مقدمة
مورغان ويليام كروفتون (بالإنجليزية: Morgan William Crofton) (ولد في دبلن، أيرلندا عام 1826 – وتوفي في برايتون، إنجلترا عام 1915) كان عالم رياضيات أيرلنديًا قدم إسهامات كبيرة في مجال الهندسة. اشتهر بصيغة كروفتون، وهي نتيجة أساسية في الهندسة التكاملية، وكذلك بعمله في الاحتمالات والهندسة التفاضلية.
نشأته وتعليمه
ولد مورغان كروفتون في دبلن، أيرلندا، في 12 يونيو 1826. كان والده، والتر كروفتون، يعمل محاميًا. تلقى مورغان تعليمه المبكر في المنزل قبل التحاقه بكلية الثالوث في دبلن. تفوق في الرياضيات وحصل على درجة البكالوريوس في عام 1845. بعد تخرجه، واصل دراسته للرياضيات والقانون، وحصل على درجة الماجستير في عام 1849.
مسيرته المهنية
بعد الانتهاء من دراسته، عمل كروفتون كمحام لفترة قصيرة. ومع ذلك، سرعان ما انجذب إلى الرياضيات وبدأ في تدريسها في عدة مؤسسات. في عام 1862، تم تعيينه أستاذاً للرياضيات في الكلية الملكية العسكرية في وولويتش، إنجلترا، وهو المنصب الذي شغله حتى تقاعده في عام 1884. خلال فترة عمله في وولويتش، قام كروفتون بتدريس العديد من الضباط المستقبليين في الجيش البريطاني وساهم في تطوير المناهج الرياضية في الكلية.
إسهاماته في الرياضيات
كانت إسهامات مورغان كروفتون في الرياضيات متعددة الأوجه، لكنه اشتهر بشكل خاص بعمله في الهندسة التكاملية والاحتمالات. من بين أهم إنجازاته:
- صيغة كروفتون: ربما تكون هذه هي النتيجة الأكثر شهرة لكروفتون. تربط هذه الصيغة طول منحنى مستوٍ بعدد الخطوط المستقيمة التي تتقاطع معه. رياضياً، تنص الصيغة على أن طول المنحنى يساوي نصف تكامل عدد مرات التقاطع بين الخطوط المستقيمة والمنحنى بالنسبة لجميع الخطوط الممكنة في المستوى. صيغة كروفتون لها تطبيقات واسعة في الهندسة والاحتمالات، وتستخدم لحساب الأطوال والمساحات في سياقات مختلفة.
- الهندسة الاحتمالية: ساهم كروفتون بشكل كبير في تطوير الهندسة الاحتمالية، وهي فرع من الرياضيات يتعامل مع الاحتمالات المرتبطة بالأشكال الهندسية. قام بدراسة احتمالية وقوع نقاط عشوائية داخل أشكال معينة، وحساب القيم المتوقعة لأبعاد هذه الأشكال.
- الهندسة التفاضلية: كان لكروفتون أيضًا إسهامات في الهندسة التفاضلية، حيث درس خصائص المنحنيات والأسطح باستخدام حساب التفاضل والتكامل. عمل على تطوير طرق جديدة لدراسة الانحناء والتواء المنحنيات، وقدم نتائج مهمة في هذا المجال.
صيغة كروفتون بالتفصيل
صيغة كروفتون هي نتيجة رائعة في الهندسة التكاملية تربط بين طول المنحنى المستوي وعدد الخطوط التي تتقاطع معه. يمكن التعبير عن هذه الصيغة رياضياً على النحو التالي:
L = (1/2) ∫ n dL
حيث:
- L هو طول المنحنى.
- n هو عدد مرات التقاطع بين الخط المستقيم والمنحنى.
- dL هو عنصر الطول على مجموعة الخطوط المستقيمة في المستوى.
بعبارة أخرى، لحساب طول المنحنى، نقوم بتكامل عدد مرات التقاطع بين الخطوط المستقيمة والمنحنى على جميع الخطوط الممكنة في المستوى، ثم نقسم النتيجة على 2. يمكن استخدام هذه الصيغة لحساب أطوال المنحنيات المعقدة التي يصعب حسابها بالطرق التقليدية.
تطبيقات صيغة كروفتون
تتمتع صيغة كروفتون بمجموعة واسعة من التطبيقات في مجالات مختلفة، بما في ذلك:
- حساب أطوال المنحنيات: يمكن استخدام صيغة كروفتون لحساب أطوال المنحنيات المعقدة، مثل المنحنيات العشوائية أو المنحنيات المحددة بواسطة معادلات معقدة.
- تقدير المساحات: يمكن استخدام صيغة كروفتون لتقدير مساحات الأشكال غير المنتظمة. على سبيل المثال، يمكن استخدامها لتقدير مساحة ورقة شجر عن طريق حساب عدد الخطوط التي تتقاطع مع حواف الورقة.
- معالجة الصور: يمكن استخدام صيغة كروفتون في معالجة الصور لتحليل الأشكال الموجودة في الصور. على سبيل المثال، يمكن استخدامها لتحديد طول محيط شكل معين في الصورة.
- الروبوتات: يمكن استخدام صيغة كروفتون في الروبوتات لتحديد مسار روبوت في بيئة غير معروفة. يمكن للروبوت استخدام الكاميرا الخاصة به لحساب عدد الخطوط التي تتقاطع مع العوائق الموجودة في البيئة، ثم استخدام صيغة كروفتون لتقدير المسافة إلى هذه العوائق.
أعمال أخرى
بالإضافة إلى عمله في الهندسة التكاملية والاحتمالات، نشر كروفتون العديد من الأوراق البحثية حول مواضيع رياضية متنوعة. كما كتب كتابًا مدرسيًا عن حساب التفاضل والتكامل كان له تأثير كبير في عصره. كان كروفتون عضوًا نشطًا في جمعية لندن الرياضية وساهم بانتظام في مجلتها.
جوائز وتكريمات
حصل مورغان كروفتون على العديد من الجوائز والتكريمات تقديرًا لإسهاماته في الرياضيات. تم انتخابه زميلاً للجمعية الملكية في عام 1868، وحصل على ميدالية ديفي من الجمعية الملكية في عام 1896. كما حصل على درجة الدكتوراه الفخرية من جامعة أيرلندا.
حياته الشخصية
تزوج مورغان كروفتون من لويزا مارجريت باسات في عام 1864. كان لديهم ستة أطفال. كان كروفتون رجلاً مثقفًا وله اهتمامات واسعة. كان قارئًا نهمًا، وكان مهتمًا بالفلسفة والأدب والتاريخ.
وفاته
توفي مورغان كروفتون في برايتون، إنجلترا، في 31 مايو 1915، عن عمر يناهز 88 عامًا. ترك وراءه إرثًا دائمًا كواحد من أبرز علماء الرياضيات في عصره.
خاتمة
كان مورغان كروفتون عالم رياضيات بارزًا قدم إسهامات كبيرة في مجال الهندسة، وخاصة في الهندسة التكاملية والاحتمالات. اشتهر بصيغة كروفتون، وهي نتيجة أساسية في الهندسة التكاملية ولها تطبيقات واسعة في مجالات مختلفة. بالإضافة إلى ذلك، ساهم في الهندسة الاحتمالية والهندسة التفاضلية. كان كروفتون مدرسًا متميزًا وباحثًا غزير الإنتاج، وقد ترك إرثًا دائمًا في عالم الرياضيات.