نظرة عامة على مستوى مولتون
يعتمد بناء مستوى مولتون على تعديل المستوي الإقليدي. في المستوى الإقليدي، أي خطين متوازيين إما أنهما منفصلان أو متطابقان. في مستوى مولتون، يتم تعديل سلوك الخطوط بطريقة معينة. يختلف مستوى مولتون عن المستوى الإقليدي في أن بعض الخطوط “تغير اتجاهها” عند عبورها خطًا معينًا.
لتبسيط الأمور، دعنا نفكر في المستوى الإقليدي كالمعتاد، مع المحاور س وص. الخطوط العادية هي تلك التي لدينا بها ميل (ميل غير معرف للخطوط الرأسية). في مستوى مولتون، نقوم بتغيير الخطوط ذات الميل الموجب في الربع العلوي (ص > 0). لنأخذ نقطة تقاطع (س، ص). الخطوط في مستوى مولتون تتصرف على النحو التالي:
- إذا كان س < 0، فإن الخط يتصرف كخط إقليدي عادي.
- إذا كان س ≥ 0 و ص ≤ 0، فإن الخط يتصرف كخط إقليدي عادي.
- إذا كان س ≥ 0 و ص > 0، فإن الخط يختلف، مع ميل مختلف. في الواقع، ميل الخط هو نصف ميل الخط الإقليدي المقابل.
يوضح هذا البناء أن بعض البديهيات الهندسية التي نفترضها عادةً صحيحة في المستوى الإقليدي لم تعد صحيحة بالضرورة. على سبيل المثال، لا تنطبق مبرهنة ديزارج على مستوى مولتون. هذا يوضح أن الهندسة ليست مجرد مجموعة من الحقائق المطلقة، ولكنها تعتمد على البديهيات التي نختارها.
الخصائص الأساسية لمستوى مولتون
لمستوى مولتون العديد من الخصائص المميزة التي تميزه عن المستويات الأفينية الأخرى، خاصة المستوى الإقليدي. من أبرز هذه الخصائص:
- عدم تحقق مبرهنة ديزارج: هذه هي الخاصية الأكثر تميزًا لمستوى مولتون. تنص مبرهنة ديزارج على أنه إذا كانت هناك مثلثات متناظرة مركزيًا في مستوى أفيني، فإن نقاط تقاطع أضلاعها المتناظرة تقع على خط واحد. في مستوى مولتون، هذه المبرهنة لا تصمد، مما يدل على الاختلاف الجوهري في هيكل الهندسة.
- التمثيل الهندسي: يمكن تصور مستوى مولتون عن طريق أخذ المستوى الإقليدي المألوف وتعديل خطوط معينة. على وجه التحديد، يتم “كسر” الخطوط ذات الميل الموجب عند عبورها المحور الصادي (محور y) فوق نقطة الأصل. يتغير ميل هذه الخطوط.
- التوافقية: على الرغم من عدم تحقيق مبرهنة ديزارج، إلا أن مستوى مولتون يحافظ على بعض الخصائص التوافقية. لا يزال من الممكن تعريف النقاط والخطوط، وتلبية بعض البديهيات الأفينية (مثل بديهية التوازي).
- أهمية في نظرية التصميم: مستوى مولتون مهم في نظرية التصميم لأنه يوفر أمثلة على البنى التوافقية التي لا تخضع لبعض الشروط الهندسية التقليدية.
البناء التفصيلي لمستوى مولتون
لإنشاء مستوى مولتون، نبدأ بالمستوى الإقليدي الكلاسيكي. بعد ذلك، نعدل سلوك الخطوط في هذا المستوى. إليك كيفية القيام بذلك:
- تحديد نظام الإحداثيات: ابدأ بنظام إحداثيات ديكارتي مع المحورين س و ص.
- الخطوط غير المعدلة: بالنسبة لأي خط له ميل غير سالب يمر عبر نقطة (س، ص) حيث س < 0، فإن هذا الخط هو نفسه في مستوى مولتون كما هو الحال في المستوى الإقليدي.
- تعديل الخطوط: بالنسبة للخطوط ذات الميل الموجب التي تعبر الجزء الأيمن من المستوى (س ≥ 0)، فإن سلوكها يختلف. لنأخذ خطًا إقليديًا معادلته ص = م س + ب، حيث م هو الميل وب هو الجزء المقطوع من المحور ص. في مستوى مولتون، هذا الخط يتصرف على النحو التالي:
- إذا كانت س < 0، فإن الخط هو ص = م س + ب (كما هو الحال في المستوى الإقليدي).
- إذا كانت س ≥ 0، فإن ميل الخط يتغير. على وجه التحديد، يصبح الميل نصف ميل الخط الإقليدي الأصلي (م/2). وهكذا، فإن معادلة الخط تصبح ص = (م/2)س + ب.
- مثال:
- لنأخذ الخط ص = 2س + 1.
- في مستوى مولتون، عندما س < 0، فإن الخط هو ص = 2س + 1.
- عندما س ≥ 0، يصبح الخط ص = س + 1 (لأن الميل هو 2/2 = 1).
يوضح هذا البناء كيف يختلف مستوى مولتون عن المستوى الإقليدي، وخاصةً فيما يتعلق بخصائص التوازي والتقاطع.
تطبيقات مستوى مولتون
على الرغم من أن مستوى مولتون قد يبدو مفهومًا مجردًا، إلا أن له تطبيقات في عدة مجالات:
- نظرية التصميم: يوفر مستوى مولتون مثالًا على تصميم هندسي ليس بالضرورة توافقيًا بالمعنى التقليدي. هذا مفيد في تصميم تجارب معقدة أو إنشاء هياكل بيانات متخصصة.
- الهندسة التوافقية: يساهم مستوى مولتون في فهم الخصائص التوافقية المختلفة. يساعد في دراسة البنى الهندسية التي لا تتبع جميع قواعد الهندسة الإقليدية الكلاسيكية.
- البحث النظري في الهندسة: يستخدم مستوى مولتون كنموذج مضاد لإثبات أن بعض النظريات الهندسية غير صحيحة بشكل عام. إنه يدعم تطوير نظريات هندسية أكثر دقة.
أهمية مبرهنة ديزارج
مبرهنة ديزارج هي نتيجة أساسية في الهندسة الإسقاطية. تنص على أن المثلثات المتناظرة مركزيًا (أي أن خطوط تصل بين الرؤوس المتناظرة تتقاطع في نقطة واحدة) يجب أن يكون لها أضلاع متقابلة تتقاطع على خط واحد (يسمى خط ديزارج).
في المستوى الإقليدي، تنطبق مبرهنة ديزارج. ومع ذلك، في مستوى مولتون، لا تنطبق هذه المبرهنة. هذا يوضح أن مبرهنة ديزارج ليست نتيجة ضرورية لجميع المستويات الأفينية. عدم تحقق مبرهنة ديزارج في مستوى مولتون له آثار على العديد من المفاهيم الهندسية، مثل بنية التوافقية للمستوى، نظرية التشاكلات، وغيرها من الخصائص الهندسية.
عدم تحقق مبرهنة ديزارج في مستوى مولتون يجعله مثالًا مضادًا قيمًا في دراسة الهندسة. يسمح لنا بفهم أن الهندسة تعتمد على اختيار البديهيات، وأن بعض البديهيات ليست ضرورية للحفاظ على جميع الخصائص الهندسية المعروفة.
العلاقة بالهندسة الإسقاطية
مستوى مولتون مرتبط ارتباطًا وثيقًا بالهندسة الإسقاطية. يمكن بناء مستوى مولتون من المستوى الإسقاطي عن طريق إزالة خط (خط “في اللانهاية”) وجميع النقاط الموجودة عليه. هذا يترك لنا المستوى الأفيني. يمكن اعتبار بناء مولتون كنتيجة لإزالة وتعديل بعض النقاط والخطوط في المستوى الإسقاطي.
من خلال دراسة مستوى مولتون، يمكننا فهم التنوع الكبير في البنى الهندسية المحتملة، وأن الهندسة الإسقاطية تقع في قمة هذه البنى. يوضح مستوى مولتون كيف يمكن للتعديلات الصغيرة في البديهيات أن تؤدي إلى أنظمة هندسية مختلفة جدًا عن تلك التي نعرفها في المستوى الإقليدي.
أمثلة أخرى على المستويات غير الديزارجية
مستوى مولتون ليس المستوى الأفيني الوحيد الذي لا يحقق مبرهنة ديزارج. هناك أمثلة أخرى، بما في ذلك:
- مستويات أوردن: تعتبر مستويات أوردن فئة أخرى من المستويات الأفينية التي لا تحقق مبرهنة ديزارج. تعتمد على تغييرات في سلوك الخطوط، على غرار مستوى مولتون، ولكن بطرق مختلفة.
- مستويات ساليز: هذه المستويات تتضمن تعديلات أكثر تعقيدًا على الخطوط.
تساعد دراسة هذه المستويات في فهم التنوع الهائل في البنى الهندسية الممكنة وخصائصها. تساهم في فهم أعمق للعلاقات بين البديهيات والنتائج الهندسية.
خاتمة
مستوى مولتون هو مثال مهم في الهندسة يوضح أن بعض البديهيات الهندسية التي نفترض أنها صحيحة ليست بالضرورة صحيحة دائمًا. من خلال تعديل سلوك الخطوط في المستوى الإقليدي، يتم إنشاء مستوى أفيني لا تنطبق فيه مبرهنة ديزارج. يوضح هذا أن الهندسة ليست مجرد مجموعة من الحقائق المطلقة، ولكنها تعتمد على البديهيات التي نختارها. مستوى مولتون له تطبيقات في نظرية التصميم، والهندسة التوافقية، والبحث النظري في الهندسة، مما يجعله موضوعًا ذا قيمة للبحث والدراسة.
المراجع
- Moulton Plane – from Wolfram MathWorld
- Moulton plane – Wikipedia
- Moulton Plane – Encyclopedia of Mathematics
- Moulton Plane – PlanetMath
“`