تعريف رسمي
ليكن (M, η) متشعب تماس، حيث η هو شكل تماس. يُقال إن (M, η) هو متشعب ساساكي إذا كان يحمل هيكلًا ريمانيًا g وموترًا حقليًا φ يفيان بالشروط التالية:
- φ2(X) = -X + η(X)ξ، حيث ξ هو حقل متجه ريبي المرتبط بـ η.
- g(φX, φY) = g(X, Y) – η(X)η(Y).
- (∇Xφ)Y = g(X, Y)ξ – η(Y)X، حيث ∇ هو الاتصال اللِڤي-تشيڤيتا لـ g.
هنا، ξ هو حقل متجه ريبي المعرّف بالعلاقات η(ξ) = 1 و iξdη = 0، حيث iξ هو الضرب الداخلي بالنسبة لـ ξ.
خصائص المتشعبات الساساكية
تتمتع المتشعبات الساساكية بالعديد من الخصائص الهندسية الهامة، بما في ذلك:
- المخروط السيمبلكتي: المخروط C(M) = M × ℝ+ فوق متشعب ساساكي M يحمل بنية سيمبلكتية ω معرّفة بـ ω = d(r2η)، حيث r هو الإحداثي الشعاعي على ℝ+.
- المخروط الكاهليري: المخروط C(M) يحمل بنية كاهليرية إذا وفقط إذا كان M ساساكيًا.
- حزمة التماس: حزمة التماس لمتشعب ساساكي هي حزمة رئيسية مع زمرة لي U(1).
- تطبيق مومنت: يوجد تطبيق مومنت مرتبط بفعل U(1) على حزمة التماس.
- الطيف: يرتبط طيف لابلاس-بيلترامي على متشعب ساساكي ارتباطًا وثيقًا بطيف المؤثر ديراك.
أمثلة على المتشعبات الساساكية
توجد العديد من الأمثلة على المتشعبات الساساكية، بما في ذلك:
- الكرات الفردية الأبعاد: الكرات S2n+1 تحمل هياكل ساساكية طبيعية.
- حزمات الوحدة المماسية: حزمات الوحدة المماسية للمتشعبات ذات الانحناء المقطعي الثابت تحمل هياكل ساساكية.
- المتشعبات المضروبة: حاصل الضرب لأي عدد من المتشعبات الساساكية هو أيضًا متشعب ساساكي.
- حزمات الخطوط الهامة: حزمات الخطوط الهامة فوق المتشعبات الكاهليرية تحمل هياكل ساساكية.
العلاقة مع المتشعبات الكاهليرية
هناك علاقة وثيقة بين المتشعبات الساساكية والكاهليرية. يمكن اعتبار المتشعبات الساساكية بمثابة نظائر فردية الأبعاد للمتشعبات الكاهليرية. على وجه التحديد، إذا كان (M, g, J) متشعبًا كاهليريًا، حيث g هو الموتر الريماني و J هو الهيكل المعقد، فإن المخروط C(M) = M × ℝ+ يحمل بنية ساساكية. والعكس صحيح أيضًا، إذا كان (M, η, g, φ) متشعبًا ساساكيًا، فإن المخروط C(M) يحمل بنية كاهليرية.
هذه العلاقة تسمح لنا باستخدام التقنيات من الهندسة الكاهليرية لدراسة المتشعبات الساساكية، والعكس صحيح.
تطبيقات في الفيزياء
تجد المتشعبات الساساكية تطبيقات في الفيزياء الرياضية، وخاصة في نظرية الأوتار الفائقة والهندسة غير التبادلية.
- نظرية الأوتار الفائقة: تظهر المتشعبات الساساكية كحلول للخلفيات الهندسية في نظرية الأوتار الفائقة. على وجه الخصوص، تلعب المتشعبات الساساكية دورًا في بناء حلول AdS/CFT.
- الهندسة غير التبادلية: تستخدم المتشعبات الساساكية في دراسة الهندسة غير التبادلية، حيث يتم استبدال الجبر التبادلي للدوال على المتشعب بجبر غير تبادلي.
على وجه التحديد، يمكن استخدام المتشعبات الساساكية لبناء جبر فون نيومان غير تبادلي، والذي يستخدم بعد ذلك لدراسة الخصائص الهندسية للمتشعب.
الخصائص الطوبولوجية
تؤثر البنية الساساكية على الخصائص الطوبولوجية للمتشعب. على سبيل المثال، إذا كان M متشعبًا ساساكيًا، فإن الأرقام بيتي bk(M) لـ M تحقق بعض المتراجحات التي تعتمد على البنية الساساكية. بالإضافة إلى ذلك، فإن حلقة الكوهومولوجيا لـ M تحمل معلومات حول البنية الساساكية.
دراسة الطوبولوجيا الساساكية هي مجال نشط للبحث، ويهدف إلى فهم العلاقة بين البنية الساساكية والخصائص الطوبولوجية للمتشعب.
التعميمات
هناك العديد من التعميمات للمفهوم الأصلي للمتشعب الساساكي، بما في ذلك:
- المتشعبات الساساكية k: هذا تعميم حيث يتم استبدال حقل متجه ريبي ξ بـ k حقول متجه ريبي خطية مستقلة.
- المتشعبات ذات البنية G: هذا تعميم حيث يتم استبدال المجموعة U(1) بزمرة لي G.
تسمح لنا هذه التعميمات بدراسة مجموعة أوسع من المتشعبات التي تشترك في بعض الخصائص الهندسية للمتشعبات الساساكية.
الحساب التفاضلي على المتشعبات الساساكية
يتميز الحساب التفاضلي على المتشعبات الساساكية ببعض الخصائص الفريدة مقارنة بالحساب التفاضلي على المتشعبات الريمانية العامة. على سبيل المثال، فإن المؤثر ديراك على متشعب ساساكي يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمؤثر لابلاس-بيلترامي. هذا يسمح لنا باستخدام التقنيات من نظرية المؤثرات التفاضلية لدراسة الهندسة الساساكية.
بالإضافة إلى ذلك، فإن حلقة الكوهومولوجيا لمتشعب ساساكي تحمل معلومات حول الطيف للمؤثر ديراك.
نظرية التشوه
تهتم نظرية التشوه بدراسة كيفية تغير الهياكل الهندسية على المتشعبات عند تغيير المتشعب نفسه بشكل طفيف. في حالة المتشعبات الساساكية، تهتم نظرية التشوه بدراسة كيفية تغير البنية الساساكية عند تغيير المتشعب بشكل طفيف.
أحد الأسئلة الرئيسية في نظرية التشوه هو تحديد ما إذا كانت البنية الساساكية مستقرة تحت التشوهات الصغيرة. بمعنى آخر، هل توجد بنية ساساكية “قريبة” من البنية الأصلية على المتشعب المشوه؟
تطبيقات أخرى
بالإضافة إلى التطبيقات المذكورة أعلاه، تجد المتشعبات الساساكية تطبيقات في مجالات أخرى من الرياضيات والفيزياء، بما في ذلك:
- نظرية الأعداد: تستخدم المتشعبات الساساكية في دراسة وظائف زيتا لبعض المخططات الحسابية.
- الفيزياء الفلكية: تظهر المتشعبات الساساكية في بعض النماذج الفيزيائية الفلكية.
- الروبوتات: تستخدم المتشعبات الساساكية في تصميم خوارزميات التحكم للروبوتات.
هذه التطبيقات المتنوعة تسلط الضوء على الأهمية الواسعة للمتشعبات الساساكية في الرياضيات والعلوم.
دراسات حديثة
تشهد دراسة المتشعبات الساساكية نشاطًا بحثيًا مكثفًا في السنوات الأخيرة. تشمل بعض الاتجاهات الحديثة:
- تطوير تقنيات جديدة لدراسة الطوبولوجيا الساساكية.
- دراسة التشوهات للمتشعبات الساساكية.
- البحث عن تطبيقات جديدة للمتشعبات الساساكية في الفيزياء والرياضيات.
من المتوقع أن تستمر هذه الاتجاهات في دفع البحث في هذا المجال المثير للاهتمام.
خاتمة
المتشعب الساساكي هو مفهوم أساسي في الهندسة التفاضلية، يجمع بين هياكل التماس والريمان. بفضل خصائصه الغنية وعلاقته الوثيقة بالهندسة الكاهليرية، وجد تطبيقات واسعة في الفيزياء الرياضية ومجالات أخرى. تظل دراسة المتشعبات الساساكية مجالًا نشطًا للبحث، مع وجود العديد من الأسئلة المفتوحة والتطبيقات المحتملة التي تنتظر الاستكشاف.