مقدمة
في علم الإحصاء، تُستخدم نماذج الانحدار الذاتي ذي العتبة المُثارة ذاتيًا (SETAR) بشكل نموذجي لتحليل بيانات السلاسل الزمنية، وذلك كامتداد لنماذج الانحدار الذاتي التقليدية. تتميز نماذج SETAR بقدرتها على التقاط سلوكيات غير خطية في البيانات، وهو أمر بالغ الأهمية في العديد من التطبيقات الواقعية حيث العلاقات بين المتغيرات ليست ثابتة أو خطية.
مفهوم نماذج SETAR
جوهر نموذج SETAR يكمن في فكرة تقسيم السلسلة الزمنية إلى أنظمة مختلفة بناءً على قيم متأخرة للسلسلة نفسها. بعبارة أخرى، يتغير سلوك النموذج اعتمادًا على ما إذا كانت القيمة المتأخرة تتجاوز عتبة معينة أم لا. هذه العتبة تحدد “نظام” السلسلة الزمنية، ولكل نظام مجموعة مختلفة من معاملات الانحدار الذاتي.
بشكل أكثر تحديدًا، يمكن التعبير عن نموذج SETAR بالصيغة التالية:
yt = φ0(j) + φ1(j)yt-1 + … + φp(j)yt-p + εt(j), إذا كانت rj-1 < yt-d ≤ rj
حيث:
- yt: قيمة السلسلة الزمنية في الوقت t.
- φi(j): معاملات الانحدار الذاتي في النظام j.
- p: رتبة الانحدار الذاتي (عدد القيم المتأخرة المستخدمة في النموذج).
- d: التأخير الزمني المستخدم لتحديد النظام.
- rj: العتبات التي تحدد الأنظمة.
- εt(j): حد الخطأ في النظام j.
مثال توضيحي: تخيل أن لدينا سلسلة زمنية تمثل أسعار سهم. قد نلاحظ أن السهم يتصرف بشكل مختلف عندما يكون سعره أعلى من 100 دولار مقارنةً بما إذا كان أقل من 100 دولار. يمكن لنموذج SETAR أن يلتقط هذا السلوك من خلال تحديد عتبة عند 100 دولار، ونظامين مختلفين: أحدهما عندما يكون السعر فوق العتبة والآخر عندما يكون السعر تحتها.
مزايا نماذج SETAR
تتمتع نماذج SETAR بالعديد من المزايا مقارنة بنماذج السلاسل الزمنية الخطية، بما في ذلك:
- القدرة على التقاط السلوكيات غير الخطية: هذه هي الميزة الأساسية لنموذج SETAR، حيث يمكنه تمثيل العلاقات المعقدة التي لا تستطيع النماذج الخطية التقاطها.
- المرونة: يمكن تكييف نماذج SETAR مع مجموعة واسعة من السلاسل الزمنية، وذلك بفضل القدرة على تحديد عدد الأنظمة والعتبات ومعاملات الانحدار الذاتي المناسبة.
- التفسير: على الرغم من كونها غير خطية، إلا أن نماذج SETAR تظل قابلة للتفسير نسبيًا، حيث يمكن فهم تأثير كل نظام على سلوك السلسلة الزمنية.
تحديد نموذج SETAR
يتطلب تحديد نموذج SETAR المناسب اتباع عدة خطوات:
- تحديد عدد الأنظمة: غالبًا ما يتم ذلك من خلال الفحص البصري للبيانات والبحث عن نقاط تحول واضحة في السلوك. يمكن أيضًا استخدام معايير معلوماتية مثل معيار معلومات Akaike (AIC) أو معيار معلومات Bayesian (BIC) للمساعدة في تحديد العدد الأمثل للأنظمة.
- تقدير العتبات: يمكن تقدير العتبات باستخدام طرق مختلفة، مثل البحث الشبكي أو الخوارزميات التكرارية. الهدف هو إيجاد العتبات التي تقلل من مجموع مربعات الأخطاء داخل كل نظام.
- تقدير معاملات الانحدار الذاتي: بعد تحديد عدد الأنظمة وتقدير العتبات، يمكن تقدير معاملات الانحدار الذاتي لكل نظام باستخدام طرق الانحدار الخطي القياسية.
- التحقق من صحة النموذج: من المهم التحقق من صحة النموذج بعد تقديره للتأكد من أنه يمثل البيانات بشكل مناسب ولا يعاني من مشاكل مثل التجاوز أو عدم الاستقرار. يمكن القيام بذلك عن طريق فحص البقايا (الأخطاء) والتحقق من أنها تتبع توزيعًا طبيعيًا وليست مرتبطة ذاتيًا.
تطبيقات نماذج SETAR
تُستخدم نماذج SETAR في مجموعة واسعة من التطبيقات، بما في ذلك:
- التمويل: نمذجة أسعار الأسهم، وأسعار الفائدة، وأسعار الصرف. يمكن أن تساعد نماذج SETAR في التنبؤ بتقلبات السوق وتحديد فرص المراجحة.
- الاقتصاد: نمذجة الناتج المحلي الإجمالي، والتضخم، ومعدلات البطالة. يمكن أن تساعد نماذج SETAR في فهم دورات الأعمال والتنبؤ بالركود الاقتصادي.
- علم الأرصاد الجوية: نمذجة درجات الحرارة وهطول الأمطار وسرعة الرياح. يمكن أن تساعد نماذج SETAR في التنبؤ بالطقس والتحذير من الظواهر الجوية المتطرفة.
- علم الأحياء: نمذجة أعداد الحيوانات المفترسة والفرائس. يمكن أن تساعد نماذج SETAR في فهم ديناميكيات النظم الإيكولوجية والتنبؤ بتأثير التغيرات البيئية.
نماذج SETAR مقابل نماذج أخرى غير خطية
بينما تعد نماذج SETAR أداة قوية لنمذجة السلاسل الزمنية غير الخطية، إلا أنها ليست الخيار الوحيد المتاح. هناك العديد من النماذج الأخرى التي يمكن استخدامها، ولكل منها نقاط قوتها وضعفها. من بين هذه النماذج:
- نماذج الانحدار الذاتي المتوسط المتحرك غير الخطية (NARMA): توفر هذه النماذج مرونة أكبر من نماذج SETAR من خلال السماح بوجود علاقات غير خطية أكثر تعقيدًا بين القيم المتأخرة. ومع ذلك، قد يكون من الصعب تقديرها وتفسيرها.
- الشبكات العصبية الاصطناعية (ANN): يمكن للشبكات العصبية أن تقترب من أي دالة غير خطية، مما يجعلها قوية للغاية. ومع ذلك، يمكن أن تكون أيضًا “صندوقًا أسود”، مما يجعل من الصعب فهم كيفية عملها.
- نماذج التحول السلس للانحدار الذاتي (STAR): تسمح هذه النماذج بالانتقال السلس بين الأنظمة المختلفة، بدلاً من الانتقال المفاجئ كما هو الحال في نماذج SETAR. يمكن أن تكون نماذج STAR أكثر واقعية في بعض الحالات، ولكنها قد تكون أيضًا أكثر تعقيدًا.
يعتمد اختيار النموذج المناسب على طبيعة البيانات والسؤال البحثي المطروح. إذا كان من المتوقع وجود انتقالات مفاجئة بين الأنظمة، فقد يكون نموذج SETAR هو الخيار الأفضل. إذا كانت العلاقات غير الخطية أكثر تعقيدًا، فقد تكون هناك حاجة إلى نموذج أكثر مرونة.
تحديات وقيود نماذج SETAR
على الرغم من مزاياها، تواجه نماذج SETAR بعض التحديات والقيود:
- حساسية تقدير العتبة: يمكن أن يكون تقدير العتبات مهمة صعبة، ويمكن أن تؤثر الأخطاء الصغيرة في تقدير العتبة بشكل كبير على أداء النموذج.
- مشكلة التجاوز: من السهل تجاوز نموذج SETAR، خاصة إذا كان عدد الأنظمة مرتفعًا جدًا. يمكن أن يؤدي التجاوز إلى أداء ضعيف خارج العينة.
- التعقيد الحسابي: يمكن أن يكون تقدير نماذج SETAR مكلفًا من الناحية الحسابية، خاصة إذا كان حجم البيانات كبيرًا أو كان هناك عدد كبير من الأنظمة المحتملة.
- افتراضات التوزيع: تفترض العديد من طرق تقدير نماذج SETAR أن الأخطاء تتبع توزيعًا طبيعيًا. إذا لم يتم استيفاء هذا الافتراض، فقد تكون النتائج غير موثوقة.
خاتمة
نماذج الانحدار الذاتي ذي العتبة المُثارة ذاتيًا (SETAR) هي أدوات قوية لتحليل السلاسل الزمنية التي تعرض سلوكيات غير خطية. من خلال تقسيم السلسلة الزمنية إلى أنظمة مختلفة بناءً على قيم متأخرة، يمكن لنماذج SETAR التقاط العلاقات المعقدة التي لا تستطيع النماذج الخطية تمثيلها. ومع ذلك، من المهم أن ندرك التحديات والقيود المرتبطة بنماذج SETAR، وأن نختار النموذج المناسب بعناية بناءً على طبيعة البيانات والسؤال البحثي المطروح.