<![CDATA[
تعريف رياضي دقيق
ليكن *F* حقلاً و *K* امتدادًا حقليًا لـ *F*. نقول أن *K* هو امتداد بسيط لـ *F* إذا كان هناك عنصر *α* في *K* بحيث أن *K = F(α)*. يُسمى العنصر *α* عنصرًا أوليًا للامتداد *K/F*.
هنا، *F(α)* يعني أصغر حقل فرعي من *K* يحتوي على *F* و *α*. وهو يتكون من جميع العناصر التي يمكن الحصول عليها من عناصر *F* و *α* باستخدام العمليات الحسابية (الجمع والطرح والضرب والقسمة).
أمثلة على الامتدادات البسيطة
- الأعداد المركبة كامتداد بسيط للأعداد الحقيقية: الحقل *C* للأعداد المركبة هو امتداد بسيط للحقل *R* للأعداد الحقيقية، حيث *C = R(i)*، و *i* هو الوحدة التخيلية (أي جذر -1).
- امتداد بسيط باستخدام جذر تربيعي: ليكن *F = Q* (حقل الأعداد النسبية). إذا أضفنا الجذر التربيعي لـ 2، أي *√2*، نحصل على امتداد بسيط *Q(√2)*. هذا الحقل يتكون من جميع الأعداد على الصورة *a + b√2*، حيث *a* و *b* أعداد نسبية.
- امتداد بسيط باستخدام جذر تكعيبي: ليكن *F = Q*. إذا أضفنا الجذر التكعيبي لـ 2، نحصل على امتداد بسيط *Q(∛2)*.
العناصر الجبرية والعناصر المتسامية
عند دراسة الامتدادات البسيطة، من المهم التمييز بين نوعين من العناصر الأولية:
- العناصر الجبرية: العنصر *α* هو عنصر جبري على *F* إذا كان هو جذر لكثير حدود غير صفري بمعاملات في *F*. بمعنى آخر، يوجد كثير حدود *p(x)* في *F[x]* (حلقة كثيرات الحدود بمعاملات في *F*) بحيث *p(α) = 0*.
- العناصر المتسامية: العنصر *α* هو عنصر متسامي على *F* إذا لم يكن جبريًا على *F*. بمعنى آخر، لا يوجد كثير حدود غير صفري بمعاملات في *F* يجعل *α* جذرًا له.
أمثلة:
- *√2* هو عنصر جبري على *Q* لأنه جذر لكثير الحدود *x² – 2 = 0*.
- *i* هو عنصر جبري على *R* لأنه جذر لكثير الحدود *x² + 1 = 0*.
- *π* (باي) و *e* (الأساس الطبيعي للوغاريتم) هما عنصران متساميان على *Q*.
كثير الحدود الأصغري
إذا كان *α* عنصرًا جبريًا على *F*، فإن كثير الحدود الأصغري لـ *α* على *F* هو كثير الحدود الأوحادي (معامل الحد الرئيسي يساوي 1) ذو الدرجة الأصغر في *F[x]* الذي يجعل *α* جذرًا له. كثير الحدود الأصغري فريد وغير قابل للاختزال (أي لا يمكن كتابته كحاصل ضرب لكثيري حدود غير ثابتين في *F[x]*).
خصائص كثير الحدود الأصغري:
- إذا كان *p(x)* هو كثير الحدود الأصغري لـ *α* على *F*، فإن أي كثير حدود *q(x)* في *F[x]* يجعل *α* جذرًا له يجب أن يكون قابلاً للقسمة على *p(x)*.
- إذا كان *α* عنصرًا جبريًا على *F*، فإن درجة الامتداد *[F(α):F]* تساوي درجة كثير الحدود الأصغري لـ *α* على *F*.
درجة الامتداد البسيط
درجة الامتداد *[K:F]* هي بُعد *K* كفضاء متجهي على *F*. بالنسبة للامتداد البسيط *F(α)*، هناك حالتان:
- إذا كان *α* جبريًا على *F*: فإن درجة الامتداد *[F(α):F]* تساوي درجة كثير الحدود الأصغري لـ *α* على *F*.
- إذا كان *α* متساميًا على *F*: فإن درجة الامتداد *[F(α):F]* لا نهائية. في هذه الحالة، *F(α)* متماثل مع حقل الدوال الكسرية *F(x)*.
مثال:
- إذا كان *F = Q* و *α = √2*، فإن كثير الحدود الأصغري لـ *√2* على *Q* هو *x² – 2*. وبالتالي، *[Q(√2):Q] = 2*. هذا يعني أن *Q(√2)* كفضاء متجهي على *Q* له بعد 2، ويمكن تمثيله بـ {1, √2}.
- إذا كان *F = Q* و *α = π*، فإن *π* متسامي على *Q*. وبالتالي، *[Q(π):Q]* لا نهائية.
أهمية الامتدادات البسيطة
تلعب الامتدادات البسيطة دورًا مهمًا في نظرية الحقول بسبب عدة أسباب:
- بناء الامتدادات: يمكن استخدام الامتدادات البسيطة لبناء امتدادات حقلية أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، يمكن بناء امتداد عن طريق إضافة عناصر متعددة واحدًا تلو الآخر، مما يؤدي إلى سلسلة من الامتدادات البسيطة.
- نظرية غالوا: تعتبر الامتدادات البسيطة ضرورية في نظرية غالوا، التي تربط بين نظرية الحقول ونظرية الزمر. تساعد في فهم قابلية حل المعادلات متعددة الحدود بالجذور.
- تطبيقات في التشفير: تستخدم نظرية الحقول، بما في ذلك مفهوم الامتدادات البسيطة، في تصميم أنظمة التشفير الحديثة.
- دراسة الجذور: تساعد في فهم خصائص جذور كثيرات الحدود، خاصة في سياق الحقول المحدودة والحقول الجبرية المغلقة.
مثال تفصيلي: بناء الحقل *Q(√2, √3)*
لنفترض أننا نريد بناء الحقل *Q(√2, √3)*. يمكننا القيام بذلك على خطوتين:
- الخطوة الأولى: نضيف *√2* إلى *Q* للحصول على *Q(√2)*. كما رأينا سابقًا، *[Q(√2):Q] = 2*.
- الخطوة الثانية: نضيف *√3* إلى *Q(√2)* للحصول على *Q(√2)(√3) = Q(√2, √3)*. السؤال الآن هو: ما هي درجة الامتداد *[Q(√2, √3):Q(√2)]*؟
لتحديد درجة الامتداد *[Q(√2, √3):Q(√2)]*، نحتاج إلى تحديد ما إذا كان *√3* جبريًا على *Q(√2)* أم لا. إذا كان *√3* جبريًا، فإن كثير الحدود الأصغري له على *Q(√2)* سيحدد درجة الامتداد. وإلا، سيكون الامتداد لا نهائيًا.
*√3* هو جذر لكثير الحدود *x² – 3 = 0*. الآن، هل هذا كثير الحدود غير قابل للاختزال على *Q(√2)*؟ إذا كان قابلاً للاختزال، فهذا يعني أنه يمكن كتابته كحاصل ضرب لكثيري حدود من الدرجة الأولى بمعاملات في *Q(√2)*. هذا يعني أن *√3* يجب أن يكون موجودًا بالفعل في *Q(√2)*، أي أنه يجب أن يكون على الصورة *a + b√2*، حيث *a* و *b* أعداد نسبية.
إذا كان *√3 = a + b√2*، فإن تربيع الطرفين يعطينا:
*3 = a² + 2ab√2 + 2b²*
وهذا يعني:
*3 – a² – 2b² = 2ab√2*
إذا كان *ab ≠ 0*، فإن هذا يعني أن *√2* هو عدد نسبي، وهو تناقض. لذلك، يجب أن يكون إما *a = 0* أو *b = 0*. إذا كان *a = 0*، فإن *3 = 2b²*، مما يعني *b = ±√(3/2)*، وهو ليس عددًا نسبيًا. إذا كان *b = 0*، فإن *3 = a²*، مما يعني *a = ±√3*، وهو أيضًا ليس عددًا نسبيًا. لذلك، لا يمكن أن يكون *√3* على الصورة *a + b√2*، وبالتالي فإن *x² – 3* غير قابل للاختزال على *Q(√2)*.
إذن، *[Q(√2, √3):Q(√2)] = 2*. الآن، باستخدام نظرية الدرجات، لدينا:
*[Q(√2, √3):Q] = [Q(√2, √3):Q(√2)] * [Q(√2):Q] = 2 * 2 = 4*
وهذا يعني أن *Q(√2, √3)* كفضاء متجهي على *Q* له بعد 4. أساس لهذا الفضاء المتجهي هو {1, √2, √3, √6}. أي عنصر في *Q(√2, √3)* يمكن كتابته على الصورة *a + b√2 + c√3 + d√6*، حيث *a*، *b*، *c*، و *d* أعداد نسبية.
امتدادات بسيطة منتهية
الامتداد البسيط *F(α)/F* يسمى امتداد بسيط منتهي إذا كانت درجة الامتداد *[F(α):F]* منتهية. هذا يحدث بالضبط عندما يكون *α* عنصرًا جبريًا على *F*. في هذه الحالة، يكون *F(α)* متماثلًا مع *F[x]/(p(x))*، حيث *p(x)* هو كثير الحدود الأصغري لـ *α* على *F* و *(p(x))* هو المثال المثالي الذي تم إنشاؤه بواسطة *p(x)* في *F[x]*. هذا البناء يوفر طريقة ملموسة لفهم هيكل الامتداد البسيط.
خاتمة
الامتدادات البسيطة هي لبنة أساسية في بناء ودراسة الحقول. فهم طبيعة العناصر الأولية (جبرية أو متسامية) ودرجة الامتداد الناتجة أمر بالغ الأهمية لتحليل هياكل الحقول الأكثر تعقيدًا. من خلال دراسة الامتدادات البسيطة، نكتسب رؤى قيمة حول نظرية غالوا، وقابلية حل المعادلات، وتطبيقات الحقول في مجالات مثل التشفير.