x)، يمكننا التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة الدوال الأسية ذات الأسس التخيلية، والعكس صحيح. هذه العلاقة تسمح بتعميم العديد من المتطابقات المثلثية لتشمل الدوال الزائدية.

أمثلة على العلاقات:

cos (ix) = cosh x
sin (ix) = i sinh x
tan (ix) = i tanh x

تطبيقات الدوال الزائدية

تجد الدوال الزائدية تطبيقات في مجموعة متنوعة من المجالات:

الفيزياء: تظهر في حل المعادلات التفاضلية التي تصف الظواهر الفيزيائية مثل حركة السلاسل المعلقة (السلسلة المعلقة تأخذ شكل دالة جيب التمام الزائدية) وتوزيع درجة الحرارة في قضيب.
الهندسة: تستخدم في تصميم الأقواس القطعية (التي توفر قوة وثباتًا هيكليًا عاليين) وفي حسابات المسافات والزوايا في الهندسة الزائدية.
التحليل العقدي: تلعب دورًا مهمًا في دراسة الدوال العقدية وتحويلاتها.
شبكات الأعصاب الاصطناعية: دالة الظل الزائدي (tanh) تستخدم كدالة تنشيط في بعض أنواع الشبكات العصبية.
نظرية النسبية: تظهر في وصف التحويلات لورنتز، التي تربط بين الإطارات المرجعية المختلفة في الفضاء الزمكاني.

أمثلة حسابية

مثال 1: حساب قيمة sinh(2)

sinh(2) = (e² – e^-2) / 2 ≈ (7.389 – 0.135) / 2 ≈ 3.627

مثال 2: حل المعادلة cosh(x) = 5

cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2 = 5

e^x + e^-x = 10

بضرب الطرفين في e^x:

e^2x + 1 = 10e^x

e^2x – 10e^x + 1 = 0

باعتبار y = e^x:

y² – 10y + 1 = 0

باستخدام القانون العام لحل المعادلات التربيعية:

y = (10 ± √(100 – 4)) / 2 = (10 ± √96) / 2 = 5 ± √24

إذن، e^x = 5 ± √24

x = ln(5 ± √24)

x ≈ ±2.292

تطبيقات متقدمة

في سياق الهندسة الزائدية، تلعب الدوال الزائدية دورًا حاسمًا في تحديد العلاقات بين أضلاع وزوايا المثلثات الزائدية. على سبيل المثال، قانون الجيب الزائدي وقانون جيب التمام الزائدي هما نظيران لقانون الجيب وقانون جيب التمام في الهندسة الإقليدية، ولكنهما يأخذان في الاعتبار الانحناء السالب للفضاء الزائدي.

قانون الجيب الزائدي:

sin(A) / sinh(a) = sin(B) / sinh(b) = sin(C) / sinh(c)

حيث A و B و C هي زوايا المثلث، و a و b و c هي الأضلاع المقابلة.

قانون جيب التمام الزائدي:

cosh(c) = cosh(a)cosh(b) – sinh(a)sinh(b)cos(C)

تستخدم هذه القوانين في حل المثلثات الزائدية وتحديد خصائصها الهندسية.

خاتمة

حساب المثلثات الزائدية هو فرع مهم من الرياضيات، يجمع بين الهندسة الزائدية والدوال الزائدية. يجد تطبيقات واسعة في الفيزياء والهندسة والتحليل العقدي وغيرها من المجالات. فهم الدوال الزائدية وخصائصها ضروري لحل المشكلات المتعلقة بالهندسة الزائدية ووصف الظواهر الفيزيائية التي تظهر فيها هذه الدوال.

المراجع

]]>