تعريف رياضي للدالة القطرية
لتكن C فئة. الدالة القطرية Δ: C → C × C تُعرف بالصيغة التالية:
- لكل كائن X في C، Δ(X) = (X, X).
- لكل تشاكل f: X → Y في C، Δ(f) = (f, f): (X, X) → (Y, Y).
بمعنى آخر، الدالة القطرية تأخذ كل كائن X وترسله إلى الزوج المرتب (X, X)، وتأخذ كل تشاكل f وترسله إلى الزوج المرتب (f, f). هذا التعريف يضمن أن الدالة القطرية تحافظ على تركيب التشكلات، أي أنها دالة فعلية بين الفئات.
أمثلة على الدالة القطرية
الفئة Set (المجموعات):
في فئة المجموعات Set، الدالة القطرية تأخذ كل مجموعة X وترسلها إلى حاصل ضربها الديكارتي مع نفسها X × X. وبالمثل، تأخذ كل دالة f: X → Y وترسلها إلى الدالة f × f: X × X → Y × Y المعرفة بـ (f × f)(x, y) = (f(x), f(y)).
الفئة Top (الفضاءات الطوبولوجية):
في فئة الفضاءات الطوبولوجية Top، الدالة القطرية تأخذ كل فضاء طوبولوجي X وترسله إلى حاصل ضربه الطوبولوجي مع نفسه X × X. وبالمثل، تأخذ كل دالة مستمرة f: X → Y وترسلها إلى الدالة المستمرة f × f: X × X → Y × Y.
الفئة Grp (الزمر):
في فئة الزمر Grp، الدالة القطرية تأخذ كل زمرة G وترسلها إلى حاصل ضربها المباشر مع نفسها G × G. وبالمثل، تأخذ كل تماثل زمر f: G → H وترسلها إلى التماثل f × f: G × G → H × H المعرفة بـ (f × f)(g1, g2) = (f(g1), f(g2)).
خصائص الدالة القطرية
الحفاظ على التركيب:
الدالة القطرية تحافظ على تركيب التشكلات. بمعنى آخر، إذا كان لدينا تشاكلين f: X → Y و g: Y → Z في فئة C، فإن:
Δ(g ∘ f) = (g ∘ f, g ∘ f) = (g, g) ∘ (f, f) = Δ(g) ∘ Δ(f)
هذه الخاصية تضمن أن الدالة القطرية هي دالة فعلية بين الفئات.
الدالة المرافقة:
في العديد من الحالات، تمتلك الدالة القطرية دوال مرافقة. على سبيل المثال، إذا كانت C فئة ديكارتية مغلقة، فإن الدالة القطرية تمتلك دالة مرافقة يمنى ودالة مرافقة يسرى.
الدور في تعريف المفاهيم:
تلعب الدالة القطرية دورًا هامًا في تعريف العديد من المفاهيم في نظرية الفئات، مثل التساوي والتماثل. على سبيل المثال، يمكن استخدام الدالة القطرية لتعريف مفهوم الكائن الأحادي والكائن المشترك.
الدالة القطرية والتساوي
في نظرية الفئات، يمكن تعريف مفهوم التساوي باستخدام الدالة القطرية. إذا كان لدينا تشاكلين f, g: X → Y في فئة C، نقول أن f يساوي g إذا كان هناك تشاكل h: X → Y × Y بحيث يكون π1 ∘ h = f و π2 ∘ h = g، حيث π1 و π2 هما الإسقاطان على العاملين الأول والثاني في الجداء الديكارتي Y × Y. هذا التعريف يعتمد بشكل أساسي على وجود الدالة القطرية وتأثيرها على التشكلات.
الدالة القطرية والكائنات الأحادية
الكائن الأحادي (monoid object) هو كائن M في فئة C مزود بتشاكلين: μ: M × M → M (الضرب) و η: I → M (الوحدة)، حيث I هو الكائن النهائي في C. هذه التشكلات يجب أن تحقق بعض الشروط التي تضمن أن μ هي عملية ضرب تجميعية وأن η هي عنصر محايد للضرب. يمكن استخدام الدالة القطرية في تعريف هذه الشروط. على سبيل المثال، شرط التجميعية يمكن كتابته باستخدام الدالة القطرية كالتالي: μ ∘ (μ × idM) = μ ∘ (idM × μ) ∘ (ΔM × idM)، حيث ΔM هي الدالة القطرية على M.
الدالة القطرية والكائنات المشتركة
الكائن المشترك (comonoid object) هو كائن C في فئة C مزود بتشاكلين: δ: C → C × C (الضرب المرافق) و ε: C → T (الوحدة المرافقة)، حيث T هو الكائن الأولي في C. هذه التشكلات يجب أن تحقق بعض الشروط التي تضمن أن δ هي عملية ضرب مرافق تجميعية وأن ε هي عنصر محايد للضرب المرافق. يمكن استخدام الدالة القطرية في تعريف هذه الشروط. على سبيل المثال، شرط التجميعية المرافقة يمكن كتابته باستخدام الدالة القطرية كالتالي: (δ × idC) ∘ δ = (idC × δ) ∘ δ = (idC × ΔC) ∘ δ، حيث ΔC هي الدالة القطرية على C.
الدالة القطرية والحدود والنهايات
تلعب الدالة القطرية دورًا هامًا في دراسة الحدود والنهايات في نظرية الفئات. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا دالة F: J → C، حيث J هي فئة صغيرة و C هي فئة كبيرة، فإن الحد (limit) للدالة F هو كائن L في C مزود بتشاكلات πj: L → F(j) لكل كائن j في J، بحيث يكون πj = F(f) ∘ πi لكل تشاكل f: i → j في J. يمكن تعريف الحد باستخدام الدالة القطرية والجداءات في C.
وبالمثل، يمكن تعريف النهاية (colimit) للدالة F: J → C ككائن K في C مزود بتشاكلات ιj: F(j) → K لكل كائن j في J، بحيث يكون ιj = ιi ∘ F(f) لكل تشاكل f: i → j في J. يمكن تعريف النهاية باستخدام الدالة القطرية والمجاميع في C.
الدالة القطرية في فئات الدوال
في فئات الدوال، مثل الفئة [C, D] للدوال من الفئة C إلى الفئة D، يمكن تعريف الدالة القطرية بطريقة طبيعية. إذا كانت F, G: C → D دالتين، فإن الدالة القطرية Δ: [C, D] → [C × C, D × D] تأخذ كل تحويل طبيعي α: F → G وترسله إلى التحويل الطبيعي α × α: F × F → G × G المعرف بـ (α × α)(X, Y) = (αX, αY) لكل زوج من الكائنات (X, Y) في C × C.
تطبيقات أخرى للدالة القطرية
بالإضافة إلى الاستخدامات المذكورة أعلاه، تستخدم الدالة القطرية في العديد من المجالات الأخرى في نظرية الفئات والرياضيات، بما في ذلك:
- نظرية الشكل: تستخدم الدالة القطرية في تعريف المفاهيم الأساسية في نظرية الشكل، مثل شكل الكائن وشكل التشاكل.
- نظرية هوموتوبي: تستخدم الدالة القطرية في تعريف العمليات على الفضاءات الطوبولوجية، مثل الضرب والجمع.
- المنطق الرياضي: تستخدم الدالة القطرية في بناء النماذج الرياضية للأنظمة المنطقية.
خاتمة
الدالة القطرية هي أداة قوية في نظرية الفئات، حيث توفر وسيلة لربط الكائنات والتشكلات مع حاصل ضربها الديكارتي. تستخدم هذه الدالة في تعريف العديد من المفاهيم الأساسية، مثل التساوي والكائنات الأحادية والكائنات المشتركة، وتلعب دورًا هامًا في دراسة الحدود والنهايات. بالإضافة إلى ذلك، تجد الدالة القطرية تطبيقات في مجالات مختلفة من الرياضيات، مما يؤكد أهميتها وقيمتها النظرية والعملية.