شجرة (أ, ب) ( (a,b)-tree)

خصائص أشجار (أ, ب)

تتمتع أشجار (أ, ب) بالعديد من الخصائص الهامة التي تجعلها مناسبة لتطبيقات مختلفة:

التوازن: تضمن بنية الشجرة المتوازنة أن جميع العمليات (البحث والإدراج والحذف) يمكن إجراؤها في وقت لوغاريتمي.
الكفاءة: نظرًا لأن العقد يمكن أن تحتوي على نطاق واسع من الأبناء، يمكن لأشجار (أ, ب) تخزين كمية كبيرة من البيانات مع الحفاظ على ارتفاع الشجرة منخفضًا. هذا يقلل من عدد العمليات المطلوبة للوصول إلى أي عنصر معين.
المرونة: يمكن تكييف أشجار (أ, ب) لتناسب متطلبات التطبيق المختلفة عن طريق اختيار قيم مناسبة لـ a و b.
التكيف مع التغيرات: تحافظ أشجار (أ, ب) على أدائها الجيد حتى في حالة إضافة أو حذف عدد كبير من العناصر، وذلك بفضل آليات إعادة التوازن الخاصة بها.

العمليات الأساسية على أشجار (أ, ب)

تشمل العمليات الأساسية التي يمكن إجراؤها على أشجار (أ, ب) ما يلي:

البحث: تتضمن البحث عن عنصر معين في الشجرة عن طريق مقارنة قيمة البحث بقيم المفاتيح في كل عقدة، والانتقال إلى الابن المناسب حتى يتم العثور على العنصر أو الوصول إلى ورقة.
الإدراج: يتضمن إدراج عنصر جديد في الشجرة عن طريق العثور على الورقة المناسبة لإدراج العنصر فيها. إذا كانت الورقة ممتلئة، فيجب تقسيمها، وقد يتطلب ذلك تقسيم العقد الأصلية أيضًا.
الحذف: يتضمن حذف عنصر من الشجرة عن طريق العثور على العنصر وحذفه. إذا كانت العقدة التي تم حذف العنصر منها تعاني من نقص في العدد المطلوب من الأبناء، فيجب إعادة توزيع المفاتيح أو دمج العقد مع العقد المجاورة.

خوارزميات الإدراج والحذف

تعد خوارزميات الإدراج والحذف في أشجار (أ, ب) أكثر تعقيدًا من تلك الموجودة في أشجار البحث الثنائية التقليدية، وذلك للحفاظ على توازن الشجرة. تتضمن هذه الخوارزميات عمليات مثل تقسيم العقد (splitting) ودمج العقد (merging) وإعادة توزيع المفاتيح (redistribution).

الإدراج

تتضمن عملية إدراج مفتاح جديد في شجرة (أ, ب) الخطوات التالية:

البحث عن الموقع المناسب: ابدأ من الجذر وابحث عن الورقة التي يجب إدراج المفتاح الجديد فيها.
الإدراج في الورقة: إذا كانت الورقة غير ممتلئة (أقل من b مفاتيح)، قم بإدراج المفتاح الجديد في الورقة مع الحفاظ على الترتيب.
التقسيم (في حالة الامتلاء): إذا كانت الورقة ممتلئة بالفعل (تحتوي على b مفاتيح)، قم بتقسيم الورقة إلى ورقتين. يتم توزيع المفاتيح بين الورقتين الجديدتين، ويتم ترقية المفتاح الأوسط إلى العقدة الأصلية.
التكرار التصاعدي (في حالة الحاجة): إذا كانت العقدة الأصلية ممتلئة بعد ترقية المفتاح، قم بتقسيم العقدة الأصلية أيضًا، وكرر العملية حتى تصل إلى الجذر أو لا تحتاج إلى تقسيم.
تحديث الجذر (إذا لزم الأمر): إذا تم تقسيم الجذر، قم بإنشاء جذر جديد يحتوي على المفتاح الأوسط الناتج عن التقسيم.

الحذف

تتضمن عملية حذف مفتاح من شجرة (أ, ب) الخطوات التالية:

البحث عن الموقع: ابدأ من الجذر وابحث عن العقدة التي تحتوي على المفتاح المراد حذفه.
الحذف المباشر (في حالة الورقة): إذا كان المفتاح موجودًا في ورقة، قم بحذفه مباشرة.
الاستبدال (في حالة العقدة الداخلية): إذا كان المفتاح موجودًا في عقدة داخلية، استبدله بالمفتاح الأكبر مباشرة في الشجرة الفرعية اليسرى أو المفتاح الأصغر مباشرة في الشجرة الفرعية اليمنى. ثم احذف المفتاح البديل من الورقة التي كان موجودًا فيها.
إعادة التوازن (في حالة النقص): إذا أدى الحذف إلى أن تحتوي العقدة على أقل من a-1 مفاتيح (باستثناء الجذر)، قم بتنفيذ إحدى العمليات التالية:
- إعادة التوزيع: إذا كان لدى إحدى العقد المجاورة عدد كاف من المفاتيح (أكثر من a-1)، انقل مفتاحًا من العقدة المجاورة إلى العقدة التي تعاني من النقص من خلال العقدة الأصلية.
- الدمج: إذا كانت العقد المجاورة تحتوي أيضًا على a-1 مفاتيح فقط، قم بدمج العقدة التي تعاني من النقص مع إحدى العقد المجاورة، ونقل مفتاح من العقدة الأصلية إلى العقدة الجديدة.
التكرار التصاعدي (في حالة الحاجة): إذا أدت عملية إعادة التوازن إلى أن تعاني العقدة الأصلية من نقص، كرر العملية حتى تصل إلى الجذر أو لا تحتاج إلى إعادة توازن.
تحديث الجذر (إذا لزم الأمر): إذا أصبح الجذر فارغًا بعد الدمج، احذف الجذر واستبدله بالعقدة الابنة الوحيدة.

أهمية اختيار قيم a و b

يعتمد أداء شجرة (أ, ب) بشكل كبير على اختيار القيم المناسبة للمعاملين a و b. بشكل عام، تؤدي القيم الأكبر لـ a و b إلى تقليل ارتفاع الشجرة، مما يقلل من عدد عمليات الوصول إلى القرص المطلوبة للبحث عن عنصر. ومع ذلك، فإن القيم الكبيرة جدًا لـ a و b قد تزيد من الوقت المستغرق للبحث داخل كل عقدة، حيث يجب فحص المزيد من المفاتيح. لذلك، يجب اختيار قيم a و b بعناية لتحقيق التوازن الأمثل بين ارتفاع الشجرة ووقت البحث داخل العقد.

في التطبيقات التي تتضمن الوصول إلى القرص، غالبًا ما يتم اختيار a و b بحيث تتناسب عقدة واحدة مع حجم كتلة القرص. هذا يقلل من عدد عمليات قراءة القرص المطلوبة للبحث عن عنصر.

أمثلة على أشجار (أ, ب)

أشجار 2-3: هي حالة خاصة من أشجار (أ, ب) حيث a = 2 و b = 3. في هذه الأشجار، يمكن أن تحتوي كل عقدة داخلية على 2 أو 3 أبناء.
أشجار 2-3-4: هي حالة خاصة أخرى من أشجار (أ, ب) حيث a = 2 و b = 4. في هذه الأشجار، يمكن أن تحتوي كل عقدة داخلية على 2 أو 3 أو 4 أبناء.
أشجار بي (B-trees): هي تعميم لأشجار (أ, ب) حيث يمكن أن تكون قيم a و b كبيرة جدًا. غالبًا ما تُستخدم أشجار بي في أنظمة قواعد البيانات لتخزين الفهارس.

مقارنة مع هياكل البيانات الأخرى

تُعد أشجار (أ, ب) بديلًا فعالًا لأشجار البحث الثنائية المتوازنة الأخرى، مثل أشجار AVL والأشجار الحمراء والسوداء، خاصة في التطبيقات التي تتضمن الوصول إلى القرص. على الرغم من أن خوارزميات الإدراج والحذف في أشجار (أ, ب) أكثر تعقيدًا، إلا أن ارتفاع الشجرة الأقل يمكن أن يؤدي إلى تحسين الأداء بشكل كبير.

بالمقارنة مع الجداول المتفرقة (Hash Tables)، توفر أشجار (أ, ب) ميزة الحفاظ على ترتيب البيانات، مما يسمح بإجراء عمليات مثل البحث عن النطاق (Range Queries) بكفاءة. ومع ذلك، قد تكون الجداول المتفرقة أسرع في عمليات البحث الفردية.

تطبيقات أشجار (أ, ب)

تُستخدم أشجار (أ, ب) في مجموعة متنوعة من التطبيقات، بما في ذلك:

أنظمة قواعد البيانات: تُستخدم أشجار بي وأشكالها المختلفة على نطاق واسع لفهرسة البيانات في أنظمة قواعد البيانات، مما يسمح باسترجاع البيانات بكفاءة.
أنظمة الملفات: تُستخدم أشجار (أ, ب) في بعض أنظمة الملفات لتنظيم هياكل الدليل.
محركات البحث: يمكن استخدام أشجار (أ, ب) لفهرسة صفحات الويب في محركات البحث.
تطبيقات أخرى: يمكن استخدام أشجار (أ, ب) في أي تطبيق يتطلب تخزينًا واسترجاعًا فعالين للبيانات المرتبة، خاصة عندما تكون البيانات مخزنة على القرص.

تحليل الأداء

تتمتع أشجار (أ, ب) بأداء لوغاريتمي للعمليات الأساسية، مثل البحث والإدراج والحذف. يعتمد الارتفاع الأقصى للشجرة على قيم a و b وعدد العناصر المخزنة. بشكل عام، يكون الارتفاع الأقصى للشجرة هو O(log_an)، حيث n هو عدد العناصر.

تتطلب عمليات الإدراج والحذف في أسوأ الحالات تقسيم أو دمج العقد على طول المسار من الورقة إلى الجذر، مما قد يؤدي إلى زيادة التعقيد. ومع ذلك، فإن هذه العمليات تظل لوغاريتمية في المتوسط.

خاتمة

شجرة (أ, ب) هي هيكل بيانات قوي ومرن يوفر أداءً لوغاريتميًا للعمليات الأساسية. إنها مناسبة بشكل خاص للتطبيقات التي تتضمن الوصول إلى القرص، حيث يمكن أن يؤدي ارتفاع الشجرة المنخفض إلى تقليل عدد عمليات قراءة القرص المطلوبة. من خلال اختيار القيم المناسبة لـ a و b، يمكن تكييف أشجار (أ, ب) لتلبية متطلبات التطبيق المختلفة.