مقدمة
يشير مصطلح التوزيع التجريبي في الإحصاء والاحتمالات إلى مفهومين رئيسيين مترابطين، وهما دالة التوزيع التجريبي والمقياس التجريبي. كلاهما أدوات قوية لتحليل البيانات وفهم توزيعها، خاصةً عندما لا يكون لدينا معرفة مسبقة بالتوزيع النظري الذي تتبعه هذه البيانات. في جوهره، يعتمد التوزيع التجريبي على البيانات المرصودة مباشرةً، ويقدم تقديرًا غير بارامتري لتوزيع الاحتمالية الكامنة وراء هذه البيانات. بعبارة أخرى، بدلاً من افتراض أن البيانات تتبع توزيعًا معينًا مثل التوزيع الطبيعي أو توزيع بواسون، يبني التوزيع التجريبي تمثيلاً للتوزيع بناءً على البيانات الفعلية الموجودة في متناول اليد. هذا يجعله أداة مرنة وقيمة للغاية في مجموعة واسعة من التطبيقات، من التحليل الاستكشافي للبيانات إلى النمذجة الإحصائية والاستدلال.
دالة التوزيع التجريبي (Empirical Distribution Function – EDF)
دالة التوزيع التجريبي (EDF) هي دالة خطوة تصف التوزيع التراكمي لعيّنة من البيانات. لكل قيمة في العيّنة، تحدد الدالة نسبة النقاط في العيّنة التي تقل عن أو تساوي تلك القيمة. رياضياً، إذا كان لدينا عينة من البيانات المرتبة تصاعدياً \(x_1, x_2, …, x_n\)، فإن دالة التوزيع التجريبي تُعرَّف بالشكل التالي:
\(F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} I(x_i \leq x)\)
حيث \(n\) هو حجم العيّنة، و \(I(x_i \leq x)\) هي دالة المؤشر (Indicator function) التي تساوي 1 إذا كان \(x_i \leq x\) وتساوي 0 خلاف ذلك. بمعنى أبسط، \(F_n(x)\) هي ببساطة النسبة المئوية للبيانات التي تقل عن أو تساوي القيمة \(x\). دالة التوزيع التجريبي هي دالة غير متناقصة، تبدأ من 0 وتصل إلى 1، مع قفزات عند كل نقطة بيانات في العيّنة.
خصائص دالة التوزيع التجريبي:
- غير بارامترية: لا تفترض أي شكل معين للتوزيع الأساسي.
- سهلة الحساب: يمكن حسابها مباشرة من البيانات.
- متقاربة: بموجب شروط معينة، تتقارب دالة التوزيع التجريبي إلى دالة التوزيع التراكمي الحقيقية (CDF) مع زيادة حجم العيّنة (قانون جلوينكو-كانتيلي).
تطبيقات دالة التوزيع التجريبي:
- تقدير التوزيع: تستخدم لتقدير دالة التوزيع التراكمي لتوزيع غير معروف.
- اختبار الفرضيات: تستخدم في اختبارات جودة المطابقة (Goodness-of-fit tests) لتقييم ما إذا كانت البيانات تتبع توزيعًا معينًا (مثل اختبار كولموغوروف-سميرنوف).
- التحليل الاستكشافي للبيانات: توفر نظرة ثاقبة حول شكل وتوزيع البيانات.
المقياس التجريبي (Empirical Measure)
المقياس التجريبي، والذي يُعرف أيضًا باسم التوزيع التجريبي، هو مقياس احتمالية يعين احتمالًا متساويًا لكل نقطة بيانات في العيّنة. بمعنى آخر، إذا كان لدينا عينة من البيانات \(x_1, x_2, …, x_n\)، فإن المقياس التجريبي يعين احتمالًا قدره \(1/n\) لكل نقطة \(x_i\). رياضياً، يمكن التعبير عن المقياس التجريبي كالتالي:
\(\hat{P}(A) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} I(x_i \in A)\)
حيث \(A\) هي أي مجموعة قابلة للقياس، و \(I(x_i \in A)\) هي دالة المؤشر التي تساوي 1 إذا كانت \(x_i\) تنتمي إلى \(A\) وتساوي 0 خلاف ذلك. بعبارة أخرى، \(\hat{P}(A)\) هي النسبة المئوية للبيانات في العيّنة التي تقع داخل المجموعة \(A\).
خصائص المقياس التجريبي:
- تقدير توزيع الاحتمالية: يوفر تقديرًا لتوزيع الاحتمالية الأساسي للبيانات.
- دعم محدود: يركز الدعم (Support) الخاص به فقط على نقاط البيانات المرصودة.
- متقارب: يتقارب المقياس التجريبي إلى المقياس الحقيقي (True measure) مع زيادة حجم العيّنة (قانون الأعداد الكبيرة).
العلاقة بين المقياس التجريبي ودالة التوزيع التجريبي:
يرتبط المقياس التجريبي ارتباطًا وثيقًا بدالة التوزيع التجريبي. في الواقع، دالة التوزيع التجريبي هي ببساطة دالة التوزيع التراكمي (CDF) للمقياس التجريبي. بمعنى آخر، إذا عرفنا المقياس التجريبي، فيمكننا حساب دالة التوزيع التجريبي، والعكس صحيح.
تطبيقات المقياس التجريبي:
- التعلم الآلي: يستخدم في خوارزميات التعلم الآلي، مثل طريقة الجيران الأقرب (K-Nearest Neighbors).
- الإحصاء الحيوي: يستخدم في تحليل البيانات الطبية الحيوية.
- التمويل الكمي: يستخدم في نمذجة الأسواق المالية.
أهمية التوزيع التجريبي
يكمن جوهر أهمية التوزيع التجريبي في قدرته على توفير رؤى قيمة حول البيانات دون الحاجة إلى افتراضات مسبقة حول التوزيع الأساسي. هذا يجعله أداة قوية بشكل خاص في الحالات التي يكون فيها التوزيع الحقيقي غير معروف أو معقدًا للغاية بحيث لا يمكن نمذجته بسهولة باستخدام التوزيعات النظرية القياسية. بالإضافة إلى ذلك، يوفر التوزيع التجريبي تمثيلاً مرئيًا وبديهيًا للبيانات، مما يسهل فهم خصائصها الرئيسية وتحديد القيم المتطرفة المحتملة أو الأنماط غير العادية. بفضل مرونته وسهولة حسابه، يعتبر التوزيع التجريبي أداة أساسية في toolbox أي محلل بيانات أو إحصائي.
على سبيل المثال، لنفترض أننا نقوم بتحليل مجموعة بيانات تتضمن أوقات الانتظار في أحد مراكز الاتصال. قد لا نعرف مسبقًا ما إذا كانت هذه الأوقات تتبع توزيعًا طبيعيًا أو توزيعًا أسيًا أو أي توزيع آخر. باستخدام التوزيع التجريبي، يمكننا تقدير توزيع أوقات الانتظار مباشرةً من البيانات المرصودة، دون الحاجة إلى إجراء أي افتراضات. يمكننا بعد ذلك استخدام هذا التقدير لحساب احتمالات معينة، مثل احتمال تجاوز وقت الانتظار حدًا معينًا، أو لتحديد المشكلات المحتملة في نظام مركز الاتصال.
بالإضافة إلى ذلك، يمكن استخدام التوزيع التجريبي لمقارنة التوزيعات المختلفة أو لتقييم فعالية التدخلات. على سبيل المثال، قد نرغب في مقارنة توزيع أوقات الانتظار قبل وبعد تنفيذ نظام جديد لإدارة قائمة الانتظار. باستخدام التوزيعات التجريبية لكلتا الحالتين، يمكننا تحديد ما إذا كان النظام الجديد قد أدى إلى انخفاض كبير في أوقات الانتظار.
مزايا وعيوب التوزيع التجريبي
المزايا:
- لا يتطلب افتراضات: لا يتطلب أي افتراضات حول التوزيع الأساسي للبيانات.
- سهولة الحساب: سهل الحساب والتفسير.
- تمثيل مرئي: يوفر تمثيلاً مرئيًا للبيانات.
العيوب:
- حساس للقيم المتطرفة: يمكن أن يتأثر بالقيم المتطرفة في البيانات.
- دعم محدود: يقتصر الدعم الخاص به على نقاط البيانات المرصودة، مما يعني أنه لا يمكن استخدامه للتنبؤ بقيم خارج نطاق البيانات المرصودة.
- قد لا يكون سلسًا: دالة التوزيع التجريبي هي دالة خطوة، وقد لا تكون سلسة بما يكفي لبعض التطبيقات.
خاتمة
يعد التوزيع التجريبي أداة قوية ومرنة في الإحصاء والاحتمالات. سواء كنت تستخدم دالة التوزيع التجريبي أو المقياس التجريبي، فإنه يوفر وسيلة لتقدير وتحليل توزيع البيانات دون الحاجة إلى افتراضات مسبقة. على الرغم من وجود بعض القيود، إلا أن سهولة استخدامه وتفسيره يجعله أداة أساسية في مجموعة أدوات أي محلل بيانات.