مقدمة إلى الأعداد الترتيبية والمجموعات القابلة للإنشاء
قبل الخوض في تفاصيل الأعداد الترتيبية المقبولة، من الضروري فهم بعض المفاهيم الأساسية في نظرية المجموعات:
- الأعداد الترتيبية (Ordinal Numbers): هي تعميم للأعداد الطبيعية التي تسمح لنا بالعد إلى ما وراء اللانهاية. تستخدم الأعداد الترتيبية لترتيب المجموعات بشكل جيد، وهي مجموعات حيث يمكن ترتيب كل مجموعة فرعية غير فارغة بترتيب خطي بحيث يكون لها عنصر أصغر. الأعداد الترتيبية تُمثَّل عادةً باستخدام رموز مثل α، β، γ، وهكذا.
- المجموعات القابلة للإنشاء (Constructible Sets): هي مجموعات يتم بناؤها بشكل هرمي بدءًا من المجموعة الفارغة باستخدام عمليات منطقية محددة. يُشار إلى الكون القابل للإنشاء بـ L، ويتم بناؤه بشكل تدريجي عن طريق تعريف Lα لكل عدد ترتيبي α.
- نظرية كريپكه-پلاتز (Kripke–Platek Set Theory – KP): هي نظام بديهي ضعيف لنظرية المجموعات الأحادية (first-order set theory) يركز على العمليات الأساسية لبناء المجموعات. إنها أقل قوة من نظرية المجموعات ZF (Zermelo-Fraenkel)، ولكنها كافية للعديد من الأغراض في نظرية المجموعات التأسيسية.
تعريف العدد الترتيبي المقبول
الآن، نعود إلى التعريف الرئيسي. العدد الترتيبي α يكون مقبولاً إذا تحقق الشرط التالي:
Lα ⊨ KP
هذا يعني أن المستوى α من الكون القابل للإنشاء (Lα) يفي بجميع بديهيات نظرية كريپكه-پلاتز (KP). بعبارة أخرى، Lα هو نموذج متعدٍ لـ KP. النموذج المتعدي هو مجموعة متعدية (أي أن كل عنصر من عناصرها هو أيضًا مجموعة فرعية منها) تحقق بديهيات النظرية.
بعبارة أخرى، إذا أخذنا مجموعة Lα واعتبرناها “كونًا” في حد ذاتها، فإن البديهيات الأساسية لبناء المجموعات لا تزال صحيحة داخل هذا الكون المصغر. هذا يعني أن Lα يتمتع بقدر كاف من “الاكتفاء الذاتي” من حيث بناء المجموعات.
أهمية الأعداد الترتيبية المقبولة
تظهر الأعداد الترتيبية المقبولة في سياقات مختلفة في نظرية المجموعات، وتلعب دورًا هامًا في دراسة الكون القابل للإنشاء L. بعض النقاط التي تبرز أهميتها:
- نقاط ثابتة لوظيفة جينسين (Jensen’s function): غالبًا ما ترتبط الأعداد الترتيبية المقبولة بنقاط ثابتة لوظيفة جينسين، وهي دالة ترسل عددًا ترتيبيًا α إلى أصغر عدد ترتيبي β بحيث يكون Lβ نموذجًا أوليًا أوليًا لـ Lα.
- نظرية الانعكاس (Reflection Principles): تستخدم الأعداد الترتيبية المقبولة في صياغة وإثبات نظريات الانعكاس، والتي تنص على أن الكون القابل للإنشاء L يشبه إلى حد كبير جزءًا صغيرًا منه (مثل Lα لعدد ترتيبي مقبول α).
- نظرية التكرار (Recursion Theory): ترتبط الأعداد الترتيبية المقبولة بنظرية التكرار المعممة، حيث تلعب دورًا في تحديد مدى تعقيد العمليات الحسابية التي يمكن تعريفها على الأعداد الترتيبية.
- بناء النماذج (Model Building): تُستخدم الأعداد الترتيبية المقبولة في بناء نماذج لنظرية المجموعات، خاصةً عند دراسة خصائص الكون القابل للإنشاء.
خصائص الأعداد الترتيبية المقبولة
تتمتع الأعداد الترتيبية المقبولة ببعض الخصائص الهامة التي تميزها عن الأعداد الترتيبية الأخرى:
- الانتظام (Regularity): كل عدد ترتيبي مقبول هو عدد ترتيبي منتظم. العدد الترتيبي المنتظم هو عدد ترتيبي لا يمكن التعبير عنه كاتحاد لمجموعة أصغر من المجموعات ذات الرتبة الأقل.
- الحد (Limit): كل عدد ترتيبي مقبول هو عدد ترتيبي حدي، أي أنه ليس خليفة لأي عدد ترتيبي آخر.
- غير قابل للوصول بشكل ضعيف (Weakly Inaccessible): كل عدد ترتيبي مقبول هو غير قابل للوصول بشكل ضعيف. العدد الترتيبي غير القابل للوصول بشكل ضعيف هو عدد ترتيبي منتظم وحدي.
- أمثلة: أصغر عدد ترتيبي مقبول هو ω (أول عدد ترتيبي لانهائي). الأعداد الترتيبية المقبولة الأخرى تشمل ω1CK (أصغر عدد ترتيبي غير قابل للحساب) والعديد من الأعداد الترتيبية الكبيرة الأخرى.
الأعداد الترتيبية المقبولة والأعداد الترتيبية القابلة للحساب
هناك علاقة وثيقة بين الأعداد الترتيبية المقبولة والأعداد الترتيبية القابلة للحساب. العدد الترتيبي القابل للحساب هو عدد ترتيبي يمكن تمثيله بواسطة علاقة ترتيبية قابلة للحساب على مجموعة من الأعداد الطبيعية. أصغر عدد ترتيبي غير قابل للحساب يُشار إليه بـ ω1CK، وهو عدد ترتيبي مقبول.
في الواقع، يمكن تعريف الأعداد الترتيبية المقبولة باستخدام مفاهيم من نظرية التكرار. على سبيل المثال، العدد الترتيبي α يكون مقبولاً إذا وفقط إذا كان α هو الحد الأعلى لمجموعة الأعداد الترتيبية القابلة للحساب بشكل فرعي (recursively enumerable). هذا يعني أن α هو أصغر عدد ترتيبي أكبر من جميع الأعداد الترتيبية التي يمكن حسابها بواسطة آلة تورينج.
مثال على عدد ترتيبي غير مقبول
لتوضيح الفرق بين الأعداد الترتيبية المقبولة وغير المقبولة، دعونا ننظر إلى مثال على عدد ترتيبي غير مقبول. العدد الترتيبي ω+1 (أول عدد ترتيبي لانهائي زائد واحد) ليس عددًا ترتيبيًا مقبولاً.
السبب في أن ω+1 ليس مقبولاً هو أن Lω+1 لا يفي ببديهيات نظرية كريپكه-پلاتز. على وجه الخصوص، Lω+1 لا يفي ببديهية المجموعة الفرعية Δ0. هذا يعني أنه يمكننا تعريف مجموعة فرعية من Lω+1 باستخدام صيغة Δ0 لا توجد في Lω+1 نفسه.
الخلاصة
تلعب الأعداد الترتيبية المقبولة دورًا محوريًا في نظرية المجموعات، خاصة في دراسة الكون القابل للإنشاء L. إنها توفر طريقة لتحديد نقاط “الاكتفاء الذاتي” داخل الكون القابل للإنشاء، حيث تظل البديهيات الأساسية لبناء المجموعات صحيحة. تظهر هذه الأعداد في سياقات مختلفة، من نظرية التكرار إلى نظريات الانعكاس، وتساعدنا على فهم بنية وتعقيد اللانهاية.
خاتمة
في الختام، العدد الترتيبي المقبول هو مفهوم متقدم في نظرية المجموعات يربط بين بنية الأعداد الترتيبية وقوة النماذج القابلة للإنشاء. فهم هذه الأعداد يساهم في فهم أعمق للأسس الرياضية وبنية اللانهاية.