مُبرهنة جوردان (Jordan’s lemma)

نص المُبرهنة

تنص مبرهنة جوردان على أنه إذا كانت f(z) دالة عقدية تحقق الشروط التالية:

• f(z) دالة متصلة في نصف المستوى العلوي (Im(z) ≥ 0).
• |f(z)| تؤول إلى الصفر بانتظام عندما |z| تؤول إلى اللانهاية، أي أنه لكل ε > 0 يوجد R > 0 بحيث إذا كان |z| > R فإن |f(z)| < ε.

فإنه إذا كان a عددًا حقيقيًا موجبًا، فإن:

lim_R→∞ ∫_ΓR e^iaz f(z) dz = 0

حيث Γ_R هو نصف دائرة في نصف المستوى العلوي، مركزه نقطة الأصل ونصف قطره R، أي أن Γ_R يمكن تمثيله بالمعادلة z = Re^iθ، حيث تتراوح θ من 0 إلى π.

شروط المبرهنة

الشروط التي يجب أن تحققها الدالة f(z) ضرورية لتطبيق مبرهنة جوردان. الشرط الأول، وهو اتصال الدالة في نصف المستوى العلوي، يضمن أن التكامل الكنتوري معرف جيدًا. الشرط الثاني، وهو أن |f(z)| تؤول إلى الصفر بانتظام عندما |z| تؤول إلى اللانهاية، هو الأكثر أهمية. هذا الشرط يضمن أن مساهمة القوس الدائري Γ_R في التكامل الكنتوري الكامل تؤول إلى الصفر عندما يزداد نصف القطر R إلى اللانهاية. بعبارة أخرى، إذا كانت الدالة f(z) تتناقص بسرعة كافية عندما تبتعد z عن نقطة الأصل، فإن التكامل على طول القوس الدائري يصبح مهملاً.

تجدر الإشارة إلى أن مبرهنة جوردان تنطبق أيضًا على نصف المستوى السفلي (Im(z) ≤ 0)، ولكن في هذه الحالة، يجب أن يكون a عددًا حقيقيًا سالبًا.

إثبات المُبرهنة

لإثبات مبرهنة جوردان، نبدأ بتقدير قيمة التكامل:

|∫_ΓR e^iaz f(z) dz| ≤ ∫_ΓR |e^iaz| |f(z)| |dz|

بما أن z = Re^iθ، فإن dz = iRe^iθ dθ و az = aR(cos θ + i sin θ)، وبالتالي:

|e^iaz| = |e^{iaR(cos θ + i sin θ)}| = |e^{iaR cos θ} e^{-aR sin θ}| = e^{-aR sin θ}

إذن:

|∫_ΓR e^iaz f(z) dz| ≤ ∫₀^π e^{-aR sin θ} |f(Re^iθ)| R dθ

بما أن |f(z)| تؤول إلى الصفر بانتظام عندما |z| تؤول إلى اللانهاية، فإنه لكل ε > 0 يوجد R > 0 بحيث إذا كان |z| = R > R فإن |f(z)| < ε. وبالتالي:

|∫_ΓR e^iaz f(z) dz| ≤ εR ∫₀^π e^{-aR sin θ} dθ

باستخدام المتباينة sin θ ≥ (2/π)θ لـ 0 ≤ θ ≤ π/2، نحصل على:

∫₀^π e^{-aR sin θ} dθ = 2 ∫₀^π/2 e^{-aR sin θ} dθ ≤ 2 ∫₀^π/2 e^{-2aR θ/π} dθ = (π/aR)(1 – e^-aR)

إذن:

|∫_ΓR e^iaz f(z) dz| ≤ εR (π/aR)(1 – e^-aR) = (π/a)ε(1 – e^-aR)

عندما R تؤول إلى اللانهاية، فإن e^-aR تؤول إلى الصفر، وبالتالي:

lim_R→∞ |∫_ΓR e^iaz f(z) dz| ≤ (π/a)ε

بما أن ε اختيارية، فإن:

lim_R→∞ ∫_ΓR e^iaz f(z) dz = 0

وهذا يثبت مبرهنة جوردان.

تطبيقات المُبرهنة

تستخدم مبرهنة جوردان على نطاق واسع في حساب التكاملات الحقيقية التي لا يمكن تقييمها بسهولة باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل التقليدية. تتضمن هذه التكاملات عادةً دوالًا دورية أو دوالًا تتلاشى عند اللانهاية. الفكرة الأساسية هي تحويل التكامل الحقيقي إلى تكامل كنتوري في المستوى العقدي، ثم استخدام نظرية البواقي لتقييم التكامل الكنتوري. غالبًا ما تتضمن هذه العملية إغلاق مسار التكامل الحقيقي بقوس دائري في نصف المستوى العلوي أو السفلي. هنا يأتي دور مبرهنة جوردان، حيث تسمح لنا بإهمال مساهمة القوس الدائري في التكامل الكنتوري الكامل، مما يترك لنا فقط التكامل على طول الخط الحقيقي.

مثال: حساب التكامل ∫_-∞^∞ (sin x) / x dx

لا يمكن حساب هذا التكامل الحقيقي مباشرة باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل الابتدائية. لحسابه باستخدام التحليل العقدي، نعتبر التكامل الكنتوري:

∫_C e^iz / z dz

حيث C هو المسار المغلق الذي يتكون من الخط الحقيقي من -R إلى R، ونصف الدائرة Γ_R في نصف المستوى العلوي، والتي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها R. الدالة e^iz / z لها قطب بسيط عند z = 0. لتجنب هذا القطب، نزيح المسار قليلاً حول نقطة الأصل بمسافة صغيرة ε، مكونين نصف دائرة صغيرة γ_ε بنصف قطر ε. إذن، المسار المغلق الجديد، C’، يتكون من الخط الحقيقي من -R إلى -ε، ثم γ_ε، ثم الخط الحقيقي من ε إلى R، وأخيراً Γ_R.

بما أن الدالة e^iz / z تحليلية داخل C’، فإن نظرية كوشي للتكامل تعطينا:

∫_C’ e^iz / z dz = 0

إذن:

∫_-R^-ε e^ix / x dx + ∫_γε e^iz / z dz + ∫_ε^R e^ix / x dx + ∫_ΓR e^iz / z dz = 0

عندما R تؤول إلى اللانهاية، فإن التكامل على طول Γ_R يؤول إلى الصفر حسب مبرهنة جوردان (حيث أن |1/z| تؤول إلى الصفر عندما |z| تؤول إلى اللانهاية). عندما ε تؤول إلى الصفر، فإن التكامل على طول γ_ε يؤول إلى -πi (باستخدام نظرية نصف الباقي). وبالتالي، نحصل على:

P.V. ∫_-∞^∞ e^ix / x dx – πi = 0

حيث P.V. تشير إلى القيمة الرئيسية لكوشي. بأخذ الجزء التخيلي من كلا الطرفين، نحصل على:

P.V. ∫_-∞^∞ (sin x) / x dx = π

بما أن (sin x) / x دالة زوجية، فإن:

∫_-∞^∞ (sin x) / x dx = π

وهذا يوضح كيف يمكن استخدام مبرهنة جوردان لتقييم التكاملات الحقيقية التي لا يمكن حسابها بسهولة باستخدام طرق أخرى.

تعميمات المُبرهنة

هناك العديد من التعميمات لمبرهنة جوردان. على سبيل المثال، يمكن تعميم المبرهنة لتشمل حالات تكون فيها الدالة f(z) ليست متصلة في عدد محدود من النقاط على طول القوس الدائري. في هذه الحالات، يجب تعديل المبرهنة لتأخذ في الاعتبار مساهمات هذه النقاط الشاذة في التكامل الكنتوري.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن تعميم مبرهنة جوردان لتشمل حالات تكون فيها الدالة f(z) تؤول إلى الصفر بمعدل أبطأ من |z|^-1. في هذه الحالات، يجب استخدام تقنيات أكثر تطوراً لتقدير قيمة التكامل على طول القوس الدائري.

أهمية المُبرهنة

تكمن أهمية مبرهنة جوردان في قدرتها على تبسيط حساب التكاملات الكنتورية المعقدة. من خلال توفير شرط لتقارب التكامل على طول قوس دائري، تسمح لنا المبرهنة بإهمال مساهمة هذا القوس عند حساب التكامل الكنتوري الكامل. هذا التبسيط يمكن أن يقلل بشكل كبير من التعقيد الحسابي للمسألة، مما يجعل من الممكن تقييم التكاملات التي كانت ستكون مستحيلة باستخدام طرق أخرى.

خاتمة

تعد مبرهنة جوردان أداة قوية في التحليل العقدي، تستخدم بشكل أساسي لتقييم التكاملات الكنتورية. توفر المبرهنة شرطًا لتقارب التكامل على طول قوس دائري في المستوى العقدي، مما يسمح لنا بإهمال مساهمة هذا القوس عند حساب التكامل الكنتوري الكامل. تستخدم مبرهنة جوردان على نطاق واسع في حساب التكاملات الحقيقية التي لا يمكن تقييمها بسهولة باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل التقليدية، وتلعب دورًا حاسمًا في العديد من التطبيقات في الفيزياء والهندسة.

المراجع

• Jordan’s lemma – Wikipedia
• Jordan’s Lemma – Wolfram MathWorld
• Jordan’s Lemma – PlanetMath
• Complex Analysis Lecture Notes – UC Davis (PDF)