<![CDATA[
مقدمة
في علم التوافق، الكلمة الخالية من المربعات هي كلمة (عبارة عن سلسلة من الرموز) لا تحتوي على أي مربعات. المربع هو كلمة من الشكل ww، حيث w هي أي سلسلة غير فارغة. بعبارة أخرى، الكلمة الخالية من المربعات لا تحتوي على أي تكرار متتالي لسلسلة فرعية متطابقة.
على سبيل المثال، الكلمة “abac” هي كلمة خالية من المربعات. ومع ذلك، الكلمة “abab” ليست خالية من المربعات لأنها تحتوي على المربع “ab ab”. وبالمثل، فإن الكلمة “entente” ليست خالية من المربعات لأنها تحتوي على المربع “en en”.
دراسة الكلمات الخالية من المربعات لها تطبيقات في مجالات متنوعة مثل نظرية الأعداد وعلم الحاسوب وعلوم الأحياء (خاصة في دراسة الحمض النووي). كما أنها ذات أهمية في مجال علم اللغة النظري.
التعريف الرياضي
بشكل رسمي، لتكن Σ أبجدية (مجموعة من الرموز أو الحروف). الكلمة على الأبجدية Σ هي سلسلة منتهية من الرموز من Σ. المربع في الكلمة w هو سلسلة فرعية من الشكل vv، حيث v هي كلمة غير فارغة.
الكلمة الخالية من المربعات هي كلمة لا تحتوي على أي مربعات كسلسلة فرعية.
مثال:
- لتكن Σ = {a, b}.
- الكلمة “aba” هي كلمة خالية من المربعات على Σ.
- الكلمة “abba” ليست كلمة خالية من المربعات على Σ لأنها تحتوي على المربع “bb”.
وجود الكلمات الخالية من المربعات
السؤال الطبيعي الذي يطرح نفسه هو: هل توجد كلمات خالية من المربعات ذات طول عشوائي على أبجدية معينة؟ الإجابة هي نعم، ولكن هذا يعتمد على حجم الأبجدية.
على أبجدية ثنائية (أبجدية تتكون من رمزين فقط، مثل {0, 1} أو {a, b})، لا توجد كلمات خالية من المربعات أطول من 3. على سبيل المثال، الكلمات “aba” و “bab” هي أطول الكلمات الخالية من المربعات الممكنة على الأبجدية {a, b}. أي كلمة أطول من 3 على هذه الأبجدية ستحتوي حتماً على مربع.
ومع ذلك، على أبجدية ثلاثية (أبجدية تتكون من ثلاثة رموز، مثل {a, b, c})، توجد كلمات خالية من المربعات ذات طول لانهائي. هذا يعني أنه يمكننا بناء كلمات طويلة بشكل تعسفي باستخدام ثلاثة رموز فقط دون إدخال أي مربعات.
بناء الكلمات الخالية من المربعات
هناك عدة طرق لبناء كلمات خالية من المربعات على أبجدية ثلاثية. إحدى الطرق الشائعة هي استخدام استبدال ثيو-مورز. يتم تعريف استبدال ثيو-مورز على النحو التالي:
- a → abc
- b → ac
- c → b
ابدأ بالرمز “a” وقم بتطبيق الاستبدال بشكل متكرر. نحصل على التسلسل التالي:
a → abc → acb → bac → cab → bca → …
كل كلمة في هذا التسلسل هي كلمة خالية من المربعات. في الواقع، يمكن إثبات أن الحد اللانهائي لهذا التسلسل هو كلمة خالية من المربعات لانهائية.
طريقة أخرى لبناء كلمات خالية من المربعات هي استخدام الخوارزميات الحاسوبية. يمكننا كتابة برنامج يبحث بشكل منهجي عن كلمات خالية من المربعات ذات طول معين. هذه الطريقة فعالة للكلمات القصيرة نسبيًا، ولكنها تصبح مكلفة حسابيًا للكلمات الطويلة.
تطبيقات الكلمات الخالية من المربعات
تجد الكلمات الخالية من المربعات تطبيقات في مجموعة متنوعة من المجالات، بما في ذلك:
- نظرية الأعداد: تستخدم الكلمات الخالية من المربعات في دراسة الخصائص التوافقية للأعداد الصحيحة.
- علم الحاسوب: تستخدم الكلمات الخالية من المربعات في تصميم الخوارزميات وهياكل البيانات. على سبيل المثال، يمكن استخدامها في بناء جداول التجزئة ورموز التصحيح.
- علوم الأحياء: تستخدم الكلمات الخالية من المربعات في دراسة الحمض النووي. يمكن استخدامها لنمذجة تسلسل الحمض النووي وتحديد الأنماط المهمة.
- علم اللغة النظري: تستخدم الكلمات الخالية من المربعات في دراسة الخصائص الرسمية للغات. يمكن استخدامها لتحديد تعقيد اللغات وتصنيفها.
- ضغط البيانات: يمكن استخدام الكلمات الخالية من المربعات لتطوير خوارزميات ضغط بيانات جديدة. من خلال تجنب تكرار الأنماط، يمكننا تحقيق معدلات ضغط أفضل.
التعقيد الحسابي
تحديد ما إذا كانت كلمة معينة خالية من المربعات هي مشكلة يمكن حلها في وقت خطي. هناك العديد من الخوارزميات المعروفة التي يمكنها القيام بذلك بكفاءة. إحدى هذه الخوارزميات تستخدم مفهوم لاحقات الأشجار. لاحقة الشجرة هي بنية بيانات تمثل جميع لاحقات الكلمة. باستخدام لاحقة الشجرة، يمكننا التحقق بسرعة مما إذا كانت الكلمة تحتوي على أي مربعات.
تحدي أكثر صعوبة هو توليد كلمات خالية من المربعات بشكل عشوائي. في حين أن هناك طرقًا لتوليد كلمات خالية من المربعات، إلا أن توليدها بشكل موحد عشوائيًا مهمة معقدة. لا توجد خوارزمية معروفة يمكنها القيام بذلك بكفاءة.
الكلمات الخالية من القوى الأعلى
إن مفهوم الكلمات الخالية من المربعات يمكن تعميمه ليشمل الكلمات الخالية من القوى الأعلى. الكلمة w هي قوة k إذا كان يمكن كتابتها على شكل w = vk، حيث v هي كلمة غير فارغة. وبالتالي، المربع هو قوة 2.
الكلمة الخالية من المكعبات هي كلمة لا تحتوي على أي مكعبات كسلسلة فرعية. على سبيل المثال، الكلمة “abcabcabc” هي مكعب للكلمة “abc”.
بشكل عام، الكلمة الخالية من القوى الـ k هي كلمة لا تحتوي على أي قوى k كسلسلة فرعية.
كما هو الحال مع الكلمات الخالية من المربعات، فإن وجود الكلمات الخالية من القوى الأعلى يعتمد على حجم الأبجدية. على سبيل المثال، توجد كلمات خالية من المكعبات ذات طول لانهائي على أبجدية تتكون من رمزين.
الكلمات المتداخلة الخالية من المربعات
هناك مفهوم أضيق يسمى الكلمة المتداخلة الخالية من المربعات. الكلمة w هي كلمة متداخلة خالية من المربعات إذا لم تحتوِ على أي سلسلة فرعية من الشكل xvxvx، حيث v و x هما سلاسل غير فارغة.
على سبيل المثال، الكلمة “abcabc” ليست كلمة متداخلة خالية من المربعات لأنها تحتوي على السلسلة الفرعية “abcabc”، والتي هي من الشكل xvxvx حيث x = “a”، و v = “bc”.
الكلمات المتداخلة الخالية من المربعات هي أكثر ندرة من الكلمات الخالية من المربعات العادية. من المثير للاهتمام أن نلاحظ أن الكلمات المتداخلة الخالية من المربعات لها تطبيقات في تصميم رموز التصحيح للأخطاء.
خاتمة
الكلمات الخالية من المربعات هي مفهوم أساسي في علم التوافق وعلم اللغة النظري. لها تطبيقات في مجالات متنوعة مثل نظرية الأعداد وعلم الحاسوب وعلوم الأحياء. دراسة هذه الكلمات توفر رؤى قيمة حول الخصائص الرياضية للكلمات والتسلسلات. كما أن المفاهيم المتعلقة بالكلمات الخالية من القوى الأعلى والكلمات المتداخلة الخالية من المربعات تزيد من ثراء هذا المجال وتوفر اتجاهات بحثية جديدة.