<![CDATA[
مقدمة
في مجال الهندسة التفاضلية، تُعرف الخريطة الملساء بين مشعبين ريمانيين بأنها خريطة توافقية إذا كانت تعمم مفهوم الدالة التوافقية من حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات. بمعنى آخر، الخرائط التوافقية هي النقاط الحرجة لدالة الطاقة.
الخريطة التوافقية هي تعميم لمفهوم الخط الجيوديسي، الذي هو خريطة توافقية من فاصل زمني في الأعداد الحقيقية إلى مشعب ريماني. كما أنها تعمم مفهوم الدالة التوافقية ذات القيمة الحقيقية على مشعب ريماني، والتي هي خرائط توافقية من المشعب إلى الأعداد الحقيقية.
تظهر الخرائط التوافقية في سياقات مختلفة في الرياضيات والفيزياء، على سبيل المثال، في نظرية الأوتار وفي النموذج السيجما.
تعريف رياضي
لتكن (M,g) و (N,h) مشعبين ريمانيين، حيث g و h هما متريتان ريمانيتان على التوالي. لتكن φ: M → N خريطة ملساء.
طاقة الخريطة φ تُعرف على النحو التالي:
E(φ) = (1/2) ∫M |dφ|2 dvolg
حيث |dφ| هي نورم هيلبرت-شميدت للمشتق dφ: TM → TN، و dvolg هي عنصر الحجم المحدد بواسطة المتري g.
تُعرف الخريطة φ بأنها توافقية إذا كانت نقطة حرجة لدالة الطاقة E(φ). هذا يعني أن التغير الأول للطاقة يساوي صفرًا لأي تغير صغير في الخريطة φ.
معادلة أويلر-لاغرانج المقابلة هي:
τ(φ) = 0
حيث τ(φ) هو توتر الخريطة φ، وهو مقطع من الحزمة φ-1TN، معرّف بالصيغة:
τ(φ) = traceg ∇dφ
هنا، ∇dφ هو المشتق التغايري للمشتق dφ، و traceg هو الأثر بالنسبة للمتري g.
أمثلة
- الجيوديسيات: الخط الجيوديسي هو خريطة توافقية γ: I → N، حيث I هو فاصل زمني في الأعداد الحقيقية و N هو مشعب ريماني. في هذه الحالة، الطاقة تتناسب مع مربع الطول، ومعادلة التوتر تعادل معادلة الجيوديسيك القياسية.
- الدوال التوافقية: إذا كان N هو الأعداد الحقيقية مع المتري الإقليدي القياسي، فإن الخريطة التوافقية φ: M → R هي دالة توافقية. في هذه الحالة، معادلة التوتر تعادل معادلة لابلاس: Δφ = 0، حيث Δ هو مؤثر لابلاس-بيلترامي على M.
- الغطاسات الدنيا: الغطس الأدنى هو غطس توافقي. في هذه الحالة، الخريطة من مشعب إلى آخر هي خريطة متساوية القياس وهي أيضًا خريطة توافقية.
- الخرائط المطابقة: الخريطة المطابقة من سطح ريماني إلى سطح ريماني آخر هي خريطة توافقية.
خصائص
تتمتع الخرائط التوافقية بعدة خصائص مهمة، بما في ذلك:
- الانتظام: تحت ظروف معينة، تكون الخرائط التوافقية منتظمة. على وجه الخصوص، إذا كان المشعب المستهدف N لديه انحناء قطاعي غير موجب، فإن أي خريطة توافقية تكون منتظمة.
- وجود الحلول: بشكل عام، ليس من السهل إثبات وجود الخرائط التوافقية. ومع ذلك، توجد العديد من النتائج التي تضمن وجود الخرائط التوافقية تحت افتراضات معينة على المشعبات M و N.
- الفرادة: بشكل عام، لا تكون الخرائط التوافقية فريدة من نوعها. ومع ذلك، تحت ظروف معينة، تكون الخرائط التوافقية فريدة من نوعها.
- نظرية ليوفيل: إذا كانت φ: Rn → N خريطة توافقية محدودة، حيث N هو مشعب ريماني كامل مع انحناء قطاعي غير موجب، فإن φ ثابتة.
تطبيقات
تظهر الخرائط التوافقية في سياقات مختلفة في الرياضيات والفيزياء، بما في ذلك:
- نظرية الأوتار: في نظرية الأوتار، تصف الخرائط التوافقية كيفية انتشار الأوتار في الزمكان.
- النموذج السيجما: في الفيزياء النظرية، النموذج السيجما هو نظرية مجال تصف تفاعل الجسيمات. الخرائط التوافقية هي حلول لمعادلات الحركة في النموذج السيجما.
- الهندسة التفاضلية: تستخدم الخرائط التوافقية لدراسة هندسة المشعبات الريمانية.
- تحليل الصور: يمكن استخدام الخرائط التوافقية لتمثيل الصور ومعالجتها.
طرق إيجاد الخرائط التوافقية
هناك عدة طرق لإيجاد الخرائط التوافقية. بعض الطرق الشائعة تشمل:
- طريقة التدرج الانحداري: هذه طريقة تكرارية تبدأ بخريطة أولية ثم تقوم بتحديث الخريطة تدريجيًا لتقليل الطاقة.
- طريقة العناصر المحدودة: هذه طريقة عددية تقوم بتقسيم المشعب M إلى عناصر صغيرة ثم تقريب الخريطة التوافقية بواسطة دوال أساس قطعة.
- طريقة التحليل الهندسي: في بعض الحالات، من الممكن إيجاد الخرائط التوافقية باستخدام تقنيات التحليل الهندسي.
نظرية إيلز-سامبسون
تعتبر نظرية إيلز-سامبسون (Eells–Sampson theorem) نتيجة أساسية في دراسة الخرائط التوافقية. تنص على أنه إذا كان M مشعبًا ريمانيًا مغلقًا و N مشعبًا ريمانيًا ذا انحناء قطاعي غير موجب، فإنه بالنسبة لأي خريطة ملساء φ: M → N، توجد خريطة توافقية φ’: M → N متماثلة تماثليًا مع φ. بمعنى آخر، يمكن تشويه أي خريطة إلى خريطة توافقية.
تعتبر هذه النظرية أداة قوية لدراسة هندسة المشعبات الريمانية. على سبيل المثال، يمكن استخدامها لإثبات أن أي مشعب ريماني مغلق له انحناء قطاعي غير موجب يعترف بخريطة توافقية غير تافهة إلى دائرة.
تعميمات
هناك عدة تعميمات لمفهوم الخريطة التوافقية، بما في ذلك:
- الخرائط التوافقية السبّبية: هذه هي تعميمات الخرائط التوافقية إلى المشعبات اللورنتزية.
- الخرائط التوافقية ذات القيمة المتعددة: هذه هي تعميمات الخرائط التوافقية التي تسمح للخريطة أن تكون ذات قيمة متعددة.
- الخرائط التوافقية بين الفضاءات المترية: هذا هو تعميم الخرائط التوافقية إلى الفضاءات المترية، بدلاً من المشعبات الريمانية.
خاتمة
الخريطة التوافقية هي أداة قوية في الهندسة التفاضلية والتحليل الرياضي. إنها تعميم لمفهوم الدالة التوافقية ولها تطبيقات واسعة في مجالات متنوعة مثل نظرية الأوتار، والنموذج سيجما، وتحليل الصور. دراسة الخرائط التوافقية تساهم في فهم أعمق لهندسة المشعبات الريمانية وخصائصها.