خوارزمية غيليسبي (Gillespie Algorithm)

<![CDATA[

مقدمة

في نظرية الاحتمالات، تُعتبر خوارزمية غيليسبي (Gillespie algorithm)، والمعروفة أيضاً باسم خوارزمية دوب-غيليسبي (Doob–Gillespie algorithm) أو خوارزمية المحاكاة العشوائية (Stochastic Simulation Algorithm, SSA)، طريقةً تستخدم لمحاكاة تطور الأنظمة التي يمكن وصفها بأنها عمليات ماركوفية مستمرة الزمن (continuous-time Markov processes) مع عدد محدود من الحالات. تُستخدم هذه الخوارزمية بشكل خاص في المجالات التي تتطلب نمذجة دقيقة للتفاعلات العشوائية، مثل علم الأحياء الكيميائي، وعلم البيئة، وعلم الأوبئة.

تُعتبر خوارزمية غيليسبي أداة قوية لأنها توفر طريقة دقيقة لمحاكاة الأنظمة العشوائية دون الحاجة إلى تبسيطات تقريبية قد تؤدي إلى فقدان بعض الخصائص الهامة للنظام. على عكس الطرق القطعية التي تعتمد على المعادلات التفاضلية، تأخذ خوارزمية غيليسبي في الاعتبار الطبيعة الاحتمالية للتفاعلات، مما يسمح لها بتوليد مسارات محاكاة مختلفة تعكس التقلبات العشوائية التي تحدث في الواقع.

المفاهيم الأساسية

لفهم خوارزمية غيليسبي بشكل كامل، من الضروري الإلمام ببعض المفاهيم الأساسية:

• عملية ماركوفية مستمرة الزمن: هي عملية عشوائية يتغير فيها النظام باستمرار مع مرور الوقت، وتعتمد حالة النظام في أي لحظة زمنية على حالته في اللحظة الزمنية السابقة مباشرةً فقط، بغض النظر عن تاريخه السابق.
• معدل التفاعل: يمثل معدل حدوث تفاعل معين في النظام. عادةً ما يعتمد معدل التفاعل على تركيز المواد المتفاعلة وعلى ثوابت المعدل الخاصة بالتفاعل.
• احتمالية التفاعل: هي احتمالية حدوث تفاعل معين خلال فترة زمنية قصيرة. تعتمد احتمالية التفاعل على معدل التفاعل وطول الفترة الزمنية.
• دالة التوزيع الاحتمالي: تصف توزيع احتمالات حدوث مختلف التفاعلات المحتملة في النظام.

وصف الخوارزمية

تعتمد خوارزمية غيليسبي على محاكاة تطور النظام خطوة بخطوة، حيث تحدد في كل خطوة التفاعل الذي سيحدث ومتى سيحدث. يمكن تلخيص الخطوات الرئيسية للخوارزمية على النحو التالي:

1. تهيئة النظام: يتم تحديد الحالة الأولية للنظام، بما في ذلك عدد الجزيئات من كل نوع ومعدلات التفاعلات المختلفة.
2. حساب احتمالات التفاعلات: يتم حساب احتمالية حدوث كل تفاعل محتمل خلال فترة زمنية قصيرة. تعتمد هذه الاحتمالات على معدلات التفاعلات وحالة النظام الحالية.
3. تحديد التفاعل التالي: يتم اختيار التفاعل الذي سيحدث بناءً على الاحتمالات المحسوبة في الخطوة السابقة. يمكن استخدام طريقة الروليت (Roulette Wheel Selection) أو طرق أخرى لاختيار التفاعل بشكل عشوائي مع مراعاة احتمالاته.
4. تحديد الوقت اللازم لحدوث التفاعل: يتم تحديد الفترة الزمنية التي ستنتهي قبل حدوث التفاعل المختار. يتم سحب هذه الفترة الزمنية من دالة توزيع احتمالي تعتمد على مجموع معدلات التفاعلات.
5. تحديث حالة النظام: يتم تحديث حالة النظام بناءً على التفاعل الذي حدث. يتضمن ذلك تغيير عدد الجزيئات من الأنواع المختلفة وفقًا لنتائج التفاعل.
6. تحديث الوقت: يتم تحديث الوقت الحالي بإضافة الفترة الزمنية التي تم حسابها في الخطوة الرابعة.
7. التكرار: يتم تكرار الخطوات من 2 إلى 6 حتى الوصول إلى وقت النهاية المحدد أو تحقيق شرط توقف آخر.

مثال توضيحي

لتوضيح كيفية عمل خوارزمية غيليسبي، لنفترض أن لدينا نظامًا بسيطًا يتكون من تفاعلين:

• التفاعل الأول: A → B (تحويل الجزيء A إلى الجزيء B) بمعدل k1
• التفاعل الثاني: B → C (تحويل الجزيء B إلى الجزيء C) بمعدل k2

لنفترض أن لدينا في البداية 100 جزيء من النوع A و 0 جزيء من النوع B و 0 جزيء من النوع C. لنفترض أيضاً أن k1 = 0.1 و k2 = 0.05.

في الخطوة الأولى، نحسب احتمالات التفاعلات:

• احتمالية التفاعل الأول = k1 * عدد جزيئات A = 0.1 * 100 = 10
• احتمالية التفاعل الثاني = k2 * عدد جزيئات B = 0.05 * 0 = 0

في هذه الحالة، من المؤكد أن التفاعل الأول سيحدث، لأن احتمالية التفاعل الثاني تساوي صفرًا. بعد ذلك، نحسب الفترة الزمنية التي ستنتهي قبل حدوث التفاعل الأول. يتم سحب هذه الفترة الزمنية من دالة توزيع أسية بمتوسط 1/(مجموع الاحتمالات) = 1/10 = 0.1.

بعد حدوث التفاعل الأول، يتم تحديث حالة النظام: يصبح لدينا 99 جزيء من النوع A و 1 جزيء من النوع B و 0 جزيء من النوع C. يتم أيضاً تحديث الوقت الحالي بإضافة الفترة الزمنية التي تم حسابها.

يتم تكرار هذه الخطوات حتى الوصول إلى وقت النهاية المحدد أو تحقيق شرط توقف آخر. من خلال تكرار المحاكاة عدة مرات، يمكن الحصول على توزيع احتمالي لحالة النظام في أي لحظة زمنية.

مزايا وعيوب خوارزمية غيليسبي

المزايا:

• الدقة: توفر خوارزمية غيليسبي نتائج دقيقة لأنها تأخذ في الاعتبار الطبيعة العشوائية للتفاعلات.
• عدم الحاجة إلى تبسيطات: لا تتطلب خوارزمية غيليسبي تبسيطات تقريبية قد تؤدي إلى فقدان بعض الخصائص الهامة للنظام.
• القدرة على محاكاة الأنظمة المعقدة: يمكن استخدام خوارزمية غيليسبي لمحاكاة الأنظمة المعقدة التي تتضمن العديد من التفاعلات والأنواع المختلفة.

العيوب:

• التكلفة الحسابية: قد تكون خوارزمية غيليسبي مكلفة حسابياً، خاصةً عند محاكاة الأنظمة التي تتضمن العديد من التفاعلات السريعة.
• صعوبة التحليل: قد يكون من الصعب تحليل نتائج خوارزمية غيليسبي بشكل تحليلي، خاصةً عند محاكاة الأنظمة المعقدة.

تحسينات على خوارزمية غيليسبي

نظرًا للتكلفة الحسابية لخوارزمية غيليسبي الأصلية، تم تطوير العديد من التحسينات لزيادة كفاءتها، خاصةً للأنظمة التي تحتوي على تفاعلات سريعة وبطيئة. بعض هذه التحسينات تشمل:

• خوارزمية تاو-ليابينوف (Tau-Leaping Algorithm): تسمح هذه الخوارزمية بحدوث عدة تفاعلات في خطوة واحدة، مما يقلل من عدد الخطوات اللازمة لمحاكاة النظام.
• طريقة التقريب الهجين (Hybrid Approximation Method): تجمع هذه الطريقة بين خوارزمية غيليسبي والطرق القطعية، حيث تستخدم خوارزمية غيليسبي لمحاكاة التفاعلات العشوائية المهمة وتستخدم الطرق القطعية لمحاكاة التفاعلات الأخرى.
• خوارزميات التجميع (Partitioned Algorithms): تقسم هذه الخوارزميات النظام إلى أجزاء وتستخدم طرقًا مختلفة لمحاكاة كل جزء، مما يسمح بتحسين الكفاءة الحسابية.

تطبيقات خوارزمية غيليسبي

تُستخدم خوارزمية غيليسبي في مجموعة واسعة من التطبيقات، بما في ذلك:

• علم الأحياء الكيميائي: نمذجة التفاعلات الكيميائية الحيوية داخل الخلايا، مثل التعبير الجيني، وعمليات التمثيل الغذائي، وتنظيم الإشارات الخلوية.
• علم البيئة: نمذجة التفاعلات بين الكائنات الحية في النظام البيئي، مثل التنافس، والافتراس، والتكافل.
• علم الأوبئة: نمذجة انتشار الأمراض المعدية في المجتمعات، وتقييم فعالية استراتيجيات المكافحة.
• علم المواد: نمذجة العمليات العشوائية التي تحدث في المواد، مثل النمو البلوري، والتآكل، والانتشار.
• الفيزياء: نمذجة العمليات العشوائية في الأنظمة الفيزيائية، مثل حركة براون، والتفاعلات النووية.

خاتمة

خوارزمية غيليسبي هي أداة قوية لمحاكاة الأنظمة العشوائية التي يمكن وصفها بأنها عمليات ماركوفية مستمرة الزمن. توفر الخوارزمية نتائج دقيقة وتأخذ في الاعتبار الطبيعة الاحتمالية للتفاعلات، مما يجعلها مفيدة بشكل خاص في المجالات التي تتطلب نمذجة دقيقة للتقلبات العشوائية. على الرغم من أن خوارزمية غيليسبي قد تكون مكلفة حسابياً، إلا أن هناك العديد من التحسينات التي يمكن استخدامها لزيادة كفاءتها. تُستخدم خوارزمية غيليسبي في مجموعة واسعة من التطبيقات في مجالات مختلفة، مما يدل على أهميتها وقيمتها كأداة نمذجة.

المراجع

• Gillespie, D. T. (1976). A general method for numerically simulating the stochastic time evolution of coupled chemical reactions. Journal of Computational Physics, 22(4), 403-434.
• Wilkinson, D. J. (2006). Stochastic modelling for systems biology. Chapman & Hall/CRC.
• Gillespie, D. T. (2007). Stochastic simulation of chemical kinetics. Annual Review of Physical Chemistry, 58, 35-55.
• Schnoerr, D., Sanguinetti, G., & Grima, R. (2017). Approximation and inference methods for stochastic biochemical kinetics–a tutorial. New Journal of Physics, 19(11), 115010.

]]>