امتداد غير قابل للفصل بشكل بحت (Purely Inseparable Extension)

مقدمة إلى الحقول وخاصيتها

الحقل (Field) هو بنية جبرية تتكون من مجموعة وعمليتي جمع وضرب تحققان شروطًا معينة، مما يسمح بإجراء العمليات الحسابية الأساسية (الجمع والطرح والضرب والقسمة) بشكل مماثل للأعداد الحقيقية أو العقدية. الخاصية (Characteristic) للحقل هي أصغر عدد صحيح موجب ‘p’ بحيث يكون حاصل جمع ‘p’ من الواحدات (1+1+…+1) يساوي صفرًا. إذا لم يكن هناك مثل هذا العدد، نقول أن خاصية الحقل هي صفر. على سبيل المثال، حقل الأعداد النسبية (Q) والأعداد الحقيقية (R) والأعداد العقدية (C) جميعها لها خاصية صفر. بينما الحقول المنتهية (Finite Fields) دائمًا ما تكون لها خاصية أولية (Prime Characteristic).

امتدادات الحقول

امتداد الحقول (Field Extension) هو احتواء حقل صغير ‘k’ داخل حقل أكبر ‘K’. نكتب هذا على شكل k ⊆ K. بمعنى آخر، ‘K’ هو حقل يحتوي على ‘k’ كحقل جزئي. يمكن النظر إلى ‘K’ كفضاء متجهي على ‘k’، وبالتالي يمكن تحديد درجة الامتداد [K:k]، وهي بُعد ‘K’ كفضاء متجهي على ‘k’. إذا كانت الدرجة منتهية، نقول أن الامتداد منتهٍ (Finite Extension)، وإلا فهو غير منتهٍ (Infinite Extension).

الفصل والانفصال (Separability and Inseparability)

يلعب مفهوم الانفصال (Separability) دورًا حاسمًا في نظرية الحقول. عنصر ‘α’ في ‘K’ يقال أنه قابل للفصل (Separable) على ‘k’ إذا كان هو جذر لكثير حدود غير قابل للاختزال (Irreducible Polynomial) له جذور مميزة (Distinct Roots) في الإغلاق الجبري (Algebraic Closure) لـ ‘k’. بمعنى آخر، إذا كان أقل كثير حدود لـ ‘α’ فوق ‘k’ ليس له جذور متكررة. الامتداد K/k يقال أنه قابل للفصل (Separable Extension) إذا كان كل عنصر في ‘K’ قابل للفصل على ‘k’.

في المقابل، إذا كان العنصر ‘α’ ليس قابلاً للفصل، فإنه يسمى غير قابل للفصل (Inseparable). وبالمثل، إذا كان الامتداد K/k ليس قابلاً للفصل، فإنه يسمى غير قابل للفصل (Inseparable Extension).

الامتداد غير القابل للفصل بشكل بحت

الآن، نصل إلى تعريف الامتداد غير القابل للفصل بشكل بحت. ليكن K/k امتدادًا للحقول، حيث خاصية ‘k’ هي ‘p’ (عدد أولي أكبر من 0). نقول أن الامتداد K/k غير قابل للفصل بشكل بحت (Purely Inseparable Extension) إذا تحقق الشرط التالي: كل عنصر α ∈ K يحقق α^pⁿ ∈ k لبعض الأعداد الصحيحة غير السالبة n. بمعنى آخر، لكل عنصر في ‘K’، يوجد قوة لـ ‘p’ بحيث يصبح هذا العنصر مرفوعًا إلى تلك القوة عضوًا في الحقل الأصغر ‘k’.

تعريف بديل: الامتداد K/k يكون غير قابل للفصل بشكل بحت إذا كان كل تجانس (Homomorphism) من ‘K’ إلى الإغلاق الجبري لـ ‘k’ يثبت ‘k’ مطابقًا هو التجانس المطابق (Identity Homomorphism). هذا يعني أنه لا يوجد أي طريقة أخرى لدمج ‘K’ في الإغلاق الجبري لـ ‘k’ باستثناء الطريقة البديهية.

خصائص ونتائج الامتدادات غير القابلة للفصل بشكل بحت

الخاصية الأولية: الامتدادات غير القابلة للفصل بشكل بحت تحدث فقط في الحقول ذات الخاصية الأولية. إذا كان للحقل خاصية صفر، فإن كل امتداد جبري هو امتداد قابل للفصل.
كثير الحدود الأدنى: إذا كان K/k امتدادًا غير قابل للفصل بشكل بحت، فإن كثير الحدود الأدنى (Minimal Polynomial) لأي عنصر α ∈ K يكون له الشكل (x^pⁿ – a) لبعض a ∈ k وبعض الأعداد الصحيحة غير السالبة n.
التركيب: إذا كان L/K و K/k كلاهما امتدادات غير قابلة للفصل بشكل بحت، فإن L/k أيضًا امتداد غير قابل للفصل بشكل بحت. بمعنى آخر، خاصية “غير قابل للفصل بشكل بحت” تنتقل.
الدرجة: إذا كان K/k امتدادًا منتهيًا وغير قابل للفصل بشكل بحت، فإن درجته [K:k] هي قوة للعدد الأولي ‘p’ (خاصية الحقل ‘k’).
الامتدادات الجبرية: أي امتداد جبري (Algebraic Extension) يمكن كتابته بشكل فريد كتكوين لامتداد قابل للفصل وامتداد غير قابل للفصل بشكل بحت. هذا يعطينا هيكلًا لفهم الامتدادات الجبرية بشكل عام.

أمثلة

لتوضيح المفهوم، إليك بعض الأمثلة على الامتدادات غير القابلة للفصل بشكل بحت:

ليكن k = F_p(t) هو حقل الدوال المنطقية في متغير واحد ‘t’ فوق الحقل المنتهي F_p (حيث ‘p’ عدد أولي). وليكن K = F_p(t^1/p). إذن، K/k هو امتداد غير قابل للفصل بشكل بحت. لاحظ أن العنصر t^1/p ∈ K يحقق (t^1/p)^p = t ∈ k. وبشكل عام، الامتداد F_p(t^1/pⁿ) / F_p(t) هو امتداد غير قابل للفصل بشكل بحت لكل عدد صحيح موجب n.
بشكل أعم، إذا كان ‘k’ حقلًا من الخاصية ‘p’ وكان ‘α’ عنصرًا جبريًا فوق ‘k’ بحيث يكون كثير الحدود الأدنى لـ ‘α’ هو x^pⁿ – a لبعض a ∈ k، فإن k(α)/k هو امتداد غير قابل للفصل بشكل بحت.

أهمية الامتدادات غير القابلة للفصل بشكل بحت

تلعب الامتدادات غير القابلة للفصل بشكل بحت دورًا مهمًا في نظرية غالوا (Galois Theory) في الحقول ذات الخاصية الأولية. نظرية غالوا هي دراسة التماثلات الذاتية للحقل (Automorphisms) التي تثبت الحقل الأصغر. في الحقول ذات الخاصية صفر، تكون نظرية غالوا بسيطة نسبياً، حيث أن كل امتداد جبري هو امتداد قابل للفصل. ومع ذلك، في الحقول ذات الخاصية الأولية، يمكن أن تحدث امتدادات غير قابلة للفصل، مما يجعل نظرية غالوا أكثر تعقيدًا. الامتدادات غير القابلة للفصل بشكل بحت هي نوع من الامتدادات التي تظهر هذه التعقيدات.

بالإضافة إلى ذلك، فإن فهم الامتدادات غير القابلة للفصل بشكل بحت ضروري في دراسة الجبر التبادلي (Commutative Algebra) والهندسة الجبرية (Algebraic Geometry) في الخصائص الموجبة. تظهر هذه الامتدادات في سياقات مختلفة، مثل دراسة أغلفة فروبينيوس (Frobenius morphisms) والتفردات في الأصناف الجبرية (Singularities of Algebraic Varieties).

العلاقة مع الإغلاق القابل للفصل

في أي امتداد جبري K/k، يمكننا تعريف الإغلاق القابل للفصل (Separable Closure) لـ ‘k’ في ‘K’، والذي يُشار إليه بـ K_sep. هذا هو أكبر حقل جزئي من ‘K’ يحتوي على ‘k’ وهو قابل للفصل على ‘k’. الامتداد K/K_sep هو دائمًا غير قابل للفصل بشكل بحت. هذا يعطينا طريقة لتقسيم أي امتداد جبري إلى جزء قابل للفصل وجزء غير قابل للفصل بشكل بحت.

خاتمة

الامتدادات غير القابلة للفصل بشكل بحت هي مفهوم أساسي في نظرية الحقول، خاصة في الحقول ذات الخاصية الأولية. تتميز هذه الامتدادات بكون كل عنصر فيها له قوة لـ ‘p’ (خاصية الحقل) تنتمي إلى الحقل الأصغر. فهم هذه الامتدادات أمر بالغ الأهمية لدراسة نظرية غالوا، والجبر التبادلي، والهندسة الجبرية في الخصائص الموجبة. إنها تمثل حالة خاصة من الامتدادات الجبرية التي تضيف تعقيدًا وثراءً إلى نظرية الحقول.