المتتالية المنتظمة (Regular Sequence)
في الجبر التبادلي، المتتالية المنتظمة هي مفهوم أساسي يستخدم لوصف خصائص الحلقات والوحدات النمطية. تُعرَّف المتتالية المنتظمة على أنها سلسلة من العناصر في الحلقة تحقق شروطًا معينة تتعلق بقابلية القسمة وعدم وجود قواسم صفرية. بشكل أكثر تحديدًا، لتكن R حلقة تبديلية، و M وحدة نمطية على R، وتكن x1, x2, …, xn عناصر في R. نقول أن x1, x2, …, xn هي متتالية منتظمة على M إذا تحققت الشروط التالية:
- x1 ليس قاسمًا صفريًا على M، أي أن x1m = 0 يستلزم m = 0 لأي m ∈ M.
- xi ليس قاسمًا صفريًا على M / (x1, …, xi-1)M لكل i = 2, …, n. بمعنى آخر، لكل i، إذا كان xim = 0 في M / (x1, …, xi-1)M، فإن m ينتمي إلى (x1, …, xi-1)M.
- (x1, …, xn)M ≠ M.
أهمية المتتاليات المنتظمة:
- العمق: تستخدم المتتاليات المنتظمة لتعريف مفهوم العمق (أو الرتبة) للوحدة النمطية، وهو مقياس لحجم المتتاليات المنتظمة القصوى في الحلقة التي تعمل على الوحدة النمطية.
- الحلقات الكوهينية-ماكولية (Cohen-Macaulay rings): تلعب المتتاليات المنتظمة دورًا حاسمًا في تعريف ودراسة الحلقات الكوهينية-ماكولية، وهي فئة مهمة من الحلقات التبديلية ذات الخصائص الجيدة.
- نظرية التقاطع: تستخدم المتتاليات المنتظمة في نظرية التقاطع لدراسة تقاطعات الأصناف الجبرية.
أمثلة على المتتاليات المنتظمة:
في الحلقة R = k[x, y] (حيث k حقل)، المتتالية x, y هي متتالية منتظمة. وبشكل عام، في حلقة متعددة الحدود، أي سلسلة من المتغيرات غير القابلة للاختزال تشكل متتالية منتظمة.
متتالية ذات طول أقصى (Maximum Length Sequence – MLS)
متتالية ذات طول أقصى (MLS) هي نوع خاص من المتتاليات الثنائية الدورية التي يتم إنتاجها بواسطة سجل إزاحة ذي تغذية مرتدة خطية (LFSR). وتتميز هذه المتتاليات بطولها الأقصى الممكن بالنسبة لعدد الخلايا في سجل الإزاحة. على وجه التحديد، إذا كان سجل الإزاحة يتكون من n من الخلايا، فإن طول MLS هو 2n – 1.
خصائص متتالية ذات طول أقصى:
- الطول الأقصى: كما ذكرنا، فإن MLS لها أقصى طول ممكن لسجل إزاحة ذي تغذية مرتدة خطية معطى.
- التوازن: في كل دورة كاملة، تحتوي MLS على عدد من الواحدات يزيد بواحد عن عدد الأصفار.
- خاصية التشغيل: “التشغيل” هو سلسلة متجاورة من الواحدات أو الأصفار. تحتوي MLS على تشغيل واحد فقط من الواحدات بطول n، وتشغيل واحد فقط من الأصفار بطول n-1. بشكل عام، تحتوي على 2(n-k-1) من التشغيلات من الواحدات والأصفار ذات الطول k لكل 1 ≤ k ≤ n-2.
- خاصية الارتباط الذاتي: تتميز MLS بخصائص ارتباط ذاتي ممتازة. الارتباط الذاتي الدوري لـ MLS يساوي -1/L عندما يكون الإزاحة غير صفرية، و L عندما يكون الإزاحة صفرًا، حيث L هو طول المتتالية.
توليد متتالية ذات طول أقصى:
يتم توليد MLS باستخدام سجل إزاحة ذي تغذية مرتدة خطية (LFSR). يتكون LFSR من سلسلة من خلايا الذاكرة (القلابات) ومجموعة من البوابات XOR. تحدد توصيلات التغذية المرتدة، التي تحددها متعددة حدود أولية، المتتالية التي يتم إنشاؤها. المتتالية الأولية تحدد بنية LFSR التي تولد MLS.
تطبيقات متتالية ذات طول أقصى:
- الاتصالات الرقمية: تُستخدم MLS في أنظمة الاتصالات الرقمية لتوليد رموز نشر الطيف (spread spectrum codes) لتحسين مقاومة التداخل والتشويش.
- اختبار الدوائر: تُستخدم MLS كإشارات اختبار في اختبار الدوائر الرقمية لتحديد الأخطاء والأعطال.
- المقاييس الزمانية: يمكن استخدام MLS لإنشاء مقاييس زمنية دقيقة نظرًا لخصائصها الدورية وارتباطها الذاتي.
- تحديد المسافات: تستخدم MLS في أنظمة تحديد المسافات لقياس المسافات بدقة عالية.
- التشفير: يمكن استخدام MLS في تطبيقات التشفير لتوليد مفاتيح أو تيارات مفاتيح زائفة عشوائية.
مثال على متتالية ذات طول أقصى:
لنفترض أن لدينا سجل إزاحة ذي تغذية مرتدة خطية (LFSR) مكونًا من 3 خلايا. يمكننا اختيار متعددة حدود أولية مثل x3 + x + 1. بناءً على هذه المتعددة الحدود، يمكننا توصيل مخرجات الخلايا 3 و 1 ببوابة XOR، وتغذية ناتج البوابة XOR إلى خلية الإدخال الأولى. إذا بدأنا بـ LFSR بقيمة أولية غير صفرية (على سبيل المثال، 100)، فسوف يولد LFSR متتالية ذات طول أقصى بطول 23 – 1 = 7.
الخلاصة:
تعتبر متتالية-M مصطلحًا يشير إلى مفهومين مختلفين في الرياضيات والهندسة. في الجبر التبادلي، تشير إلى المتتالية المنتظمة، وهي أداة أساسية لوصف خصائص الحلقات والوحدات النمطية. أما في مجالات مثل الاتصالات الرقمية واختبار الدوائر، فتشير إلى متتالية ذات طول أقصى، وهي نوع خاص من المتتاليات الثنائية الدورية ذات الخصائص المفيدة.
خاتمة
في الختام، متتالية-M مصطلح ذو دلالتين متباينتين ولكنهما مهمتين. فهم كلا المفهومين ضروري للباحثين والمهندسين العاملين في المجالات المعنية. المتتالية المنتظمة توفر إطارًا قويًا للدراسة الجبرية، في حين أن المتتالية ذات الطول الأقصى تقدم حلولًا عملية في التطبيقات الهندسية.