المويجة المتعامدة الثنائية (Biorthogonal Wavelet)

مقدمة

المويجة المتعامدة الثنائية هي نوع من أنواع المويجات المستخدمة في معالجة الإشارات وضغط البيانات، وهي تمثل تطورًا مهمًا عن المويجات المتعامدة التقليدية. في حين أن المويجات المتعامدة تفرض شروطًا صارمة على الدوال الموجية المستخدمة، تسمح المويجات المتعامدة الثنائية بمرونة أكبر في تصميم هذه الدوال. هذه المرونة تؤدي إلى تحسينات في خصائص مثل الانتظام والتلاشي العزمي، مما يجعلها مناسبة لتطبيقات أوسع.

تعريف المويجة المتعامدة الثنائية

بشكل أساسي، المويجة المتعامدة الثنائية هي عبارة عن مجموعة من دالتين موجيتين: دالة تحليل (decomposition function) ودالة تركيب (reconstruction function). هاتان الدالتان ليستا متعامدتين بالضرورة مع بعضهما البعض، ولكنهما تحققان شرطًا خاصًا يضمن إمكانية عكس التحويل الموجي. هذا الشرط يُعرف بشرط التعامد الثنائي.

رياضيًا، يمكن التعبير عن هذا الشرط على النحو التالي:

<ψ_j,k(t), ~ψ_l,m(t)> = δ_j,l δ_k,m

حيث:

ψ_j,k(t) هي دالة المويجة التحليلية.
~ψ_l,m(t) هي دالة المويجة التركيبية.
j و l هما مؤشرا القياس (scale).
k و m هما مؤشرا الإزاحة (translation).
δ هي دالة دلتا كرونكر (Kronecker delta).

هذا يعني أن حاصل الضرب الداخلي بين دالة المويجة التحليلية عند قياس وإزاحة معينة ودالة المويجة التركيبية عند قياس وإزاحة أخرى يساوي صفرًا ما لم تكن القياسات والإزاحات متطابقة.

الفرق بين المويجات المتعامدة والمويجات المتعامدة الثنائية

الفرق الرئيسي بين المويجات المتعامدة والمويجات المتعامدة الثنائية يكمن في العلاقة بين دالتي التحليل والتركيب. في المويجات المتعامدة:

تكون دالة التحليل والتركيب متطابقتين (أو أحدهما نسخة معكوسة من الآخر).
التحويل الموجي يكون حافظًا للطاقة، أي أن الطاقة الكلية للإشارة تظل ثابتة بعد التحويل.

بينما في المويجات المتعامدة الثنائية:

تكون دالة التحليل والتركيب مختلفتين.
التحويل الموجي ليس بالضرورة حافظًا للطاقة.

هذه المرونة الإضافية في المويجات المتعامدة الثنائية تسمح بتحسين خصائص معينة على حساب خصائص أخرى. على سبيل المثال، يمكن تصميم مويجة متعامدة ثنائية ذات انتظام أعلى من المويجات المتعامدة ذات الدعم المحدود، مثل مويجة دابيشيز (Daubechies wavelet).

مزايا وعيوب المويجات المتعامدة الثنائية

المزايا:

مرونة في التصميم: تسمح المويجات المتعامدة الثنائية بمرونة أكبر في اختيار دوال المويجة، مما يتيح تحسين خصائص معينة مثل الانتظام والتلاشي العزمي.
انتظام أعلى: يمكن تصميم مويجات متعامدة ثنائية ذات انتظام أعلى من المويجات المتعامدة ذات الدعم المحدود، وهو أمر مهم لتطبيقات معالجة الصور والإشارات.
تلاشي عزمي أفضل: يمكن تحقيق تلاشي عزمي أفضل في المويجات المتعامدة الثنائية، مما يقلل من تأثير التشوهات الناتجة عن الكمية (quantization).
إمكانية استخدام مرشحات خطية الطور: تسمح المويجات المتعامدة الثنائية بتصميم مرشحات خطية الطور، وهي مرغوبة في تطبيقات معالجة الصور لتجنب التشوهات الطورية.

العيوب:

تعقيد حسابي أكبر: تتطلب المويجات المتعامدة الثنائية حسابات أكثر تعقيدًا من المويجات المتعامدة، مما قد يزيد من وقت المعالجة.
ليست حافظة للطاقة بالضرورة: التحويل الموجي باستخدام المويجات المتعامدة الثنائية ليس بالضرورة حافظًا للطاقة، مما قد يكون عيبًا في بعض التطبيقات.
تصميم أصعب: تصميم مويجة متعامدة ثنائية مناسبة لتطبيق معين قد يكون أكثر صعوبة من تصميم مويجة متعامدة.

تطبيقات المويجات المتعامدة الثنائية

تُستخدم المويجات المتعامدة الثنائية في مجموعة واسعة من التطبيقات، بما في ذلك:

ضغط الصور والفيديو: تُستخدم في معايير ضغط الصور والفيديو مثل JPEG 2000 نظرًا لقدرتها على تحقيق معدلات ضغط عالية مع الحفاظ على جودة الصورة.
معالجة الإشارات: تُستخدم في تحليل الإشارات، إزالة الضوضاء، واستخراج الميزات.
التحليل الزلزالي: تُستخدم في تحليل البيانات الزلزالية لتحديد مواقع الزلازل ودراسة خصائص باطن الأرض.
الطب الحيوي: تُستخدم في تحليل إشارات الدماغ (EEG) وإشارات القلب (ECG) لتشخيص الأمراض.
الرؤية الحاسوبية: تُستخدم في تطبيقات التعرف على الأنماط والكائنات في الصور والفيديو.

مثال على المويجة المتعامدة الثنائية: مويجة B-Spline

تُعد مويجة B-Spline مثالًا شائعًا على المويجة المتعامدة الثنائية. تتميز هذه المويجة بخصائص انتظام جيدة، مما يجعلها مناسبة لتطبيقات معالجة الصور والإشارات التي تتطلب دقة عالية.

يمكن تعريف مويجة B-Spline من خلال دالة B-Spline الأساسية من الدرجة n، والتي يمكن حسابها بشكل تكراري باستخدام العلاقة التالية:

B_i,0(x) = { 1, if x_i ≤ x < x_i+1; 0, otherwise }

B_i,n(x) = ((x – x_i) / (x_i+n – x_i)) * B_i,n-1(x) + ((x_i+n+1 – x) / (x_i+n+1 – x_i+1)) * B_i+1,n-1(x)

حيث x_i هي نقاط العقد (knot points) التي تحدد شكل الدالة.

كيفية اختيار المويجة المتعامدة الثنائية المناسبة

يعتمد اختيار المويجة المتعامدة الثنائية المناسبة لتطبيق معين على مجموعة من العوامل، بما في ذلك:

خصائص الإشارة: يجب أن تكون المويجة مناسبة لخصائص الإشارة المراد تحليلها أو معالجتها. على سبيل المثال، إذا كانت الإشارة تحتوي على مكونات ذات ترددات عالية، فيجب اختيار مويجة ذات دعم صغير في الفضاء الترددي.
متطلبات التطبيق: يجب أن تلبي المويجة متطلبات التطبيق من حيث الدقة، السرعة، واستهلاك الذاكرة.
موازنة بين المزايا والعيوب: يجب الموازنة بين مزايا وعيوب الأنواع المختلفة من المويجات المتعامدة الثنائية لاختيار المويجة الأفضل للتطبيق.

خاتمة

المويجات المتعامدة الثنائية تمثل أداة قوية ومرنة في معالجة الإشارات وضغط البيانات. توفر مرونة في التصميم تسمح بتحسين خصائص معينة مثل الانتظام والتلاشي العزمي، مما يجعلها مناسبة لتطبيقات واسعة النطاق. على الرغم من أنها أكثر تعقيدًا من المويجات المتعامدة التقليدية، إلا أن المزايا التي تقدمها تجعلها خيارًا جذابًا في العديد من الحالات.