صياغة المسألة
نص المسألة كما ورد في كتاب براهماجوبتا هو:
“أوجد عددًا صحيحًا، إذا ضُرب في 8 ثم أضيف إليه 1، يكون الناتج مربعًا. ثم أوجد عددًا صحيحًا، إذا ضُرب في 8 ثم طُرح منه 1، يكون الناتج مربعًا. ثم أوجد عددًا صحيحًا، إذا ضُرب في 8 ثم أضيف إليه وطُرح منه 1، كان الناتج في كلتا الحالتين مربعًا.”
بصياغة رياضية حديثة، يمكن التعبير عن المسألة على النحو التالي:
ابحث عن عدد صحيح موجب x بحيث:
- 8x + 1 = a2
- 8x – 1 = b2
- حيث a و b أعداد صحيحة موجبة.
تحليل المسألة
لحل هذه المسألة، يجب علينا البحث عن عدد صحيح x يحقق الشرطين المذكورين أعلاه. يمكننا البدء بملاحظة أن الفرق بين المعادلتين هو 2:
(8x + 1) – (8x – 1) = a2 – b2
2 = a2 – b2
يمكن تحليل الطرف الأيمن كفرق بين مربعين:
2 = (a + b)(a – b)
بما أن a و b أعداد صحيحة، فإن (a + b) و (a – b) يجب أن يكونا أعدادًا صحيحة أيضًا. هناك حلان ممكنان لهذه المعادلة:
- a + b = 2 و a – b = 1
- a + b = -1 و a – b = -2
الحل الأول يعطينا a = 3/2 و b = 1/2، وهي ليست أعدادًا صحيحة. الحل الثاني يعطينا نفس القيم ولكن بإشارات سالبة، وهي أيضًا ليست أعدادًا صحيحة موجبة. ومع ذلك، هذا التحليل الأولي يساعدنا على فهم طبيعة الحلول المحتملة.
الحلول الممكنة
لإيجاد حلول صحيحة، يجب علينا تغيير طريقة تفكيرنا. بدلاً من التركيز على الفرق بين المعادلتين، يمكننا التركيز على كل معادلة على حدة.
لدينا:
8x + 1 = a2
8x – 1 = b2
يمكننا إعادة ترتيب هاتين المعادلتين للحصول على:
x = (a2 – 1) / 8
x = (b2 + 1) / 8
هذا يعني أننا نبحث عن أعداد صحيحة a و b بحيث يكون (a2 – 1) و (b2 + 1) قابلين للقسمة على 8، ويكون الناتج متساويًا.
لنجرب بعض القيم لـ a و b ونرى ما إذا كان بإمكاننا إيجاد حل:
- إذا كان a = 3، فإن a2 = 9، و (a2 – 1) / 8 = 1. هذا يعطينا x = 1.
- بالتعويض بـ x = 1 في المعادلة الثانية، نحصل على 8(1) – 1 = 7، وهي ليست مربعًا كاملاً. لذا، x = 1 ليس حلاً.
- إذا كان a = 5، فإن a2 = 25، و (a2 – 1) / 8 = 3. هذا يعطينا x = 3.
- بالتعويض بـ x = 3 في المعادلة الثانية، نحصل على 8(3) – 1 = 23، وهي ليست مربعًا كاملاً. لذا، x = 3 ليس حلاً.
- إذا كان a = 9، فإن a2 = 81، و (a2 – 1) / 8 = 10. هذا يعطينا x = 10.
- بالتعويض بـ x = 10 في المعادلة الثانية، نحصل على 8(10) – 1 = 79، وهي ليست مربعًا كاملاً. لذا، x = 10 ليس حلاً.
هذه الطريقة التجريبية قد تكون بطيئة، ولكنها تساعدنا على فهم كيف تتصرف الأعداد. بدلًا من ذلك، يمكننا البحث عن نمط في الأعداد المربعة التي تترك باقي قسمة 1 عند قسمتها على 8 (لأن 8x + 1 = a2).
استخدام نظرية الأعداد
يمكننا الاستفادة من بعض المفاهيم في نظرية الأعداد لتسريع عملية البحث عن الحلول. على سبيل المثال، نعلم أن أي عدد فردي مرفوعًا للتربيع يترك باقي قسمة 1 عند قسمته على 8. هذا يعني أن a يجب أن يكون عددًا فرديًا.
دعونا نعبر عن a على النحو التالي: a = 2k + 1، حيث k عدد صحيح.
إذًا، a2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1
بالتعويض في المعادلة الأولى:
8x + 1 = 4k2 + 4k + 1
8x = 4k2 + 4k
2x = k2 + k
x = k(k + 1) / 2
هذا يعني أن x يجب أن يكون عددًا مثلثيًا (عدد يمكن تمثيله بنقاط مرتبة في شكل مثلث). الآن، يجب علينا التحقق مما إذا كان 8x – 1 مربعًا كاملاً أيضًا.
8x – 1 = 8(k(k + 1) / 2) – 1 = 4k(k + 1) – 1 = 4k2 + 4k – 1
نريد أن يكون 4k2 + 4k – 1 = b2
لنجرب بعض القيم لـ k ونرى ما إذا كان بإمكاننا إيجاد حل:
- إذا كان k = 1، فإن x = 1، و 8x – 1 = 7 (ليس مربعًا كاملاً).
- إذا كان k = 2، فإن x = 3، و 8x – 1 = 23 (ليس مربعًا كاملاً).
- إذا كان k = 3، فإن x = 6، و 8x – 1 = 47 (ليس مربعًا كاملاً).
- إذا كان k = 4، فإن x = 10، و 8x – 1 = 79 (ليس مربعًا كاملاً).
- إذا كان k = 5، فإن x = 15، و 8x – 1 = 119 (ليس مربعًا كاملاً).
هذا النهج لا يزال يتطلب الكثير من التجربة، ولكننا قللنا نطاق البحث من جميع الأعداد الصحيحة إلى الأعداد المثلثية.
الحل النهائي
باستخدام الحاسوب أو بعض الأدوات الرياضية، يمكن إيجاد الحل الأصغر للمسألة وهو:
x = 6
حيث:
8(6) + 1 = 49 = 72
8(6) – 1 = 47 (ليست مربعًا كاملاً. يوجد خطأ في فهم المسألة، المطلوب هو إيجاد x بحيث يحقق المعادلة الأولى، ثم إيجاد x آخر يحقق المعادلة الثانية.)
الحل الصحيح للمسألة الأصلية (إيجاد عدد يحقق الشرطين) يتطلب طرقًا أكثر تعقيدًا لحل المعادلات الديوفانتية. وبشكل عام، لا يوجد حل بسيط وسريع لهذه المسألة دون استخدام أدوات رياضية متقدمة.
تطبيقات المسألة
على الرغم من أن مسألة براهماجوبتا تبدو مجرد تمرين رياضي، إلا أنها تجسد بعض المفاهيم الأساسية في نظرية الأعداد والجبر. هذه المفاهيم لها تطبيقات في مجالات مختلفة مثل:
- التشفير: تستخدم نظرية الأعداد بشكل مكثف في تصميم أنظمة التشفير الحديثة.
- علوم الحاسوب: تستخدم الخوارزميات المتعلقة بالأعداد الصحيحة في العديد من التطبيقات الحاسوبية.
- الفيزياء: تظهر الأعداد الصحيحة والعلاقات بينها في بعض النماذج الفيزيائية.
أهمية مسألة براهماجوبتا
تكمن أهمية مسألة براهماجوبتا في أنها تمثل مثالًا مبكرًا على المشكلات غير المحددة التي اهتم بها علماء الرياضيات لعدة قرون. كما أنها تبرز أهمية التفكير الإبداعي والقدرة على تطبيق مفاهيم مختلفة لحل المشكلات الرياضية. علاوة على ذلك، تسلط الضوء على الإسهامات الكبيرة التي قدمها علماء الرياضيات الهنود في تطوير هذا العلم.
خاتمة
مسألة براهماجوبتا هي مثال كلاسيكي على المشكلات الرياضية التي تجمع بين البساطة الظاهرية والعمق الرياضي. على الرغم من أن حلها قد يبدو صعبًا، إلا أنها توفر فرصة قيمة لاستكشاف مفاهيم مهمة في نظرية الأعداد والجبر. كما أنها تذكرنا بالإرث الغني الذي تركه لنا علماء الرياضيات القدماء.