المتوسط اللوغاريتمي (Logarithmic Mean)

مقدمة

في الرياضيات، يُعد المتوسط اللوغاريتمي دالة لعددين غير سالبين، وهو يساوي الفرق بينهما مقسومًا على اللوغاريتم الطبيعي لحاصل قسمتهما. يُستخدم هذا المتوسط غالبًا لحساب متوسط معدلات التغير. يظهر المتوسط اللوغاريتمي بشكل خاص في مسائل نقل الحرارة والكتلة.

التعريف الرياضي

إذا كان لدينا عددان حقيقيان غير سالبين، هما x و y، فإن المتوسط اللوغاريتمي L(x, y) يعرف على النحو التالي:

L(x, y) = \begin{cases} x, & \text{if } x = y, \\ \frac{y – x}{\ln(y) – \ln(x)}, & \text{otherwise}. \end{cases}

هذا التعريف يضمن أن الدالة مستمرة حتى عندما يكون x = y. في هذه الحالة، يكون المتوسط اللوغاريتمي ببساطة هو قيمة العدد نفسه.

خصائص المتوسط اللوغاريتمي

يتمتع المتوسط اللوغاريتمي بعدة خصائص مهمة تجعله مفيدًا في العديد من التطبيقات:

التقابل (Symmetry): المتوسط اللوغاريتمي متماثل، أي أن L(x, y) = L(y, x).
التجانس (Homogeneity): L(tx, ty) = tL(x, y) لكل t > 0.
العلاقة مع المتوسط الحسابي والهندسي: يقع المتوسط اللوغاريتمي بين المتوسط الحسابي والهندسي للعددين، أي أن:

\sqrt{xy} \le L(x, y) \le \frac{x + y}{2}

حيث أن √xy هو المتوسط الهندسي و (x + y)/2 هو المتوسط الحسابي.

اشتقاق المتوسط اللوغاريتمي

يمكن اشتقاق المتوسط اللوغاريتمي من خلال النظر إلى التكامل التالي:

\int_x^y \frac{1}{t} \, dt = \ln(y) – \ln(x)

بافتراض أن الدالة 1/t تتغير خطيًا بين x و y، فإن متوسط قيمة 1/t يكون:

\frac{1}{y – x} \int_x^y \frac{1}{t} \, dt = \frac{\ln(y) – \ln(x)}{y – x}

وبأخذ مقلوب هذا المتوسط، نحصل على المتوسط اللوغاريتمي:

L(x, y) = \frac{y – x}{\ln(y) – \ln(x)}

تطبيقات المتوسط اللوغاريتمي

يظهر المتوسط اللوغاريتمي في العديد من المجالات الهندسية والعلمية، وإليك بعض الأمثلة:

نقل الحرارة: في حسابات نقل الحرارة، يستخدم المتوسط اللوغاريتمي لحساب فرق درجة الحرارة المتوسط في المبادلات الحرارية.
نقل الكتلة: يستخدم في حسابات نقل الكتلة لتقدير القوة الدافعة المتوسطة في عمليات الامتصاص والتقطير.
التمويل: يستخدم في بعض الحالات لتقدير متوسط العوائد على الاستثمارات.
الهندسة الكيميائية: يستخدم في تصميم المفاعلات الكيميائية وتقييم أدائها.

المتوسط اللوغاريتمي لفرق درجة الحرارة (LMTD)

أحد أهم تطبيقات المتوسط اللوغاريتمي هو في حساب ما يعرف بـ المتوسط اللوغاريتمي لفرق درجة الحرارة (LMTD). يستخدم الـ LMTD في تصميم وتحليل المبادلات الحرارية. في المبادلات الحرارية، تتغير درجة حرارة الموائع المتدفقة عبر المبادل على طول مساره. لحساب معدل انتقال الحرارة بدقة، يجب استخدام متوسط مناسب لفرق درجة الحرارة بين الموائع. المتوسط اللوغاريتمي يوفر هذا المتوسط المناسب.

إذا كانت ΔT₁ و ΔT₂ هما فرق درجة الحرارة بين الموائع عند طرفي المبادل الحراري، فإن الـ LMTD يعطى بالصيغة:

LMTD = \frac{\Delta T_1 – \Delta T_2}{\ln(\Delta T_1) – \ln(\Delta T_2)}

استخدام الـ LMTD يسمح بتقدير دقيق لمعدل انتقال الحرارة الكلي في المبادل الحراري، وبالتالي يساعد في تصميم مبادلات حرارية أكثر كفاءة.

حالات خاصة وتقريب المتوسط اللوغاريتمي

في بعض الحالات، قد يكون حساب المتوسط اللوغاريتمي صعبًا أو غير ممكن، خاصة عندما تكون قيم x و y قريبة جدًا من الصفر. في هذه الحالات، يمكن استخدام بعض التقريبات:

عندما يكون x و y قريبين من بعضهما: يمكن استخدام تقريب تايلور للدالة اللوغاريتمية لتبسيط الحساب. على سبيل المثال، إذا كان y = x + δ حيث δ صغير جدًا، فيمكن تقريب المتوسط اللوغاريتمي بـ:

L(x, x + \delta) \approx x + \frac{\delta}{2}

وهذا التقريب يقترب من المتوسط الحسابي للعددين.

قاعدة النقطة الوسطى: يمكن استخدام قاعدة النقطة الوسطى لتقريب التكامل الذي يعرّف المتوسط اللوغاريتمي.

المقارنة مع المتوسطات الأخرى

كما ذكرنا سابقًا، يقع المتوسط اللوغاريتمي بين المتوسط الحسابي والهندسي. لفهم أفضل للمتوسط اللوغاريتمي، من المفيد مقارنته بالمتوسطات الأخرى:

المتوسط الحسابي: هو أبسط أنواع المتوسطات ويحسب بجمع الأعداد وقسمتها على عددها. يميل المتوسط الحسابي إلى التأثر بالقيم المتطرفة.
المتوسط الهندسي: يحسب بضرب الأعداد وأخذ الجذر النوني لها (حيث n هو عدد الأعداد). يعتبر المتوسط الهندسي أقل حساسية للقيم المتطرفة من المتوسط الحسابي، ويستخدم غالبًا في حساب متوسط معدلات النمو.
المتوسط التوافقي: هو مقلوب متوسط مقلوبات الأعداد. يستخدم المتوسط التوافقي عندما تكون الأعداد تمثل معدلات أو نسب.

يتميز المتوسط اللوغاريتمي بكونه أكثر دقة من المتوسط الحسابي في بعض التطبيقات، خاصة تلك التي تتضمن معدلات تغير غير خطية. كما أنه أقل حساسية للقيم المتطرفة من المتوسط الحسابي، مما يجعله خيارًا جيدًا في الحالات التي توجد فيها قيم غير متوقعة.

أمثلة عملية

مثال 1: حساب LMTD في مبادل حراري

لنفترض أن لدينا مبادلًا حراريًا تتدفق فيه المياه لتبريد زيت. درجة حرارة الماء الداخلة هي 20 درجة مئوية والخارجة هي 30 درجة مئوية. درجة حرارة الزيت الداخلة هي 80 درجة مئوية والخارجة هي 50 درجة مئوية.

لحساب LMTD:

ΔT₁ = 80 – 20 = 60 درجة مئوية
ΔT₂ = 50 – 30 = 20 درجة مئوية

LMTD = \frac{60 – 20}{\ln(60) – \ln(20)} = \frac{40}{\ln(3)} \approx 36.41 \text{ درجة مئوية}

مثال 2: تقدير متوسط النمو

لنفترض أن لدينا استثمارًا نما من 1000 دولار إلى 1500 دولار خلال فترة زمنية معينة. لحساب متوسط معدل النمو، يمكن استخدام المتوسط اللوغاريتمي:

L(1000, 1500) = \frac{1500 – 1000}{\ln(1500) – \ln(1000)} = \frac{500}{\ln(1.5)} \approx 1442.7 \text{ دولار}

هذا يعني أن متوسط قيمة الاستثمار خلال الفترة الزمنية كان حوالي 1442.7 دولار.

اعتبارات حسابية

عند حساب المتوسط اللوغاريتمي باستخدام الكمبيوتر، يجب الانتباه إلى بعض الأمور:

التعامل مع القسمة على صفر: إذا كانت x و y متساويتين، يجب التحقق من ذلك قبل إجراء القسمة لتجنب القسمة على صفر.
استخدام الدوال اللوغاريتمية المناسبة: تأكد من استخدام الدالة اللوغاريتمية الطبيعية (ln) وليس اللوغاريتم العشري (log).
التعامل مع الأعداد الصغيرة جدًا: في بعض الحالات، قد تكون قيم x و y صغيرة جدًا بحيث تؤدي إلى أخطاء في الحسابات اللوغاريتمية. يمكن استخدام تقنيات التعامل مع الأعداد الصغيرة جدًا (مثل استخدام دوال اللوغاريتم المعدلة) لتقليل هذه الأخطاء.

خاتمة

المتوسط اللوغاريتمي هو دالة رياضية مفيدة تستخدم في العديد من المجالات العلمية والهندسية لتقدير متوسط معدلات التغير. يتميز بخصائصه الفريدة التي تجعله أكثر دقة من المتوسط الحسابي في بعض التطبيقات، خاصة تلك التي تتضمن معدلات تغير غير خطية. فهم المتوسط اللوغاريتمي وتطبيقاته يمكن أن يساعد المهندسين والعلماء على اتخاذ قرارات أفضل وتحسين تصميم الأنظمة المختلفة.