مقدمة
في الفيزياء، وخاصة في مجال الديناميكا الحرارية والإحصائية، تلعب دالة التعددية دورًا حيويًا في فهم سلوك الأنظمة المكونة من عدد كبير من الجسيمات. عندما نتعامل مع نظام يتكون من عدد N من المغازل غير المتفاعلة، فإن دالة التعددية تمثل عدد الحالات الممكنة التي يمكن أن يتواجد فيها النظام عند تحديد عدد المغازل المتجهة نحو اتجاه معين. هذه الدالة، والتي غالبًا ما يُرمز لها بـ W(n, N)، حيث n هو عدد المغازل المتجهة في اتجاه معين وN هو العدد الكلي للمغازل، توفر لنا معلومات قيمة حول احتمالية وجود النظام في حالة معينة وتساعد في حساب الخصائص الديناميكية الحرارية للنظام.
في هذا المقال، سنتناول بالتفصيل دالة التعددية لنظام مغناطيسي بسيط يتكون من مغازل ثنائية الحالة. سنستكشف كيفية حساب هذه الدالة، وما هي التقريبات التي يمكن استخدامها لتبسيط الحسابات عندما يكون عدد المغازل كبيرًا. كما سنتطرق إلى العلاقة بين دالة التعددية والإنتروبيا، وكيف يمكن استخدام هذه العلاقة لفهم سلوك النظام عند درجات حرارة مختلفة.
تعريف دالة التعددية
دالة التعددية، W(n, N)، لنظام مغناطيسي ثنائي الحالة تمثل عدد الطرق المختلفة التي يمكن ترتيب N من المغازل بحيث يشير n منها في اتجاه معين (عادة ما يُعتبر الاتجاه “للأعلى”)، بينما يشير (N – n) منها في الاتجاه المعاكس (“للأسفل”). لحساب هذه الدالة، نستخدم مفهوم التوافيق من الرياضيات.
التوافيق هي عدد الطرق المختلفة لاختيار مجموعة من العناصر من مجموعة أكبر دون النظر إلى ترتيب العناصر المختارة. في حالتنا، نريد اختيار n من المغازل N لتكون متجهة للأعلى. يمكن حساب عدد هذه التوافيق باستخدام الصيغة التالية:
W(n, N) = N! / (n! * (N – n)!)
حيث أن:
- N! (عاملي N) = N * (N-1) * (N-2) * … * 2 * 1
- n! (عاملي n) = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1
- (N – n)! (عاملي (N – n)) = (N – n) * (N – n – 1) * … * 2 * 1
هذه الصيغة تعطينا عدد الطرق المختلفة لترتيب المغازل بحيث يكون n منها متجهاً للأعلى. على سبيل المثال، إذا كان لدينا 4 مغازل (N = 4) وأردنا معرفة عدد الطرق التي يمكن أن يكون فيها مغزلان متجهين للأعلى (n = 2)، فإننا نحسب:
W(2, 4) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1)) = 24 / 4 = 6
إذن، هناك 6 طرق مختلفة لترتيب 4 مغازل بحيث يكون اثنان منها متجهين للأعلى.
التقريب عندما يكون N كبيرًا: تقريب ستيرلينغ
عندما يكون عدد المغازل N كبيرًا جدًا، يصبح حساب العاملي (factorial) أمرًا صعبًا للغاية. لحسن الحظ، هناك تقريب رياضي يُعرف باسم تقريب ستيرلينغ (Stirling’s approximation) يمكن استخدامه لتبسيط الحسابات. تقريب ستيرلينغ ينص على أن:
ln(N!) ≈ N * ln(N) – N
حيث ln هو اللوغاريتم الطبيعي. باستخدام تقريب ستيرلينغ، يمكننا تبسيط صيغة دالة التعددية:
ln(W(n, N)) = ln(N!) – ln(n!) – ln((N – n)!)
باستخدام تقريب ستيرلينغ لكل حد:
ln(W(n, N)) ≈ N * ln(N) – N – (n * ln(n) – n) – ((N – n) * ln(N – n) – (N – n))
بعد التبسيط:
ln(W(n, N)) ≈ N * ln(N) – n * ln(n) – (N – n) * ln(N – n)
هذه الصيغة التقريبية تسهل حساب دالة التعددية عندما يكون N كبيرًا جدًا.
العلاقة بين دالة التعددية والإنتروبيا
الإنتروبيا هي مقياس للفوضى أو العشوائية في النظام. في الديناميكا الحرارية الإحصائية، ترتبط الإنتروبيا ارتباطًا وثيقًا بدالة التعددية. العلاقة بين الإنتروبيا S ودالة التعددية W تعطى بالمعادلة:
S = k * ln(W)
حيث k هو ثابت بولتزمان. هذه المعادلة توضح أن الإنتروبيا تتناسب طرديًا مع اللوغاريتم الطبيعي لدالة التعددية. بمعنى آخر، كلما زادت عدد الحالات الممكنة التي يمكن أن يتواجد فيها النظام (أي كلما زادت دالة التعددية)، زادت الإنتروبيا.
في نظام المغازل، عندما تكون دالة التعددية كبيرة، فهذا يعني أن هناك العديد من الطرق المختلفة لترتيب المغازل بحيث يكون n منها متجهًا للأعلى. هذا يشير إلى أن النظام أكثر عشوائية وأقل تنظيمًا، وبالتالي تكون الإنتروبيا أعلى. عندما تكون دالة التعددية صغيرة، فهذا يعني أن هناك عددًا قليلاً فقط من الطرق لترتيب المغازل، مما يشير إلى أن النظام أكثر تنظيمًا وأقل عشوائية، وبالتالي تكون الإنتروبيا أقل.
احتمالية التوزيع
يمكننا استخدام دالة التعددية لحساب احتمالية وجود النظام في حالة معينة. الاحتمالية P(n, N) بأن يكون n من المغازل N متجهة للأعلى تعطى بالمعادلة:
P(n, N) = W(n, N) / 2N
حيث 2N هو العدد الكلي للحالات الممكنة للنظام (كل مغزل يمكن أن يكون في إحدى حالتين، للأعلى أو للأسفل). هذه المعادلة توضح أن الاحتمالية تتناسب طرديًا مع دالة التعددية. بمعنى آخر، كلما زادت دالة التعددية لحالة معينة، زادت احتمالية وجود النظام في تلك الحالة.
عندما يكون N كبيرًا، فإن توزيع الاحتمالية P(n, N) يقترب من توزيع جاوسي (Gaussian distribution) مركزه عند N/2. هذا يعني أن الحالة الأكثر احتمالية هي الحالة التي يكون فيها نصف المغازل متجهًا للأعلى والنصف الآخر متجهًا للأسفل. الانحراف المعياري للتوزيع الجاوسي يتناسب مع الجذر التربيعي لـ N، مما يعني أن التوزيع يصبح أكثر حدة (أقل عرضًا) كلما زاد N.
تأثير درجة الحرارة
درجة الحرارة تلعب دورًا حاسمًا في تحديد سلوك نظام المغازل. عند درجات حرارة منخفضة، تميل المغازل إلى الاصطفاف مع المجال المغناطيسي الخارجي (إذا كان موجودًا). هذا يؤدي إلى تقليل الإنتروبيا وزيادة التنظيم في النظام. عند درجات حرارة عالية، تتغلب الطاقة الحرارية على تأثير المجال المغناطيسي، وتصبح المغازل أكثر عشوائية وتتجه في اتجاهات مختلفة. هذا يؤدي إلى زيادة الإنتروبيا وتقليل التنظيم في النظام.
يمكن فهم تأثير درجة الحرارة على دالة التعددية من خلال العلاقة بين الإنتروبيا والطاقة. عند درجة حرارة معينة، يميل النظام إلى التواجد في الحالة التي تقلل طاقته الحرة (Free energy)، والتي تعطى بالمعادلة:
F = U – T * S
حيث U هي الطاقة الداخلية للنظام، T هي درجة الحرارة المطلقة، و S هي الإنتروبيا. عند درجات حرارة منخفضة، يكون الحد U (الطاقة الداخلية) هو المهيمن، ويميل النظام إلى تقليل طاقته عن طريق الاصطفاف مع المجال المغناطيسي. عند درجات حرارة عالية، يكون الحد T * S (درجة الحرارة مضروبة في الإنتروبيا) هو المهيمن، ويميل النظام إلى زيادة الإنتروبيا عن طريق أن يصبح أكثر عشوائية.
أمثلة وتطبيقات
دالة التعددية لها تطبيقات عديدة في الفيزياء والكيمياء والهندسة. بعض الأمثلة تشمل:
- المغناطيسية: فهم سلوك المواد المغناطيسية عند درجات حرارة مختلفة.
- علم المواد: تصميم مواد ذات خصائص حرارية ومغناطيسية محددة.
- الحوسبة الكمومية: دراسة أنظمة الكيوبت (qubit) المتعددة.
- الكيمياء: حساب احتمالية حدوث تفاعلات كيميائية معينة.
خاتمة
دالة التعددية هي أداة قوية لفهم سلوك الأنظمة المكونة من عدد كبير من الجسيمات، مثل نظام المغازل غير المتفاعلة. من خلال حساب دالة التعددية، يمكننا تحديد عدد الحالات الممكنة التي يمكن أن يتواجد فيها النظام، وحساب الإنتروبيا، وفهم تأثير درجة الحرارة على سلوك النظام. التقريبات مثل تقريب ستيرلينغ تسهل حساب دالة التعددية عندما يكون عدد الجسيمات كبيرًا جدًا. دالة التعددية لها تطبيقات عديدة في مختلف المجالات العلمية والهندسية.