رياضيات هندسة هندسة إهليلجية هندسة تآلفية

مستوى مينكوفسكي (Minkowski Plane)

- بنز, رياضيات, مستوى, مينكوفسكي, هندسة

تعريف رسمي

رياضيًا، مستوى مينكوفسكي هو بنية حادثة:

  • P مجموعة من النقاط (على الأقل ثلاث نقاط).
  • G ثلاثة عائلات منفصلة تمامًا G1، G2، G3 من المجموعات الفرعية من P، تسمى المولدات (generators).
  • K مجموعة من المجموعات الفرعية من P، تسمى الدوائر (circles).

بحيث تتحقق الخصائص التالية:

  1. أي نقطتين A، B، ليستا في نفس المولد، تحددان مولدًا واحدًا بالضبط Gi ∈ G الذي يحتوى على كلتا النقطتين.
  2. لكل نقطة A ولكل مولد Gi، توجد نقطة واحدة بالضبط في Gi لا تنتمي إلى أي من المولدات التي تحتوي على A، باستثناء Gi نفسه.
  3. لكل ثلاث نقاط A، B، C، ليست على مولد واحد، توجد دائرة واحدة بالضبط k ∈ K تحتوي على A، B، C.
  4. لكل دائرة k ∈ K، ولكل نقطة A ∈ k، ولكل نقطة B ∉ k، توجد دائرة واحدة بالضبط l ∈ K تحتوي على A و B ولا تتقاطع مع k بخلاف A.
  5. كل دائرة تحتوي على ثلاث نقاط على الأقل.
  6. توجد دائرة واحدة على الأقل، وتحتوى على الأقل على نقطة واحدة.

    7. المولدات هي خطوط في الهندسة التآلفية.

    تمثيل نموذجي

    يمكن تمثيل مستوى مينكوفسكي في الفضاء الإحداثي باستخدام دالة مناسبة.

    لنكن K حقلًا (field)، وليكن F = K ∪ {∞}.

    لنفترض أن الدالة f: K → K هي دالة بحيث:

  • f هي دالة تبادلية (permutation function).
  • بالنسبة لأي ثلاث قيم مميزة x1, x2, x3، في K، فإن القيم f(x1), f(x2), f(x3) مميزة أيضًا.
  • بالنسبة لأي قيمتين مميزتين x1, x2، في K، فإن الدالة x → (f(x) – f(x1)) / (x – x2) هي دالة تبادلية على K \ {x2}.

الآن، لنعرف مستوى مينكوفسكي M(K, f) كما يلي:

  • P = F × F، مجموعة النقاط.
  • G1 = {(x, y) | x ثابت}، مجموعة المولدات الأولى.
  • G2 = {(x, y) | y ثابت}، مجموعة المولدات الثانية.
  • K = {(x, f(x)a + xb + c) | a, b, c ثابتة في K} ∪ {(∞, x) | x ثابت}، مجموعة الدوائر.

عندما تكون K حقلًا محدودًا، يمكننا الحصول على مستوى مينكوفسكي محدود.

مستويات مينكوفسكي المحدودة

إذا كانت مجموعة النقاط P في مستوى مينكوفسكي محدودة، فإن مستوى مينكوفسكي يسمى مستوى مينكوفسكي محدود. ليكن |P| = n.

يمكن إثبات أن عدد النقاط في كل مولد هو نفسه. إذا كان عدد النقاط في كل مولد هو q + 1، نقول أن مستوى مينكوفسكي له الترتيب q.

في مستوى مينكوفسكي من الترتيب q، لدينا:

  • |P| = (q + 1)2، عدد النقاط الكلي.
  • |G1| = |G2| = q + 1، عدد المولدات في كل عائلة.
  • |K| = q3(q – 1)، عدد الدوائر.
  • عدد الدوائر التي تمر عبر نقطة معينة هو q2.
  • عدد الدوائر التي تلمس دائرة معينة في نقطة معينة هو q.

أمثلة

مثال 1: مستوى مينكوفسكي الكلاسيكي

لنأخذ K = ℝ، حقل الأعداد الحقيقية، و f(x) = x. إذن، نحصل على مستوى مينكوفسكي الكلاسيكي. يمكن تفسير هذا المستوى على أنه مجموعة النقاط على أسطوانة، مع كون المولدات هي خطوط على الأسطوانة، والدوائر هي المقاطع المائلة للأسطوانة.

مثال 2: مستوى مينكوفسكي على حقل محدود

لنأخذ K = GF(q)، حقل غالوا من الترتيب q (حيث q هي قوة عدد أولي)، و f(x) = x. إذن، نحصل على مستوى مينكوفسكي محدود من الترتيب q.

خصائص إضافية

المماس

نقول أن دائرة k وخط g يتقاطعان بشكل مماسي في النقطة P إذا كانت P ∈ k ∩ g و k ∩ g = {P}.

الأوتومورفيزم

الأوتومورفيزم لمستوى مينكوفسكي هو تبديل لمجموعة النقاط التي تحافظ على المولدات والدوائر. مجموعة كل الأوتومورفيزمات لمستوى مينكوفسكي M تشكل مجموعة تحت تركيب الدوال، تسمى مجموعة الأوتومورفيزم لمستوى مينكوفسكي M، وتُكتب Aut(M).

الإيزومورفيزم

ليكن M = (P, G1, G2, K) و M’ = (P’, G’1, G’2, K’) مستويين مينكوفسكي. الإيزومورفيزم من M إلى M’ هو دالة σ: P → P’ التي تعين المولدات إلى المولدات والدوائر إلى الدوائر. مستويات مينكوفسكي M و M’ تسمى متماثلة إذا كان هناك إيزومورفيزم من M إلى M’.

التطبيقات

تستخدم مستويات مينكوفسكي في مجالات مختلفة من الرياضيات، بما في ذلك:

  • الهندسة الإهليلجية: توفر مستويات مينكوفسكي طريقة لدراسة الهندسة الإهليلجية من خلال منظور مختلف.
  • الهندسة التآلفية: تربط مستويات مينكوفسكي الهندسة الإهليلجية بالهندسة التآلفية.
  • نظرية الزمر: ترتبط مجموعات الأوتومورفيزم لمستويات مينكوفسكي بنظرية الزمر.
  • التشفير: يمكن استخدام مستويات مينكوفسكي في تصميم أنظمة تشفير جديدة.

العلاقة بمستويات بنز الأخرى

كما ذكرنا سابقًا، مستوى مينكوفسكي هو أحد مستويات بنز الثلاثة، والآخران هما مستوى موبيوس ومستوى لاغوير. هناك علاقات وثيقة بين هذه المستويات الثلاثة. على سبيل المثال، يمكن الحصول على مستوى مينكوفسكي من هندسة معكوسة عن طريق حذف نقطة واحدة وجميع الدوائر التي تمر عبرها. وبالمثل، يمكن الحصول على مستوى موبيوس من مستوى مينكوفسكي عن طريق تحديد مولد واحد كنقطة عند اللانهاية.

تعميمات

هناك تعميمات مختلفة لمفهوم مستوى مينكوفسكي. على سبيل المثال، يمكن تعريف مستويات مينكوفسكي ذات الأبعاد العليا. وبالمثل، يمكن تعريف مستويات مينكوفسكي على حقول أخرى غير الأعداد الحقيقية.

خاتمة

مستوى مينكوفسكي هو بنية رياضية تربط الهندسة الإهليلجية بالهندسة التآلفية. لها تمثيل نموذجي باستخدام دالة مناسبة، ويمكن تمثيلها في الفضاء الإحداثي. يمكن أن تكون مستويات مينكوفسكي محدودة أو غير محدودة، ولها تطبيقات في مجالات مختلفة من الرياضيات، بما في ذلك الهندسة الإهليلجية، والهندسة التآلفية، ونظرية الزمر، والتشفير. تعتبر مستويات مينكوفسكي جزءًا من عائلة أكبر من الهياكل تسمى مستويات بنز، والتي تشمل أيضًا مستويات موبيوس ولاغوير.

المراجع

مقالات مرتبطة