تعريف بعد المعلومات
رياضيًا، يتم تعريف بعد المعلومات على النحو التالي:
DI = limε→0 [log N(ε) / log(1/ε)]
حيث:
- DI هو بعد المعلومات.
- ε هو حجم الخلية أو الدقة.
- N(ε) هو الحد الأدنى لعدد الخلايا التي حجمها ε اللازمة لتغطية مجموعة البيانات.
بعبارة أخرى، بعد المعلومات هو ميل الرسم البياني لـ log N(ε) مقابل log(1/ε) عندما يؤول ε إلى الصفر. يعكس هذا التعريف كيفية تغير عدد الخلايا المطلوبة لتغطية المجموعة مع تقليل حجم الخلية. إذا كانت المجموعة بسيطة (على سبيل المثال، خط مستقيم)، فإن عدد الخلايا المطلوبة سيزداد ببطء مع تقليل حجم الخلية، وبالتالي يكون بعد المعلومات منخفضًا. أما إذا كانت المجموعة معقدة (على سبيل المثال، كسورية)، فإن عدد الخلايا المطلوبة سيزداد بسرعة، وبالتالي يكون بعد المعلومات مرتفعًا.
العلاقة بين بعد المعلومات والأبعاد الأخرى
يرتبط بعد المعلومات ارتباطًا وثيقًا بأبعاد أخرى مثل بعد هاوسدورف و البعد الصندوقي. في الواقع، بالنسبة للعديد من المجموعات، تكون هذه الأبعاد متساوية. ومع ذلك، هناك بعض الحالات التي تختلف فيها. على سبيل المثال، يمكن أن يكون بعد المعلومات أقل من بعد هاوسدورف إذا كانت البيانات تتركز حول مجموعة ذات بعد أقل. يمكن أن يكون بعد المعلومات أكبر من البعد الصندوقي إذا كانت البيانات متفرقة جدًا.
خصائص بعد المعلومات
- عدم السلبية: بعد المعلومات دائمًا غير سلبي.
- الرتابة: إذا كانت المجموعة A هي مجموعة فرعية من المجموعة B، فإن بعد معلومات A أقل من أو يساوي بعد معلومات B.
- الثبات تحت التحويلات ثنائية الشفة: لا يتغير بعد المعلومات تحت التحويلات ثنائية الشفة. هذا يعني أنه إذا قمت بتمديد أو ضغط المجموعة بطريقة سلسة، فإن بعد معلوماتها سيظل كما هو.
- بعد المنتج: بعد معلومات حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين يساوي مجموع أبعاد معلومات المجموعتين.
تطبيقات بعد المعلومات
يستخدم بعد المعلومات في مجموعة واسعة من التطبيقات، بما في ذلك:
- تحليل السلاسل الزمنية: يمكن استخدام بعد المعلومات لتقدير تعقيد السلسلة الزمنية. السلاسل الزمنية ذات بعد المعلومات المرتفع تكون أكثر تعقيدًا وأقل قابلية للتنبؤ بها.
- ضغط البيانات: يمكن استخدام بعد المعلومات لتحديد الحد الأدنى لحجم البيانات اللازمة لتمثيل مجموعة البيانات بدقة معينة.
- التعرف على الأنماط: يمكن استخدام بعد المعلومات لتمييز بين الأنماط المختلفة. على سبيل المثال، يمكن استخدام بعد المعلومات للتمييز بين الصور الطبيعية والصور الاصطناعية.
- دراسة الأنظمة الديناميكية: بعد المعلومات هو أداة قوية في دراسة الأنظمة الديناميكية. يمكن أن يساعد في تحديد وجود جاذبات غريبة وفهم سلوك الفوضى.
- علم الأحياء: يستخدم في تحليل بيانات التعبير الجيني وفهم تعقيد الشبكات البيولوجية.
- المالية: يستخدم في تحليل الأسواق المالية وتقييم المخاطر.
مثال على حساب بعد المعلومات
لنفترض أن لدينا مجموعة بيانات تتكون من N نقطة موزعة بشكل موحد على خط مستقيم طوله L. لحساب بعد المعلومات، نحتاج أولاً إلى تحديد N(ε)، وهو الحد الأدنى لعدد الخلايا التي حجمها ε اللازمة لتغطية الخط المستقيم. بما أن النقاط موزعة بشكل موحد، فإن N(ε) ≈ L/ε. وبالتالي، فإن بعد المعلومات هو:
DI = limε→0 [log (L/ε) / log(1/ε)] = limε→0 [log L – log ε / – log ε] = 1
وهذا يتفق مع حقيقة أن الخط المستقيم له بعد واحد.
تقدير بعد المعلومات من البيانات
في الممارسة العملية، غالبًا ما نحتاج إلى تقدير بعد المعلومات من البيانات المتاحة. هناك العديد من الخوارزميات لتقدير بعد المعلومات، بما في ذلك:
- طريقة العد بالصندوق: تقسم هذه الطريقة الفضاء إلى خلايا بحجم ε ثم تحسب عدد الخلايا التي تحتوي على نقاط بيانات. ثم يتم تقدير بعد المعلومات من ميل الرسم البياني لـ log N(ε) مقابل log(1/ε).
- طريقة الجيران الأقرب: تعتمد هذه الطريقة على حساب المسافة إلى أقرب k جار لكل نقطة بيانات. ثم يتم تقدير بعد المعلومات من معدل نمو المسافة إلى الجيران الأقرب مع زيادة k.
- طريقة الارتباط: تعتمد هذه الطريقة على حساب دالة الارتباط، التي تقيس احتمال وجود نقطتين بيانات على مسافة أقل من ε. ثم يتم تقدير بعد المعلومات من ميل الرسم البياني لـ log C(ε) مقابل log ε، حيث C(ε) هي دالة الارتباط.
كل طريقة لها نقاط قوة ونقاط ضعف، ويعتمد اختيار الطريقة الأنسب على خصائص البيانات والتطبيق المحدد.
اعتبارات عملية
عند حساب أو تقدير بعد المعلومات، يجب مراعاة بعض الاعتبارات العملية:
- اختيار حجم الخلية ε: يجب اختيار حجم الخلية ε بعناية. إذا كانت ε صغيرة جدًا، فقد يكون N(ε) كبيرًا جدًا بحيث لا يمكن حسابه. إذا كانت ε كبيرة جدًا، فقد يكون تقدير بعد المعلومات غير دقيق.
- حجم العينة: يجب أن يكون حجم العينة كبيرًا بما يكفي لتمثيل مجموعة البيانات بدقة. إذا كان حجم العينة صغيرًا جدًا، فقد يكون تقدير بعد المعلومات غير موثوق به.
- الضوضاء: يمكن أن تؤثر الضوضاء في البيانات على تقدير بعد المعلومات. من المهم تصفية الضوضاء قبل حساب بعد المعلومات.
- التضمين: غالبًا ما يتم استخدام تقنيات التضمين لتمثيل البيانات في فضاء ذي أبعاد أعلى قبل حساب بعد المعلومات. يمكن أن يساعد ذلك في الكشف عن الهيكل المخفي في البيانات.
خاتمة
بعد المعلومات هو أداة قوية لفهم تعقيد البيانات وتحديد الأبعاد “الفعالة” التي تشغلها. له تطبيقات واسعة في مختلف المجالات، بما في ذلك تحليل السلاسل الزمنية، وضغط البيانات، والتعرف على الأنماط، ودراسة الأنظمة الديناميكية، وعلم الأحياء، والمالية. على الرغم من أن حسابه أو تقديره قد يكون صعبًا في بعض الأحيان، إلا أن الفوائد التي يقدمها في فهم البيانات تجعله أداة قيمة للباحثين والممارسين على حد سواء.